專題4-4 三角函數(shù)與解三角形大題綜合歸類高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練（全國通用）（解析版）

1、 專題4-4 三角函數(shù)與解三角形大題綜合歸類 目錄一、熱點題型歸納TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc290 【題型一】三角函數(shù)求解析式：“識圖” PAGEREF _Toc290 1 HYPERLINK l _Toc16492 【題型二】圖像與性質(zhì)1：單調(diào)性與值域 PAGEREF _Toc16492 5 HYPERLINK l _Toc21020 【題型三】圖像與性質(zhì)2：恒等變形：結(jié)構(gòu)不良型 PAGEREF _Toc21020 8 HYPERLINK l _Toc22868 【題型四】圖像與性質(zhì)3：恒成立（有解）求參數(shù) PAGEREF _Toc22868 12 HYPE

2、RLINK l _Toc19978 【題型五】圖像與性質(zhì)4：零點與對稱軸 PAGEREF _Toc19978 17 HYPERLINK l _Toc21310 【題型六】解三角形1：面積與周長常規(guī) PAGEREF _Toc21310 22 HYPERLINK l _Toc21071 【題型七】解三角形2：計算角度與函數(shù)值 PAGEREF _Toc21071 24 HYPERLINK l _Toc16133 【題型八】解三角形3：求面積范圍（最值） PAGEREF _Toc16133 27 HYPERLINK l _Toc14675 【題型九】解三角形4：周長最值 PAGEREF _Toc146

3、75 29 HYPERLINK l _Toc20098 【題型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非對稱”型 PAGEREF _Toc20098 32 HYPERLINK l _Toc29278 【題型十一】解三角形6：最值范圍綜合 PAGEREF _Toc29278 35 HYPERLINK l _Toc19842 二、真題再現(xiàn) PAGEREF _Toc19842 37 HYPERLINK l _Toc21785 三、模擬檢測 PAGEREF _Toc21785 44【題型一】三角函數(shù)求解析式：“識圖”【典例分析】（2023全國高三專題練習(xí)）函數(shù)（其中）部分圖象如圖所示，是該圖象的最高點，M，N

4、是圖象與x軸的交點(1)求的最小正周期及的值；(2)若，求A的值【答案】(1)2；(2).【分析】（1）利用的解析式求出周期，再由給定的最高點P求出作答.（2）由（1）求出點M，N的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求出和的正切，再利用和角公式計算作答.(1)函數(shù)的最小正周期，因是函數(shù)圖象的最高點，則，而，有，所以函數(shù)的最小正周期為2，.(2)由（1）知，由得，即點，由得，即點，于是得，而，則，又，解得，所以.【提分秘籍】基本規(guī)律1.注意正余弦“第一零點”和“第二零點”的區(qū)別和聯(lián)系。正弦“第一零點”：；正弦“第二零點”：余弦“第一零點”：；余弦“第二零點”：2.對稱軸在最大值最小值處的區(qū)別和聯(lián)系【變式演練】1.（

5、2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解的集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）由函數(shù)圖象，得到和，得到，結(jié)合圖象過點，得到，求得，即可求得的解折式；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得到，根據(jù)，得到不等式，進(jìn)而求得不等式的解集.(1)解：由函數(shù)圖象，可得，所以，因為，可得，所以，又因為圖象過點，可得，即，所以，解得，又由，所以，所以函數(shù)的解折式為.(2)解：將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到，由，可得，解得，所以，即不等式的解集為.2.（2022四川宜賓市教科所三模（理）

6、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示：(1)求；(2)若，且，求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）由圖象可求得函數(shù)的周期，可得，根據(jù)圖象過的點，求得，即得答案；（2）由求得，繼而求得，再結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式即可求得答案.(1)由圖知：，由圖象得，又，;(2)，,故，故 ，3.（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)部分圖象如圖所示.(1)求的最小正周期及解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)最小正周期為，；(2)最大值為1和最小值為【分析】（1）結(jié)合五點法求出最小正周期，由最大值最小值求得，由周期求得，由點的坐標(biāo)求得，得解析式；（2）

