高三理科數(shù)學(xué)培養(yǎng)講義：第2部分 專題3 第6講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1、PAGE23第6講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例高考統(tǒng)計(jì)定方向熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：變量的相關(guān)性及回歸分析2022全國卷T18；2022全國卷T18；2022全國卷T19；2022全國卷T19分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高考命題有以下規(guī)律：試題背景新穎且信息量大，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想以及對(duì)數(shù)據(jù)的提取、分析及應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，難度較大，得分不高題型2：獨(dú)立性檢驗(yàn)2022全國卷T18；2022全國卷T18題型3：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題2022全國卷T18；2022全國卷T18；2022全國卷T18題型1變量的相關(guān)性及回歸分析核心知識(shí)儲(chǔ)備1變量的相關(guān)性1正相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到

2、右上角的區(qū)域2負(fù)相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域3相關(guān)系數(shù)r：當(dāng)r0時(shí)，兩變量正相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高，當(dāng)|r|1且|r|越接近于0，相關(guān)程度越低2線性回歸方程方程eqoy,suC直線l的斜率的值近似等于樣本中青少年平均身高每年的增量D從這5種年齡的青少年中各取一人的身高數(shù)據(jù)，由這5人的平均年齡和平均身高數(shù)據(jù)作出的點(diǎn)一定在直線l上D在給定范圍內(nèi)，隨著年齡增加，年齡越大身高越高，故該地區(qū)青少年身高與年齡成正相關(guān)，故A項(xiàng)正確；用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體可得平均數(shù)大約是145cm，故B項(xiàng)正確；根據(jù)直線斜率的意義可知斜率的值近似等于樣本中青少年

3、平均身高每年的增量，故C項(xiàng)正確；各取一人具有隨機(jī)性，根據(jù)數(shù)據(jù)作出的點(diǎn)只能在直線附近，不一定在直線上，故D項(xiàng)錯(cuò)誤題型2獨(dú)立性檢驗(yàn)核心知識(shí)儲(chǔ)備獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟1根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，然后查臨界值表確定臨界值02利用公式K2eqfnadbc2,abcdacbd計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值3如果0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”高考考法示例【例2】2022全國卷某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生

4、產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間單位：min繪制了如圖2313所示的莖葉圖：圖23131根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高并說明理由；2求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式3根據(jù)2中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異附：K2eqfnadbc2,abcdacbd，解1第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：由莖葉圖可知

5、：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種

6、生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高2由莖葉圖知meqf7981,280列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式5152由于K2eqf401515552,2020202010，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異方法歸納獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法步驟1根據(jù)數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表；2根據(jù)公式計(jì)算K2找觀測值；3比較觀測值與臨界值表中相應(yīng)的檢驗(yàn)水平，作出統(tǒng)計(jì)判斷對(duì)點(diǎn)即

7、時(shí)訓(xùn)練某省召開全面展開新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，會(huì)議動(dòng)員各方面力量，迅速全面展開新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在20,40內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品如圖2314是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖圖2314表：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值15,2020,2525,3030,3535,4040,45頻數(shù)43696283241完成下面的22列聯(lián)表，并判斷是否有99%

8、的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)；設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品不合格品合計(jì)2根據(jù)圖和表提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；3企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在25,30內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在20,25或30,35內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其它的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X單位：元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：

9、PK200K2eqfnadbc2,abcdacbd解1根據(jù)圖和表得到22列聯(lián)表：設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品172192364不合格品28836合計(jì)200200400將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：K2eqfnadbc2,abcdacbdeqf4001728281922,20020036436，有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)2根據(jù)圖和表可知，設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為eqf172,200eqf43,50，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為eqf192,200eqf24,25；顯然設(shè)備改造后產(chǎn)品合格率更高，因此，設(shè)備改造后性能更優(yōu)3由表知：一等品的頻率

10、為eqf1,2，即從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件一等品的概率為eqf1,2；二等品的頻率為eqf1,3，即從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件二等品的概率為eqf1,3；三等品的頻率為eqf1,6，即從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件三等品的概率為eqf1,6由已知得：隨機(jī)變量X的取值為：240,300,360,420,480PX240eqf1,6eqf1,6eqf1,36，PX300Ceqoal1,2eqf1,3eqf1,6eqf1,9，PX360Ceqoal1,2eqf1,2eqf1,6eqf1,3eqf1,3eqf5,18，PX420Ceqoal1,2eqf1,2eqf1,3eqf1,3，PX480eqf1,2eq

11、f1,2eqf1,4隨機(jī)變量X的分布列為：X240300360420480Peqf1,36eqf1,9eqf5,18eqf1,3eqf1,4EX240eqf1,36300eqf1,9360eqf5,18420eqf1,3480eqf1,4400題型3概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題核心知識(shí)儲(chǔ)備1統(tǒng)計(jì)中的數(shù)字特征1平均數(shù)：eqtoeqf1,n12n；2方差：s2eqf1,n1eqto22eqto2neqto23標(biāo)準(zhǔn)差：seqrf1,n1to22to2nto22直方圖的三個(gè)結(jié)論1最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；2中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；3平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形

