(課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例103變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案理

1、10.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例考綱顯現(xiàn)?會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量之間的相關(guān)關(guān)系2認(rèn)識(shí)最小二乘法的思想，能依照給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程3認(rèn)識(shí)獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用4認(rèn)識(shí)回歸解析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用考點(diǎn)1變量間的相關(guān)關(guān)系1.常有的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是_；與函數(shù)關(guān)系不同樣，_是一種非確定性關(guān)系答案：相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系2從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的地區(qū)內(nèi)，兩個(gè)變量的這類相關(guān)關(guān)系稱為_，點(diǎn)散布在左上角到右下角的地區(qū)內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為_答案：正相關(guān)負(fù)相關(guān)對(duì)回歸系數(shù)的理解：講解變量

2、；預(yù)告變量某工廠工人月薪水y(元)依勞動(dòng)產(chǎn)值x(萬元)變化的回歸直線方程為y900 x600，以下判斷正確的選項(xiàng)是_勞動(dòng)產(chǎn)值為10000元時(shí)，薪水為500元；勞動(dòng)產(chǎn)值提高10000元時(shí)，薪水提高1500元；勞動(dòng)產(chǎn)值提高10000元時(shí)，薪水提高900元；勞動(dòng)產(chǎn)值為10000元時(shí)，薪水為900元答案：個(gè)單位，預(yù)告變量平均增加b個(gè)單位.解析：回歸系數(shù)b的意義為：講解變量每增加1典題1(1)以下四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間擁有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是()ABCD答案D解析觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間擁有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系四名同學(xué)依照各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求

3、得回歸直線方程，分別獲取以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且y2.347x6.423；y與x負(fù)相關(guān)且y3.476x5.648；y與x正相關(guān)且y5.437x8.493；y與x正相關(guān)且y4.326x4.578.其中必然不正確的結(jié)論的序號(hào)是()ABCD答案D解析時(shí)，y與x負(fù)相關(guān)，由回歸方程ybxa知，當(dāng)b0時(shí)，y與x正相關(guān)，當(dāng)b0必然錯(cuò)誤點(diǎn)睛之筆相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且地區(qū)較窄，說明兩個(gè)變量有必然的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形地區(qū)且散布較亂則不具備相關(guān)性考點(diǎn)2線性回歸解析1.回解析擁有_的兩個(gè)量行解析的方法叫回解析其基本步是：()畫散點(diǎn)；()求_；()用回直方程

4、作答案：相關(guān)關(guān)系回直方程2回直若是散點(diǎn)中點(diǎn)的散布從整體上看大體在_周邊，就稱兩個(gè)量之擁有性相關(guān)關(guān)系，條直叫做回直答案：一條直3回直方程的求法最小二乘法擁有性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量x，y的一察(x，y)(i1,2，)，回ii直方程ybxa的系數(shù)：x1n1nxi，yyi，(x，ni1ni1nxiyinxy1nxixyiy1，bn其中xix2i1aybx，y)稱本點(diǎn)的_答案：中心n2x2xini14相關(guān)系數(shù)r0，表示兩個(gè)量_；r0，表示兩個(gè)量_r的越湊近于1，表示兩個(gè)量的性相關(guān)性_r的越湊近于0，表示兩個(gè)量之幾乎不存在性相關(guān)關(guān)系平時(shí)|r|大于0.75，兩個(gè)量有很的性相關(guān)性答案：正相關(guān)相關(guān)越教材習(xí)題改編已知

5、回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為(4,5)，則回歸直線方程為_答案：y1.23x0.08解析：設(shè)回歸直線方程為y1.23xa，由于回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心(x，y)，將點(diǎn)(4,5)代入回歸直線方程得a0.08，x0.08.因此所求方程為y1.23變量的相關(guān)關(guān)系：散點(diǎn)圖；回歸直線過(x，y)某工廠經(jīng)過技術(shù)改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)如同下幾組樣本數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，y與x擁有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)過線性回歸解析，求得回歸直線的斜率為0.7，那么當(dāng)產(chǎn)量x10噸時(shí)，估計(jì)相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為_噸標(biāo)準(zhǔn)煤答案：7.35解析：先求得x，4

