專題22＋內(nèi)切球與外接球的解題策略（理）

1、PAGE21專題22內(nèi)切球與外接球的解題策略一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握球的表面積體積公式2掌握恢復(fù)長方體法求球的表面積及體積3掌握多面體與球問題4掌握外接球與內(nèi)切球的解法二【典例分析及訓(xùn)練】（一）球相關(guān)問題例1已知A，B，C是球面上三點(diǎn)，且，球心O到平面ABC的距離等于該球半徑的，則此球的表面積為ABCD【答案】D【解析】求出三角形ABC的外心，利用球心到ABC所在平面的距離為球半徑的，求出球的半徑，即可求出球的表面積【詳解】由題意AB6，BC8，AC10，6282102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中點(diǎn)，球心到截面的距離就是球心與三角形外心的距離，設(shè)球的半徑為R，球心到ABC所在平

2、面的距離為球半徑的，所以R2（R）252，解得R2，球的表面積為4R2故選：D【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積的計(jì)算，考查球的截面的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)1已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】先利用等邊三角形中心的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理計(jì)算得球的半徑，過的最大截面是經(jīng)過球心的截面，可由球的半徑計(jì)算得出過最小的截面是和垂直的截面，先計(jì)算得的長度，利用勾股定理計(jì)算得這個(gè)截面圓的半徑，網(wǎng)【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的問題，考查過一點(diǎn)球的截面面積的最大值和最小值問題，屬于中檔題的圓面

3、，球心到這個(gè)圓面的距離是4cm，則該球的體積是Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【答案】C【解析】設(shè)球心為，截面圓心為，連結(jié)，由球的截面圓性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出球半徑，再利用球的表面積和體積公式即可算出答案【詳解】設(shè)球心為，截面圓心為，連結(jié)，則截面圓中，球半徑，因此球體積，故選C【點(diǎn)睛】本題著重考查了球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式等知識(shí)，通過軸截面圖得到球的半徑是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（二）多球外切問題例2把三個(gè)半徑都是1的球放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與下邊的三個(gè)都相切，則第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為（）ABCD4【答案】C【解析】先求四個(gè)球心連線是正三

4、棱錐的高，而第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離即為高加上兩個(gè)半徑，從而求出所求【詳解】四個(gè)球心連線是正三棱錐棱長均為2ED=，OD=ED=，AO=第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為OA加上兩個(gè)半徑即2故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了由4個(gè)相同球外切時(shí)的球心連線構(gòu)成一個(gè)正四面體，頂點(diǎn)到底面的距離，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及計(jì)算能力，屬于中檔題練習(xí)現(xiàn)有兩個(gè)半徑為2的小球和兩個(gè)半徑為3的小球兩兩相切，若第五個(gè)小球和它們都相切，則這個(gè)小球的半徑是（）ABCD【答案】A【解析】如圖所示，A,B是半徑為2的球的球心，C,D是半徑為3的球的球心，O是第五個(gè)球的球心由題得,，因?yàn)槠矫鍮EC，所以在直角AEO中，故選

5、A點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于畫圖和從線面關(guān)系里找到方程所以首先要把圖畫得直觀，再從幾何圖里找到線面關(guān)系利用解三角形的知識(shí)列出方程練習(xí)3已知有半徑分別為2、3的球各兩個(gè)，且這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球與此四個(gè)球都相外切，則此球的半徑為_【答案】【解析】思路分析：結(jié)合圖形，分析四個(gè)球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、CD中點(diǎn)為F，連接EF在ABF中可得，在EBF中可得由于對稱性可得第五個(gè)球的球心O在EF上，連接OA、OD設(shè)第五個(gè)球的半徑為r，根據(jù)OEOF=EF建立的方程如圖，設(shè)四個(gè)球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、C

6、D中點(diǎn)為F，連接EF在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=由于對稱性可得第五個(gè)球的球心O在EF上，連接OA、OD設(shè)第五個(gè)球的半徑為r，則OA=r3，OD=r2，于是OE=，OF=，OEOF=EF，平方整理再平方得，解得或（舍掉），故答案為點(diǎn)評(píng)：本題通過分析球心的位置，根據(jù)它們構(gòu)成的幾何體特征，轉(zhuǎn)化成平面幾何中三角形邊角關(guān)系，利用方程思想得解（三）多面體的最值與球問題，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖，結(jié)合三角形面積及四面積體積的最值，判斷頂點(diǎn)D的位置；然后利用勾股定理及球中的線段關(guān)系即可求得球

7、的半徑，進(jìn)而求得球的面積。【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示因?yàn)?，所以三角形ABC為直角三角形，面積為，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點(diǎn)處，設(shè)該小圓的圓心為Q因?yàn)槿切蜛BC的面積是定值，所以當(dāng)四面體ABCD體積取得最大值時(shí)，高取得最大值即當(dāng)DQ平面ABC時(shí)體積最大所以所以設(shè)球心為O，球的半徑為R，則即解方程得所以球的表面積為所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法，主要根據(jù)題意，正確畫出圖形并判斷點(diǎn)的位置，屬于難題。練習(xí)1三棱錐中，互相垂直，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）ABCD【答案】B三棱錐擴(kuò)充為長方體，則長方體的

