從概率分布函數(shù)的抽樣

1、Monte Carlo模擬第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)3.5 舍選抽樣法(acceptance-rejection sampling)3.5舍舍選抽抽樣法（acceptance-rejectionsampling)直接抽樣樣法的困困難：許多隨機(jī)機(jī)變量的的累積分分布函數(shù)數(shù)無法用用解析函函數(shù)給出出;有些隨機(jī)機(jī)變量的的累積分分布函數(shù)數(shù)的反函函數(shù)不存存在或難難以求出出；即使反函函數(shù)存在在，但計(jì)計(jì)算困難難舍選抽樣樣法(vonNeumann)：抽取隨機(jī)機(jī)變量x的一個(gè)隨隨機(jī)序列列xi, i=1,2,按一定的的

2、舍選規(guī)規(guī)則從中中選出一一個(gè)子序序列，使使其滿足足給定的的概率分分布.MonteCarlo模擬第三章從從概率率分布函函數(shù)的抽抽樣(Samplingfrom Probability DistributionFunctions)3.5舍舍選抽抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法典型的例例子1.簡(jiǎn)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法舍選法抽抽樣步驟驟：產(chǎn)生a,b區(qū)間內(nèi)均均勻分布布的隨機(jī)機(jī)數(shù)x:x= (b-a)r1+a,r1U0,1;產(chǎn)生0,c區(qū)間內(nèi)均均勻分布布的隨機(jī)機(jī)數(shù)y:y= cr2,r2U0,1;當(dāng)yf(x)時(shí)，接受受x為所需的的隨機(jī)數(shù)數(shù)，否則則，

3、返回回到第一一步重新新抽取一一對(duì)(x,y).VonNeumannrejectionmethod or Hit-and-missmethod設(shè)隨機(jī)變變量x的取值區(qū)區(qū)間為xa,b,其概率密密度函數(shù)數(shù)f(x)有界，即即抽取r1,r2 U0,1x = a + (b-a)r1y = cr2y f(x)X = x1.簡(jiǎn)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法abxf(x)c幾何解釋釋:在二維圖圖上，隨隨機(jī)選取取位于矩矩形abef內(nèi)的點(diǎn)x,y；選取位于于曲線f(x)下的那些些點(diǎn)，則則這些點(diǎn)點(diǎn)將服從從概率密密度為f(x)的分布ef1.簡(jiǎn)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法證明:按舍選抽抽樣法抽抽出的隨隨機(jī)數(shù)d的概率：abxf(x)cefx和y的概率

4、密密度函數(shù)數(shù)分別為為聯(lián)合概率率密度函函數(shù)為即d的概率函函數(shù)為f(x)d1.簡(jiǎn)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法抽樣效率率:對(duì)舍選抽抽樣法：欲產(chǎn)生生m個(gè)隨機(jī)變量量x的值需產(chǎn)產(chǎn)生n對(duì)(x,y)，顯然，m n如果選出出某特定定分布的的一個(gè)隨隨機(jī)數(shù)平均地地需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)數(shù)r1U0,1，則抽樣效率率定義為為abxf(x)cefdMonteCarlo模擬第三章從從概率率分布函函數(shù)的抽抽樣(Samplingfrom Probability DistributionFunctions)3.5舍舍選抽抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法典型的例例子2.改改進(jìn)的

5、舍舍選抽樣樣法改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法簡(jiǎn)單舍選抽樣法的問題：如果f(x)曲線下的面積占矩形面積的比例很小，則抽樣效率很低，這是因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x和y是在區(qū)間a, b和0, c內(nèi)均勻分布，所產(chǎn)生的大部分投點(diǎn)不會(huì)落在f(x)曲線下xcf(x)改進(jìn)方法：構(gòu)造一個(gè)新的概率密度函數(shù)g(x)，使它的形狀接近f(x), 且有式中Cg為常數(shù)，而g(x)的抽樣相對(duì)比較容易。Cgg(x)2.改改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法抽樣方法法：1.產(chǎn)生兩個(gè)個(gè)隨機(jī)數(shù)數(shù)產(chǎn)生分布布為g(x)的隨機(jī)數(shù)x，xa,b;產(chǎn)生0,Cgg(x)區(qū)間上均均勻分布布的隨機(jī)機(jī)數(shù)y，y=Cgg(x),U0,1.2.接收或舍舍棄取樣樣值x.如果y f(x)，舍棄，返返回

6、到1,重復(fù)上上述過程程;否則，接接受;2.改改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法幾何解釋釋:在二維圖圖上，隨隨機(jī)選取取位于曲曲線Cgg(x)下的點(diǎn)x,y；選取位于于曲線f(x)下的那些些點(diǎn)，則則這些點(diǎn)點(diǎn)將服從從概率密密度為f(x)的分布xcf(x)Cgg(x)2.改改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法證明:按舍選抽抽樣法抽抽出的隨隨機(jī)數(shù)d的概率：dx和y的概率密密度函數(shù)數(shù)分別為為聯(lián)合概率率密度函函數(shù)為即d的概率函函數(shù)為f(x)xcf(x)Cgg(x)2.改改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法抽樣效率率:xcf(x)Cgg(x)常數(shù)Cg的選取常數(shù)Cg應(yīng)盡可能能地小,因?yàn)槌槌闃有事逝cCg成反比;Cg=maxf(x)/g(x),xa,bMont

7、eCarlo模擬第三章從從概率率分布函函數(shù)的抽抽樣(Samplingfrom Probability DistributionFunctions)3.5舍舍選抽抽樣法(acceptance-rejectionsampling)簡(jiǎn)單舍選選抽樣法法改進(jìn)的舍舍選抽樣樣法典型的例例子3.典典型的例例子例1:標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的的抽樣,x-a,a無法用直直接抽樣樣法,累累積分布布函數(shù)無無解析表表達(dá)式Breit-wignerorCauchy分布3.典典型的例例子由g(x)抽取x直接抽樣樣法抽取u計(jì)算f(x),如果u=f(x),接受x3.典典型的例例子floatgaussian_reject(double a

8、)constfloatc =1.52;while(true)floateta=randac();floatx =tan(eta* 2.0* atan(a)+atan(-a);floatq =c* 1/3.1415926*1.0/(1+x*x);floatksi=randac();floatu =ksi*q;floatp =1/sqrt(2*3.1415926)*exp(-x*x/2.0);if(u Divide(1,2);TH1F *h1=newTH1F(h1,h1,100,-5.0,5.0);for(int i=0;iFill(x); c1-cd(2);h1-Draw();3.典典型的例例子3.典典型的例例子3.典典型的例例子AB/2例2：利利用舍選選法產(chǎn)生生隨機(jī)數(shù)數(shù)C=cos,S=sin,其中為0, 2區(qū)間內(nèi)內(nèi)均勻分分布的隨隨機(jī)數(shù)方法1：先產(chǎn)生生0, 2間均勻勻分布的的隨機(jī)數(shù)數(shù)：= 2r，rU0,1,然后直接接計(jì)算C和S因需要計(jì)計(jì)算三角角函數(shù)，故此方方法運(yùn)算算速度慢慢方法2：利用舍舍選法可可避免三三角函數(shù)數(shù)運(yùn)算令A(yù)和B為單位圓圓內(nèi)直角角三角形形的兩個(gè)個(gè)邊，則則有3.典典型的例例子因此，只只要產(chǎn)生生單位圓圓