6、.5，y3.5，由y0.7xa過點(diǎn)(x，y)，得a0.35因此回歸直線方程是y0.7x0.35.當(dāng)x10噸時(shí)，y70.357.35(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)典題2(1)已知x，y的取值以下表，從散點(diǎn)圖能夠看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為y0.95xa，則a()x0134y2.24.34.86.7B2.6C2.2D0答案B解析由已知得x2，y4.5，由于回歸方程經(jīng)過點(diǎn)(x，y)，因此a4.50.9522.6.(2)由某種設(shè)備的使用年限xi(年)與所支出的維修費(fèi)yi(萬元)的數(shù)據(jù)資料算得以下結(jié)果，5555290，xiyi112，xi20，yi25.xii1i1i1i1求所支出的維修費(fèi)y對(duì)使用年限x的線性回歸方程

7、ybxa；()判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；()當(dāng)使用年限為8年時(shí)，試估計(jì)支出的維修費(fèi)是多少nxiyinxyi1附：在線性回歸方程x，y為樣ybxa中，b，aybx，其中n22xinxi1本平均值55解xi20，yi25，i1i11515x5i1xi4，y5i1yi5，5xiyi5xyi1112545b21.2，5905422xi5xi1aybx51.240.2.線性回歸方程為y1.2x0.2.()由知，b1.20，變量x與y之間是正相關(guān)()由知，當(dāng)x，即使用年限為8年時(shí)，支出維修費(fèi)約是9.8萬元8時(shí)，y9.8點(diǎn)睛之筆1.正確理解計(jì)算，的公式和正確的計(jì)算是求線性回歸方程的要點(diǎn)ba2回歸

8、直線方程ybxa必過樣本點(diǎn)的中心(x，y)3在解析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可依照樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間可否擁有相關(guān)關(guān)系，若擁有線性相關(guān)關(guān)系，則可經(jīng)過線性回歸方程來估計(jì)和展望.某地近來十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程ybxa；(2)利用(1)中所求出的回歸直線方程展望該地2016年的糧食需求量解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)辦理以下：年份201042024需求量257211

9、101929對(duì)預(yù)辦理后的數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)單算得，x0，y3.2，219429503.2b222242502260406.5，aybx3.2.由上述計(jì)算結(jié)果知，所求回歸直線方程為y257b(x2010)a6.5(x2010)3.2，即y6.5(x2010)260.2.(2)利用(1)中所求回歸直線方程，可展望2016年的糧食需求量為6.5(20162010)260.26.56260.2299.2(萬噸)考點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)分類變量：變量的不同樣“值”表示個(gè)體所屬的不同樣種類，像這類變量稱為分類變量2列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y

10、2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為22列聯(lián)表：1y2總計(jì)yx1ababx2cdcd總計(jì)cadabdbc2bc2Kabacbdcd(其中n_為樣本容量)，則利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“X與Y的關(guān)系”答案：abcd(1)教材習(xí)題改編為檢查中學(xué)生的近視情況，測(cè)得某校150名男生中有80名近視，140名女生中有70名近視在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視可否與性別相關(guān)時(shí)，最有說服力的方法是_(填序號(hào))回歸解析；希望與方差；獨(dú)立性檢驗(yàn)；概率答案：解析：“近視”與“性別”是兩個(gè)分類變量，其可否相關(guān)，應(yīng)該用獨(dú)立性檢驗(yàn)來判斷(2)教材習(xí)題改編在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，經(jīng)過收集數(shù)據(jù)、整理解析數(shù)據(jù)得出“吸煙與患肺癌相

11、關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的掌握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是建立的，有以下四種說法：100個(gè)吸煙者中最少有99人患有肺癌；1個(gè)人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌；在100個(gè)吸煙者中必然有患肺癌的人；在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒有其中正確說法的序號(hào)是_答案：對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解：K2的計(jì)算；對(duì)P(K2k0)的講解2017湖南張家界模擬某高校教“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)檢查了選該課程的一些學(xué)生的情況，詳盡數(shù)據(jù)以下表：專業(yè)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)性別男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)可否與性別相關(guān)系，依照表中的數(shù)據(jù)，獲取K2的觀察值k24.844.23272030由于k3.841，因此判斷主修統(tǒng)計(jì)專