7、由圖象平移寫出的表達(dá)式，然后由三角函數(shù)性質(zhì)求得最值(1)由圖象可知，所以最小正周期為所以，將代入可得，所以(2)因為，所以，當(dāng)，即，；當(dāng)，即，【題型二】圖像與性質(zhì)1：單調(diào)性與值域【典例分析】（2022浙江高三開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間0，上的最值.【答案】(1)（kZ）(2)最大值為1，最小值為-.【分析】（1）由三角函數(shù)降冪公式與二倍角公式，根據(jù)輔助角公式，化簡函數(shù)為單角三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（2）利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得答案.（1）=.因為ysinx的單調(diào)遞增區(qū)間為（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的單調(diào)遞增區(qū)間

8、為（kZ）.（2）因為x0，所以2x.當(dāng)2x=，即x時，最大值為1，當(dāng)2x=，即x時，最小值為-.【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)ysin xycos xytan x單調(diào)性eq f(,2)2k，eq f(,2)2k(kZ)上遞增；eq f(,2)2k，eq f(3,2)2k(kZ)上遞減2k，2k(kZ)上遞增；2k，2k(kZ)上遞減(eq f(,2)k，eq f(,2)k)(kZ)上遞增【變式演練】1.（2022湖北高三開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若，求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為的形式, 再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期

9、,(2)根據(jù) ,令 ，則可求出的范圍,從而得出的單調(diào)遞減區(qū)間.（1） . 的最小正周期為 .（2）令 ，則 ，又函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，即 時，的單調(diào)遞減，當(dāng) 時，的單調(diào)減區(qū)間為.2.（2022黑龍江雙鴨山一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，求在0，2上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為，(2)【分析】（1）利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡可得，再根據(jù)周期的公式與余弦函數(shù)的對稱軸公式求解即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得，再根據(jù)

10、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.（1），所以函數(shù)的最小正周期為，令，得函數(shù)的對稱軸方程為，（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后所得圖象的解析式為，所以，令，所以.又，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.3.（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為(1)求圖象的對稱軸方程；(2)將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域【答案】(1)；(2)【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式及倍角公式得，再由周期求得，由正弦函數(shù)的對稱性求對稱軸方程即可；（2）先由圖象平移求出，再求出，即可求出在上的值域(1)，則，解得，則，令，解得，故圖象的對稱軸方程為.(2)，則，則在上的值域為.【題型三】圖像與性質(zhì)2

11、：恒等變形：結(jié)構(gòu)不良型【典例分析】（2023全國高三專題練習(xí)）在，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答.已知角a是第一象限角，且_.(1)求的值；(2)求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選：因為，求得，結(jié)合角是第一象限角，得到，進(jìn)而求得的值.選：化簡得到，結(jié)合角是第一象限角，進(jìn)而得到的值.（2）化簡得到，結(jié)合，代入即可求解.(1)解：選：因為，所以，所以，因為角是第一象限角，所以，則.選：因為，所以，解得或，因為角是第一象限角，所以.(2)解：由 因為，所以，即.【變式演練】1.（2022北京二模）已知函數(shù)再從條件、條件、條件

12、這三個條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個作為已知(1)求的解析式及最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點，求t的取值范圍條件：函數(shù)的最小正周期為；條件：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件：函數(shù)的最大值為注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計分【答案】(1)選擇：，的最小值為；選擇：， 的最小值為；(2)選擇：的取值范圍是；選擇：的取值范圍是.【分析】（1）首先利用三角恒等變換公式以及輔助角公式化簡，然后根據(jù)條件或求其解析式即可，若選擇，的取值有兩個，舍去；（2）根據(jù)零點即是函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標(biāo)，令求出橫坐標(biāo)，即可判斷的取值范圍.(1)由題可知，選