12、的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和高考考法示例【例3】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員，日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產(chǎn)品提成1元；乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元1請將兩家公司各一名推銷員的日工資y單位：元分別表示為日銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；2從兩家公司各隨機(jī)抽取一名推銷員，對(duì)他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下條形圖：圖2315若將該頻率視為概率，請回答下列問題：記乙公司一名員工的日工資為X單位：元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請你利

13、用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說明理由解1由題意得，甲公司一名推銷員的日工資y單位：元與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為：y80n，nN*，乙公司一位推銷員的日工資y單位：元與銷售件數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為：yeqblcrcavs4alco1120n45，nN*，,8n240n45，nN*2記乙公司一名員工的日工資為X單位：元，由條形圖得X的可能取值為120,128,144,160，PX120eqf1010,100，PX128eqf30,100，PX144eqf40,100，PX160eqf10,100，所以X的分布列為：X120128144160PX的數(shù)學(xué)期望EX120128144160136元由條形

14、圖知，甲公司一名員工的日均銷售量為424446485045件，甲公司一名員工的日均工資為125元由知乙公司一名員工的日均工資為136元故應(yīng)該應(yīng)聘乙公司方法歸納解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題的一般步驟對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練某校為了解甲、乙兩班學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，從兩班中各隨機(jī)抽取20人參加學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試，得到學(xué)生的學(xué)業(yè)成績莖葉圖如圖2316：圖23161通過莖葉圖比較甲、乙兩班學(xué)生的學(xué)業(yè)成績平均值eqto甲與eqto乙及方差seqoal2,甲與seqoal2,乙的大?。恢恍鑼懗鼋Y(jié)論2根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績，將學(xué)業(yè)水平分為三個(gè)等級(jí)：學(xué)業(yè)成績低于70分70分到89分不低于90分學(xué)業(yè)水平一般良好優(yōu)秀根據(jù)所給數(shù)據(jù)，頻率可以視為

15、相應(yīng)的概率從甲、乙兩班中各隨機(jī)抽取1人，記事件C：“抽到的甲班學(xué)生的學(xué)業(yè)水平高于乙班學(xué)生的學(xué)業(yè)水平等級(jí)”，求C發(fā)生的概率；從甲班中隨機(jī)抽取2人，記X為學(xué)業(yè)水平優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解1由莖葉圖能得到eqto甲eqto乙，seqoal2,甲seqoal2,乙2記A1，A2，A3分別表示事件：甲班學(xué)生學(xué)業(yè)水平成績?yōu)橐话?，良好，?yōu)秀；記B1，B2，B3分別表示事件：乙班學(xué)生學(xué)業(yè)水平成績?yōu)橐话悖己?，?yōu)秀；則PCPA2B1A3B1A3B2PA2B1PA3B1PA3B2PA2PB1PA3PB1PA3PB2eqf12,20eqf9,20eqf5,20eqf9,20eqf5,20eqf9,20e

16、qf99,200從甲班隨機(jī)抽取1人，其學(xué)業(yè)水平優(yōu)秀的概率為eqf1,4，所以，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2，且XBeqblcrcavs4alco12，f1,4PX0Ceqoal0,2eqblcrcavs4alco1f3,4eqsup72eqf9,16，PX1Ceqoal1,2eqf1,4eqf3,4eqf3,8，PX2Ceqoal2,2eqblcrcavs4alco1f1,4eqsup72eqf1,16隨機(jī)變量X的分布列是：X012Peqf9,16eqf3,8eqf1,16數(shù)學(xué)期望EX2eqf1,4eqf1,2高考真題12022全國卷如圖2317是某地區(qū)2000年至2022年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)

17、施投資額y單位：億元的折線圖圖2317為了預(yù)測該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2022年的數(shù)據(jù)時(shí)間變量t的值依次為1,2，17建立模型：eqoy,sup7；根據(jù)2022年至2022年的數(shù)據(jù)時(shí)間變量t的值依次為1,2，7建立模型：eqoy,sup7991分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；2你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠并說明理由解1利用模型，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為eqoy,sup719億元利用模型，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為eqoy,sup7999億元2利

18、用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：從折線圖可以看出，2000年至2022年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y上下，這說明利用2000年至2022年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢2022年相對(duì)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2022年至2022年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2022年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2022年至2022年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eqoy,sup799可以較好地描述2022年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠最新模擬22022鄭州模擬為考察A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，分別得到如圖2318所示的等高條形圖，根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說法最佳的一項(xiàng)是圖2318A藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果B藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果C藥物A，B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D藥物A，B對(duì)該疾病均沒有預(yù)防效果B本題考查條