12、業(yè)與性別相關(guān)系，那么這類判斷出錯(cuò)的可能性為_附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828答案：5%解析：k3.841，查臨界值表，得P(K23.841)0.05，故這類判斷出錯(cuò)的可能性為5%.典題3(1)為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科可否與性別相關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，獲取22列聯(lián)表：理科文科總計(jì)男131023女72027總計(jì)203050已知(23.841)0.05，PKP(K25.024)0.025.2依照表中數(shù)據(jù)，獲取K24.844，則認(rèn)為選修文理科與性別有23272030關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為_答案5%解析由K24.8443.841.故認(rèn)為選修

13、文理科與性別相關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%.(2)2017江西九江模擬某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績可否與性別相關(guān)，先統(tǒng)計(jì)本校高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的學(xué)生后，共有男生300名，女生200名現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，按性別分為兩組，并將兩組學(xué)生的成績分為6組，獲取以下所示的頻數(shù)散布表.分?jǐn)?shù)段40，50，60，70，80，90，50)60)70)80)90)100男39181569女64510132估計(jì)男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)，從計(jì)算結(jié)果看，數(shù)學(xué)成績與性別可否相關(guān)；規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分

14、)，請(qǐng)你依照已知條件作出22列聯(lián)表，并判斷可否有90%以上的掌握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別相關(guān)”.優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生女生總計(jì)100附表及公式：P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828nadbc22bd.Kabcdac解x男450.05550.15650.3750.25850.1950.1571.5，x女450.15550.1650.125750.25850.325950.0571.5，從男、女生各自的平均分來看，其實(shí)不能夠判斷數(shù)學(xué)成績與性別相關(guān)由頻數(shù)散布表可知，在抽取的100名學(xué)生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，

15、據(jù)此可得22列聯(lián)表以下：優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生154560女生152540總計(jì)30701002可得K21.79，60403070由于1.792.706，因此沒有90%以上的掌握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別相關(guān)”點(diǎn)睛之筆1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的要點(diǎn)是正確列出22列聯(lián)表，并計(jì)算出K2的值2弄清判斷兩變量相關(guān)的掌握性與出錯(cuò)誤概率的關(guān)系，依照題目要求作出正確的回答.2017廣西玉林、貴港聯(lián)考某市地鐵立刻于2015年6月開始運(yùn)營，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次檢查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度以下；月收入15，25，35，45，55，65，(單位：25)35)45)55)65)75百元)贊同定123

16、534價(jià)者人數(shù)認(rèn)為價(jià)格偏高4812521者人數(shù)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參加檢查的人員中“贊同定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表解析可否有99%的掌握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.月收入低于月收入不低于總計(jì)55百元的人數(shù)55百元的人數(shù)認(rèn)為價(jià)格偏高者贊同定價(jià)者總計(jì)22bd.附：KabcdacP(K2k0)0.050.01k03.8416.635解：(1)“贊同定價(jià)者”的月平均收入為201302403505603704x112353450.56.“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為

17、x22043084012505602701481252138.75，“贊同定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元)依照條件可得22列聯(lián)表以下：月收入低于月收入不低于55總計(jì)55百元的人數(shù)百元的人數(shù)認(rèn)為價(jià)格29332偏高者贊同11718定價(jià)者總計(jì)4010502K26.270，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元將2015年的年份代號(hào)t9代入(1)中的回歸方程，得y0.592.36.8，故展望該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元課外拓展閱讀統(tǒng)計(jì)案例問題的規(guī)范答題典例2013福建卷某工

18、廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名為研究工人的日平均生產(chǎn)量可否與年齡相關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，爾后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分別加以統(tǒng)計(jì)，獲取以下列圖的頻率散布直方圖(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求最少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)很多于80件者為“生產(chǎn)妙手”，請(qǐng)你依照已知條件完成22列聯(lián)表，并判斷可否有90%的掌握認(rèn)為“生產(chǎn)妙手與工人所在的年齡組相關(guān)”？P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828nadbc22附：Kcb.abdacd審題視角由頻率散布直方圖列舉基本事件，結(jié)合古典概型，求概率利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算K2.解(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有600.05為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有400.052(人)，記為B1，B2.40名所3(人)，記從中隨機(jī)抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10