13、擇：因為，所以又因為，所以所以當(dāng)，即，時，.所以函數(shù)的最小值為 選擇：因為，所以又因為函數(shù)的最大值為，所以所以當(dāng)，即，時，所以函數(shù)的最小值為選擇：因為，所以，因為函數(shù)的最大值為，所以的取值不可能有兩個，無法求出解析式，舍去.(2)選擇：令，則，所以，當(dāng)時，函數(shù)的零點為，由于函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點，所以所以的取值范圍是 選擇：令，則，或，所以，或，當(dāng)時，函數(shù)的零點分別為，由于函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點，所以所以的取值范圍是2.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定條件：；條件：為偶函數(shù)；條件：的最大值為1；條件：圖象的相鄰兩條對稱軸之間

14、的距離為注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分(1)求的解析式；(2)設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】(1)選擇或均可得到(2)單調(diào)遞增區(qū)間有和；【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)，即可得到與題設(shè)沖突，再分別選擇，三種情況討論，分別根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，即可求出函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得，再利用二倍角及輔助角公式化簡，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可(1)因為，所以，顯然當(dāng)時為奇函數(shù)，故不能選，若選擇，即最大值為，所以，解得，所以，又，所以，即，解得，故不能唯一確定，故舍去；若選擇，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的

15、距離為，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若選擇，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，所以，又的最大值為，所以，解得，所以；(2)由（1）可得令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間有和；3.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若_條件：，且在時的最大值為；條件：請寫出你選擇的條件，并求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個解答計分【答案】選或選結(jié)論相同，最大值為0；最小值為【分析】(1)根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和輔助角公式可得(其中)，選條件或都算出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】，其中，若選，解得，得，所

16、以，由，得，當(dāng)時，當(dāng)時，；若選，得，所以，由，得，當(dāng)時，當(dāng)時，.【題型四】圖像與性質(zhì)3：恒成立（有解）求參數(shù)【典例分析】（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若不等式對任意恒成立，求整數(shù)m的最大值；(2)若函數(shù)，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在上有2個不同實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍【答案】(1)4；(2).【分析】（1）求出函數(shù)在上的最大、最小值，再利用恒成立的不等式求解作答.（2）根據(jù)給定變換求出函數(shù)，再探討在上的性質(zhì)，結(jié)合圖象求解作答.(1)當(dāng)時，則當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，于是得，依題意，任意，因此有，所以整數(shù)m的最

17、大值是4.(2)依題意，則，當(dāng)時，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從遞增到1，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1遞減到，如圖，方程在上有2個不同實數(shù)解，等價于函數(shù)在上的圖象與直線有兩個公共點，觀察圖象知，當(dāng)時，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個公共點，所以實數(shù)k的取值范圍是.【提分秘籍】基本規(guī)律利用二倍角和降冪公式等進(jìn)1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆開2. “重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”行恒等變形【變式演練】1.（2023全國高三專題練習(xí)）已知平面向量，其中(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上各點橫坐標(biāo)

18、縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向下平移1個單位得到的圖象，若在上恰有2個解，求m的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）根據(jù)三角函數(shù)變換規(guī)則得到的解析式，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及圖象計算可得；(1)解：因為，且，所以，即，令，解得，又因為，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(2)解：因為，所以將函數(shù)的圖象所有的點向右平移個單位得到，將所得圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來的 （縱坐標(biāo)不變）再向下平移個單位得到，又因為，所以，令，解得，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，作出圖像可得

19、：所以的取值范圍2.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象.（i）若，當(dāng)時，的值域為，求實數(shù)m的取值范圍；（ii）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)(2);【分析】(1)由圖象的最小值求得，函數(shù)的最小正周期求得，再求得，即可求出函數(shù)的解析式；(2) （i）利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換，先求出，再由，求出的范圍，即可得出的值域為， m的取值范圍；（ii）利用恒成立將不等式轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，設(shè)，對其對稱軸進(jìn)行討論即可得出答案.(