8、對角線長為，三棱錐的外接球的半徑為，三棱錐的外接球的表面積為選B點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法1求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解2若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用求解（四）多面體放入球中求球的表面積和體積的球面上，若ABC是邊長為的等邊三角形，C1C=，則球O的表面積為ABCD【答案】D【解析】根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，現(xiàn)求得三棱柱的底面正三角形的外接圓的半徑，在利用勾股定理求得外接球的半徑，利用球的表面積公式，即

9、可求解【詳解】由題意，設(shè)三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，設(shè)其外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即又由三棱柱的側(cè)棱長為，所以三棱柱的外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】分析：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點(diǎn)且

10、垂直于平面的直線上，可知是直線與面的交點(diǎn)，也是直線與直線的交點(diǎn)沒有此可求三棱錐外接球的半徑，得到棱錐的外接球的表面積詳解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，又點(diǎn)到距離相等，點(diǎn)又在線段的垂直平分面上，故是直線與面的交點(diǎn)，可知是直線與直線的交點(diǎn)（分別是左側(cè)正方體對棱的中點(diǎn)），故三棱錐外接球的半徑，表面積為故選A點(diǎn)睛：本題考查了三棱錐的性質(zhì)、空間幾何位置關(guān)系、三垂線定理、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題練習(xí)2如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面，分別為棱，上一點(diǎn)，已知，且平面，四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）ABCD【答案】

11、C【解析】在棱CD上取一點(diǎn)H,使得HD=1,平面BCE,又平面BCE，平面平面BCE，又平面平面ABCD=GH,平面平面ABCD=BC,=HD=1,故四面體可以補(bǔ)成一個(gè)長方體，且長，寬，高分別為4，1，1，所以球的表面積為點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑

12、，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長方體，它們是同一個(gè)外接球練習(xí)3知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長為球半徑的倍，且圓和圓所在平面所成的二面角是，則圓的半徑為（）ABCD【答案】D【解析】設(shè)公共弦中點(diǎn)為N，則選D點(diǎn)睛:求解球問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解練習(xí)4三棱錐中，側(cè)棱底面，則該三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】B點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵練習(xí)5三棱

13、錐中，平面，是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體外接球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】設(shè)三角形和三角形的中心分別為，是球心，連接交于，則是平行四邊形，外接球半徑所以表面積為故選D（五）內(nèi)切球問題例5已知，四點(diǎn)均在以點(diǎn)為球心的球面上，且，若球在球內(nèi)且與平面相切，則球直徑的最大值為A1B2C4D8【答案】D【解析】如圖所示:取CD的中點(diǎn)O,連接AO,BO,如圖，因?yàn)锽C=BD=，,所以因?yàn)?，所以AOCD,且AO=2，又因?yàn)镺D=4，BO=4，所以故AOOB，又BOCD=O,所以AO平面BCD,所以在AO上，連接,設(shè)則即解之得R=5，球的直徑最大時(shí)，球與平面BCD相切且與球內(nèi)切，A,O,四點(diǎn)共

14、線，此時(shí)球的直徑為R=點(diǎn)睛：本題是一個(gè)難題，只有通過計(jì)算，認(rèn)清以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐的圖形特征，正確判斷球心的位置，借助方程求出球的半徑，直觀判斷球心的位置，才能迎刃而解練習(xí)1一光源在桌面的正上方，半徑為的球與桌面相切，且與球相切，小球在光源的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓，如圖所示，形成一個(gè)空間幾何體，且正視圖是，其中，則該橢圓的長軸長為_【答案】8正視圖為內(nèi)切一個(gè)圓,且r=2,的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON長，最后應(yīng)用勾股定理確定圓N的半徑詳解：如圖，過圓心的平面與的夾角為且平面截球的球面得圓點(diǎn)睛：本題考查球截面與二面角問題，球半徑為，球

15、截面圓的半徑為，球心到截面距離為，滿足練4表面積為的球面上有四點(diǎn)，且是邊長為的等邊三角形，若平面平面，則三棱錐體積的最大值是_【答案】（七）恢復(fù)長方體法求外接球半徑例7已知正三棱錐，點(diǎn)都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為（）ABCD【答案】C【解析】如圖,設(shè),球心到平面的距離,則,由圖形可得,所以,即；又,即,由此可得,解之得或,應(yīng)選C（八）外接球問題中截面圓妙用例8已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在某個(gè)球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則此三棱錐的外接球的表面積為_【答案】【解析】分析：根據(jù)題意作出圖形，欲求球的表面積，只需求出球的半徑，利用截面圓的性質(zhì)

16、，即可求出，進(jìn)而求出底面上的高，即可得到三棱錐的體積，從而建立關(guān)系式求得的值，即可得到求得表面積詳解：根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，設(shè)球心為，球的半徑為，過三點(diǎn)的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點(diǎn)，則平面，因?yàn)?，所以，所以高，又由為邊長為4的等邊三角形，所以，所以三棱錐的體積為，解得，所以外接球的表面積為點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑練習(xí)1若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,BAC=60,則球O的表面積_【答案】16【解析】如圖所示，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，以為平面，所以，所以，所以截球所得的圓的半徑為,所以球的半徑為，所以的表面積為點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接