20、1)根據(jù)函數(shù)的部分圖象可得：，又因為，所以，所以.(2)由（1）知，先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得：，再將所得圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到 .（i），所以 ，所以.（ii）不等式對任意的恒成立，令，所以，所以上式：不等式對任意的恒成立，令，對稱軸為， ，則，所以. ，則，所以.故實數(shù)t的取值范圍為：.3.（2022全國高三專題練習(xí)）已知：函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，寫出實數(shù)k的取值范圍（只寫結(jié)論）【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）先結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)正弦

21、函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）由已知可轉(zhuǎn)化為與的交點問題，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解(1)解：因為，即所以的最小正周期(2)解：令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，(3)解：由，可得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，所以若函數(shù)在上有兩個不同的零點，即與有兩個交點，所以【題型五】圖像與性質(zhì)4：零點與對稱軸【典例分析】（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，B，C分別為最高點與最低點(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在，上有且僅有三個不同的零點，（），求實數(shù)m的取值范圍，并求出的值【答案】(1)(2)，【分析】（1）化簡函數(shù)為，設(shè)函數(shù)的周期為T，得到，再根據(jù)求解；（2）將問

22、題轉(zhuǎn)化為曲線與在上有且僅有三個不同的交點，設(shè)，由與求解；再由，得到求解.(1)解：，設(shè)函數(shù)的周期為T，則，則，所以故，故，所以(2)由題意，函數(shù)在上有且僅有三個不同的零點，即曲線與在上有且僅有三個不同的交點設(shè)，當(dāng)時，則，則，所以，即，即，所以【提分秘籍】基本規(guī)律重視三角函數(shù)畫圖在解題中的作用：1.五點畫圖法；2.換元畫圖法【變式演練】1.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象當(dāng)時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍和的值【答案】

23、(1)(2)，【分析】(1) 根據(jù)圖示，即可確定A和的值，再由周期確定，最后將點帶入；即可求出答案.(2) 先根據(jù)題意寫出，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍.即可根據(jù)的對稱性求出與的值.即可求出答案.(1)解：由圖示得：，又，所以，所以，所以，又因為過點，所以，即，所以，解得，又，所以，所以；(2)解：由已知得，當(dāng)時，令，則，令，則，所以，因為有三個不同的實數(shù)根，則，所以，即，所以2.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在上有三個不

24、相等的實數(shù)根，求m的取值范圍及的值【答案】(1)(2)，【分析】(1) 根據(jù)圖示，即可確定A和的值，再由周期確定，最后將點帶入；即可求出答案.(2) 先根據(jù)題意寫出，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍.即可根據(jù)的對稱性求出與的值.即可求出答案.(1)由圖示得：，又，所以，所以，所以，又因為過點，所以，即，所以，解得，又，所以，所以；(2)由已知得，當(dāng)時，令，則，令，則函數(shù)的圖象如下圖所示，且，由圖象得有三個不同的實數(shù)根，則，所以，即，所以，所以，故3.（2023全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱

25、坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(3)對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先整理化簡得，利用周期求得，即可得到；（2）利用圖像變換得到，用換元法求出函數(shù)的值域；（3）由方程，得到，借助于正弦函數(shù)的圖象，求出與的值.（1）由題意，函數(shù)因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得.故（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象.再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.（3）由方程，即，即，因為，可得，設(shè)，其中，即，結(jié)合

26、正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即解得所以. 綜上，【題型六】解三角形1：面積與周長常規(guī)【典例分析】（2022安徽高三開學(xué)考試）在中，點分別在線段上，且，(1)求的長;(2)求的面積【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合余弦定理即可得到答案.（2）根據(jù)為直角三角形，求得其面積，從而得到的面積，再由三角形面積公式可得,即可求得的面積.（1）由題意得，在中，由余弦定理得，即，則（2）由（1）知，為直角三角形，即的面積為【提分秘籍】基本規(guī)律三角形面積 ，不僅僅有常見的“底乘高”，還有以下：SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2

27、)acsin Beq f(abc,4R) SABCeq f(1,2)(abc)r(r是切圓的半徑)【變式演練】1.（2022北京高三開學(xué)考試）在中，角A，B，C的對邊分別為(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角正弦公式求出，即可得解；（2）由面積公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.（1）解：因為，所以，又，所以，所以，所以；（2）解：因為的面積為，又，所以，根據(jù)余弦定理，所以，所以.2.（2022江蘇南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1

28、）利用正切的兩角和公式計算可得答案；（2）利用余弦定理和已知可得，再用三角形面積公式計算可得答案.（1）由，得，所以，又在，則，所以；（2）因為，所以，又，則根據(jù)余弦定理，由得， .3.（2022云南昆明高三開學(xué)考試）已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，然后化簡可求出角A；（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.（1）因為所以由正弦定理得，因為，所以，所以，即，又因為，所以.（2）由余弦定理，得，解得.所以的面積.【題型七】解三角形2：計算角度與函數(shù)值【典例分

29、析】（2022全國高三專題練習(xí)）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出（1）因為，即，而，代入得，解得：（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以（3）因為，所以，故，又， 所以，而，所以，故【提分秘籍】基本規(guī)律選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）

30、若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（5）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.【變式演練】1.（2021天津靜海高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角C的大??；(2)若，求的面積.(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）運(yùn)用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可求解；（2）先算出ab，再利用三角形面積公式即可；（3）先算出 ，再運(yùn)用兩角差和倍角公式即可求解.(1)依題意，運(yùn)用正弦定理得： ，化簡得 ，由余弦定理得： ，因為C是三角形內(nèi)角， ；(2)由于 ，由得 ， ；(3

31、) ， ；綜上： ， ， .2.（2022北京市第二十二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知的內(nèi)角所對的對邊分別為，周長為，且(1)求的值；(2)若的面積為，求角的大小【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，解方程即可（2）利用面積求出，再利用余弦定理即可（1）因為三角形周長為，所以，因為，所以由正弦定理可得，所以解得（2）由的面積得，由（1），由余弦定理得又所以3.（2022青海玉樹高三階段練習(xí)（文）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積(1)求角B的大?。?2)若，求【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用正弦定理面積公式和余弦定理化簡已知條件得到，即可得到答案.（2）

32、首先利用正弦定理邊化角公式得到，化簡得到，再求其正弦值即可.(1)因為，所以，.又因為，所以.(2)因為，所以，即，所以，.因為，所以，即.【題型八】解三角形3：求面積范圍（最值）【典例分析】（2022云南昆明一中高三開學(xué)考試）已知的內(nèi)角所對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將已知條件由正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可求解；（2）結(jié)合（1）由基本不等式及三角形的面積公式即可求解.（1）解：在中，因為，所以由正弦定理可得，即，所以，因為，所以；（2）解：時，由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以面積的最大值為.【提分秘籍】基本規(guī)律解

33、三角形求最值，主要是兩個思路：利用余弦定理，借助均值不等式來求。利用正弦定理，邊角互化來求。化角時，要注意角的取值范圍限制【變式演練】1.（2022河南高三開學(xué)考試（文）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，且(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再利用余弦定理及特殊角的三角函數(shù)即得；（2）由余弦定理表示出關(guān)系，再由基本不等式得出的最大值，從而可得面積最大值；或利用正弦定理邊角互化，然后利用三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)即得（1）在中，由題意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因為，所以；（2）方法一：由（1）知，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等

34、號成立，所以；方法二：由（1）知，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因為，所以，因為，所以，所以當(dāng)，即時，的面積取得最大值，最大值為.2.（2022湖南麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c已知的外接圓半徑，且(1)求B和b的值；(2)求面積的最大值【答案】(1)，b=2；(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系切化弦得，再由正弦的和角公式化簡可求得B，再利用正弦定理可求得b；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面積公式可求得答案.（1）解：因為，所以，即，因為，所以，又，所以，所以，又的外接圓半徑，所以由正弦定理得；（2）解：由余弦

35、定理得，由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故面積的最大值為3.（2021江蘇礦大附中高三階段練習(xí)）的內(nèi)角，的對邊分別是，設(shè)(1)若，求；(2)若，求的面積的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正、余弦定理對進(jìn)行化簡，再由余弦定理，即可得解；（2）由余弦定理得出，再結(jié)合三角形面積公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，推出關(guān)于的函數(shù)，從而得解(1)解： ，結(jié)合正、余弦定理，可得，化簡得，代入，得，由余弦定理知，(2)解：由（1）知，由余弦定理知，的面積，當(dāng)時，取得最大值，即【題型九】解三角形4：周長最值【典例分析】（2022黑龍江雙鴨山一中高三

36、開學(xué)考試）在中，角，的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若的外接圓半徑為，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）在中，由正弦定理邊角關(guān)系得，由余弦定理求，進(jìn)而可得答案.（2）由正弦定理可得，推出，借助輔助角公式及三角函數(shù)性質(zhì)得周長的取值范圍.（1）在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因為為的內(nèi)角，則，所以.（2）由正弦定理得：，所以，所以的周長為：，因為，所以，則，所以，則，所以周長的取值范圍為.【提分秘籍】基本規(guī)律利用均值求周長的范圍時，注意利用三角形“兩邊之和大于第三邊（任意三角形）”【變式演練】1.（2022廣東深圳外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）已知中，內(nèi)角所對邊分別

37、為，若.(1)求角B的大??；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊角互化，再利用三角恒等變換化簡求值即可.（2）利用余弦定理得出，配方得，再利用基本不等式求最值即可.（1）因為，是三角形內(nèi)角，根據(jù)正弦定理，又因為，所以，所以，.（2）因為，所以，配方可得又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，解得.故的最大值為4.2.（2022湖北襄陽五中高三開學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，從條件：，條件：，條件：這三個條件中選擇一個作為已知條件(1)求角A的大小；(2)若，求周長的取值范圍【答案】(1)(2)周長的取值范圍為【分析】（1）若選條件

38、，切化弦即可；若選條件，等價轉(zhuǎn)換即可；若選條件，由正弦定理，邊化角得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式等價轉(zhuǎn)化即可.（2）由正弦定理，邊化角得，結(jié)合B的范圍求解.（1）選條件：因為，所以，即，又因為為銳角三角形，所以，所以，所以.選條件：因為，所以所以，又因為，所以，所以，所以， 選條件：由正弦定理可得即，又因為，所以，因為，所以.（2），則即，即周長的取值范圍為.3.（2022廣東高三開學(xué)考試）已知銳角中，角、所對邊為、，且(1)求角；(2)若，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和的正切公式及誘導(dǎo)公式計算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，根據(jù)的取值范圍及正弦函數(shù)的性

39、質(zhì)計算可得.（1）解：因為，所以，所以，從而，即，所以，因為，所以（2）解：因為，由正弦定理，有所以，所以，又因為為銳角三角形，所以，即，所以，所以，從而的取值范圍為【題型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非對稱”型【典例分析】（2022四川成都模擬預(yù)測（理）中，角所對邊分別是，(1)求角及邊；(2)求的最大值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理及可求，利用同角關(guān)系以及正弦定理可求；（2）根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合輔助角公式可得最大值.(1)因為，由正弦定理，可得，所以，即.因為，所以，通分可得，即，所以，即.(2)因為，所以，由正弦定理可得，其中且為銳角，當(dāng)時，取到最大值.【提分

40、秘籍】基本規(guī)“非對稱”型，多用正弦定理來“邊化角”，最后消角時要注意消去的角與剩下的角對應(yīng)的取值范圍。特別是題中有“銳角或者鈍角三角形”這類限制條件時。【變式演練】1.（2022全國南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）在中，角、的對邊分別為、，且(1)求角的大??；(2)若，求的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得出，結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可求得的最大值.(1)解：由已知可得，即，則，解得，因此，.(2)解：由正弦定理可得，所以，其中為銳角，且，因為，則，所以，當(dāng)

41、時，即當(dāng)時，取得最大值.2.2.（2022遼寧撫順市第二中學(xué)三模）在，這三個條件中，任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，問題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，_(1)求角B(2)求的范圍【答案】(1)任選一條件，都有(2)【分析】（1）若選由正弦定理可得，再由余弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得答案; 若選由余弦的二倍角公式結(jié)合余弦的差角公式可得出答案;若選由正弦定理結(jié)合切化弦可得，從而得到，得出答案.(2)由正弦定理可得，即，結(jié)合,利用正弦的差角公式和輔助角公式化簡結(jié)合角的范圍可得答案.(1)選擇：，由正弦定理可得：，可得：，可得：，由余弦定理可得：，整理可得：，可得：選擇：，因為，所以，又因

42、為，所以；選擇：因為，由正弦定理可得，又由，可得，因為，所以，因為，所以(2)在中，由（1）及，故，因為，則所以的范圍為【題型十一】解三角形6：最值范圍綜合【典例分析】（2022浙江高三開學(xué)考試）記內(nèi)角的對邊分別是，已知.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）首先化簡條件中的正切等式，再將正切寫成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化為邊，即可證明；（2）首先設(shè)，利用三角不等式的恒等式，化簡后可得的取值范圍，再計算的取值范圍.（1）由得：即兩邊同時除以得：即所以因此得證；（2）設(shè)，代入可得，由三角不等式得：，即，將代入得，整理得且解得，因為，顯然在上單調(diào)遞

43、增，所以【變式演練】1.（2022遼寧渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）的內(nèi)角、所對邊的長分別為、，已知(1)求的大??；(2)若為銳角三角形且，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再分析求解即可；（2），再利用三角函數(shù)求值域即可.(1)由及正弦定理可得，所以，因為、，則，則，故(2)依題意，為銳角三角形且，由正弦定理得，所以，所以，由于，所以，解得，所以，所以，所以，所以所以的取值范圍是2.（2022湖南湘潭高三開學(xué)考試）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，且(1)探究與的關(guān)系并證明你的結(jié)論；(2)求的取值范圍【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）由題意及正弦定理得

44、到，即，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解；（2）由（1）得，令，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（1）解：因為，由正弦定理得，所以，即，又因為，所以，于是，所以.（2）解：由（1）知，所以，所以，所以，令，則且，所以，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，當(dāng)或時，函數(shù)值為，所以的取值范圍是 1（2022天津高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出（1）因為，即，而，代入得

45、，解得：（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以（3）因為，所以，故，又， 所以，而，所以，故2（2022全國高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知(1)求的面積；(2)若，求b【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.3（2022全國高考真題（文）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證

46、明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出； （2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出（1）由，可得，而，所以，即有，而，顯然，所以，而，所以（2）由可得，再由正弦定理可得，然后根據(jù)余弦定理可知，化簡得：，故原等式成立4（浙江高考真題（理）已知的內(nèi)角所對的對邊分別為，周長為，且(1)求的值；(2)若的面積為，求角的大小【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，解方程即可（2）利用面積求出，再利用余弦定理即可（1）因為三角形周長為，所以，因為，所以由正弦定理可得，所以解得（2）由的面積得，由（1），由余弦定理得又所以5（2

47、022全國高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，所以，而，所以，即有，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為6（2020山東高考真題）小明同學(xué)用“五點法”作某個正弦型函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象時，列表如下：0030-30根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求：（1）實數(shù)，的值；（2）該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值是3，

48、最小值是.【分析】（1）利用三角函數(shù)五點作圖法求解，的值即可.（2）首先根據(jù)（1）知：，根據(jù)題意得到，從而得到函數(shù)的最值.【詳解】（1）由表可知，則，因為，所以，解得，即，因為函數(shù)圖象過點，則，即，所以，解得，又因為，所以.（2）由（1）可知.因為，所以，因此，當(dāng)時，即時，當(dāng)時，即時，.所以該函數(shù)在區(qū)間上的最大值是3，最小值是.7（山東高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的部分圖象如下圖，求（1）函數(shù)的最小正周期及的值：（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】（1）最小正周期；（2），【分析】（1）根據(jù)解析式可直接求出最小正周期，代入點可求出；（2）令可解出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期，因為函數(shù)的

49、圖象過點，因此，即，又因為，因此（2）因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，因此，解得，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，8（2021天津高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.9（2021全國高考真題）在中，角、所對的邊長分別為、，.（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；

50、若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因為，則，則，故，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，故.10（2021北京高考真題）在中，（1）求；（2）再從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長條件：；條件：的周長為；條件：的面積為；【答案】（

51、1）；（2）答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇：由正弦定理求解可得不存在；若選擇：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，解得；（2）若選擇：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.11（2023全國高三專題練習(xí)）在中(1)求角；(2)若，點是線段的中

52、點，于點，且，求的長【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡可得，由此可求得；（2）利用面積橋可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得結(jié)果.(1)，；，解得：.(2)是中點，又，解得：；在中，由余弦定理得：，則，.1.（2022浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中，均為常數(shù)，且，）的部分圖像如圖所示(1)求的解析式；(2)若，求的值域【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可得、，再由五點法求，進(jìn)而寫出解析式；（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式、輔助角公式可得，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求值域.(1)由題圖且，則，則且，又，故，綜上，.(2)由題設(shè)，而，所

53、以，則，故2.（2022全國高三專題練習(xí)）已知向量，(1)若，求的值；(2)令，把函數(shù)的圖像上每一點的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖像沿x軸向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值【答案】(1)(2)最大值，有最小值【分析】（1）由，求出，利用二倍角公式，再進(jìn)行弦化切代入即可求得； （2）先求出，利用整體代換，求出的最大值和最小值(1)因為，所以，所以，所以(2)由題可得則當(dāng)時，當(dāng)時有最大值，當(dāng)時有最小值3.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，再從條件、條件、條件這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.(1)求的解析式；(2)設(shè)函

54、數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.條件：的最小正周期為；條件：；條件：圖象的一條對稱軸為.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）可以選擇條件或條件，先由周期計算，再計算即可；（2）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可.(1)選擇條件：由條件及已知得，所以.由條件，即，解得.因為，所以，所以，經(jīng)檢驗符合題意.選擇條件：由條件及已知得，所以由條件得，解得，因為，所以，所以若選擇：由條件，即，解得，因為，所以，由條件得，則的解析式不唯一，不合題意.(2)由題意，化簡得因為，所以，所以當(dāng)，即時，的最大值為.4.（2023全國高三專題練習(xí)）已知

55、函數(shù)(1)若為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若對任意，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）因為為奇函數(shù)，由即可求出實數(shù)的值.（2）若對任意，總存在，使成立, 設(shè)在的值域為在上的值域為，則，所以分類討論的值，使得即可求出答案.(1)若為奇函數(shù)，因為的定義域為，所以，則.(2)，所以，設(shè)在的值域為在上的值域為，則當(dāng)時，在單調(diào)遞減，（舍）當(dāng)時，即，若在單調(diào)遞減，只需；若，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，只需得；若，所以只需，即綜上，實數(shù)的取值范圍為5.（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的對稱中心；(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，是的一個零點，若函數(shù)在（m，且）上恰好有10個零點，求的最小值；【答案】(1)或(2)【分析】（1）分析已知可得周期，然后可得，然后由正弦函數(shù)對稱性可得；（2）由平移變換和零點可得解析式，考察的零點可得的最小