專(zhuān)題5 物系相關(guān)速度

1、專(zhuān)題5物系相關(guān)速度文/沈晨國(guó)內(nèi)、外中學(xué)物理競(jìng)賽中多見(jiàn)求解物系相關(guān)速度，或解題的“瓶頸”卡在物系相關(guān)速度的試題，這類(lèi)問(wèn)題往往敘述簡(jiǎn)潔而條件隱蔽，情景相像而方法各異，使參賽者思路混沌，無(wú)從入手例如：類(lèi)型1質(zhì)量分別為m、m2和m3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩AB和BC連接，ZABC=na,a為銳角，如圖5-1所示今有一沖量I沿BC方向作用于質(zhì)點(diǎn)C,求質(zhì)點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度（全國(guó)中學(xué)物理競(jìng)賽試題）類(lèi)型2繩的一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為R,放在與水平面成a角的光滑斜面上，如圖5-2所示.當(dāng)繩變?yōu)樨Q直方向時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為W（此時(shí)繩未松弛），試求此刻圓

2、筒軸0的速度、圓筒與斜面切點(diǎn)C的速度.（全國(guó)中學(xué)生奧林匹克物理競(jìng)賽試題）類(lèi)型3直線AB以大小為V的速度沿垂直于AB的方向向上移動(dòng)，而直線CD以大小為v2的速度沿垂直于CD的方向向左上方移動(dòng)，兩條直線交角為a，如圖5-3所示.求它們的交點(diǎn)P的速度大小與方向.（全國(guó)中學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題）圖5-3圖5-4以上三例展示了三類(lèi)物系相關(guān)速度問(wèn)題.類(lèi)型1求的是由桿或繩約束物系的各點(diǎn)速度；類(lèi)型2求接觸物系接觸點(diǎn)速度；類(lèi)型3則是求相交物系交叉點(diǎn)速度三類(lèi)問(wèn)題既有共同遵從的一般規(guī)律，又有由各自相關(guān)特點(diǎn)所決定的特殊規(guī)律，我們?nèi)裟茏プ∷鼈兊墓残耘c個(gè)性，解決物系相關(guān)速度問(wèn)題便有章可循首先應(yīng)當(dāng)明確，我們討論的問(wèn)題中，研究對(duì)象

3、是剛體、剛性球、剛性桿或拉直的、不可伸長(zhǎng)的線等，它們都具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，是不會(huì)發(fā)生形變的理想化物體，剛體上任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離是恒定不變的；任何剛體的任何一種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都是由平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合而成的.如圖5-4所示，三角板從位置ABC移動(dòng)到位置AZBZCZ,我們可以認(rèn)為整個(gè)板一方面做平動(dòng)，使板上點(diǎn)B移到點(diǎn)B,另一方面又以點(diǎn)B為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A、點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C.由于前述剛體的力學(xué)性質(zhì)所致，點(diǎn)A、C及板上各點(diǎn)的平動(dòng)速度相同，否則板上各點(diǎn)的相對(duì)位置就會(huì)改變.這里，我們稱(chēng)點(diǎn)B為基點(diǎn).分析剛體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，基點(diǎn)可以任意選擇.于是我們得到剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則：剛體上每一點(diǎn)的速度都是與基點(diǎn)速度相同的平動(dòng)速度和相

4、對(duì)于該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和.我們知道轉(zhuǎn)動(dòng)速度V=13，是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，3是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，剛體自身轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則，對(duì)于既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性桿或不可伸長(zhǎng)的線繩，每個(gè)時(shí)刻我們總可以找到某一點(diǎn)，這一點(diǎn)的速度恰是沿桿或繩的方向，以它為基點(diǎn)，桿或繩上其他點(diǎn)在同一時(shí)刻一定具有相同的沿桿或繩方向的分速度（與基點(diǎn)相同的平動(dòng)速度）.因此，我們可以得到下面的結(jié)論.結(jié)論1桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿或繩方向的分速度.我們?cè)賮?lái)研究接觸物系接觸點(diǎn)速度的特征由剛體的力學(xué)性質(zhì)及“接觸”的約束可知，沿接觸面法線方向，接觸雙方必須具有相同的法向分速度，否則

5、將分離或形變，從而違反接觸或剛性的限制.至于沿接觸面的切向接觸雙方是否有相同的分速度，則取決于該方向上雙方有無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，若無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，則接觸雙方將具有完全相同的速度.因此，我們可以得到下面的結(jié)論.結(jié)論2接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同.相交物系交叉點(diǎn)速度的特征是什么呢?我們來(lái)看交叉的兩直線a、b,如圖5-5所示，設(shè)直線a不動(dòng)，當(dāng)直線b沿自身方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)P并不移動(dòng)，而當(dāng)直線b沿直線a的方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)P便沿直線a移動(dòng)，因交點(diǎn)P亦是直線b上一點(diǎn)，故與直線b具有相同的沿直線a方向的平移速度.同理，若直線b固定，直線a移動(dòng)，交點(diǎn)P

6、的移動(dòng)速度與直線a沿直線b方向平動(dòng)的速度相同.根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成原理，當(dāng)兩直線a、b各自運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)分別是兩直線沿對(duì)方直線方向運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).于是我們可以得到下面的結(jié)論.圖5-5結(jié)論3線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和.這樣，我們將剛體的力學(xué)性質(zhì)、剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則運(yùn)用于三類(lèi)相關(guān)速度問(wèn)題，得到了這三類(lèi)相關(guān)速度特征，依據(jù)這些特征，并運(yùn)用速度問(wèn)題中普遍適用的合成法則、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法則，解題便有了操作的章法下面我們對(duì)每一類(lèi)問(wèn)題各給出3道例題，展示每一條原則在不同情景中的應(yīng)用.例1如圖5-6所示，桿AB的A端以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，在桿運(yùn)動(dòng)時(shí)恒與一靜止的半圓周相切，半圓周的半徑為R,

7、當(dāng)桿與水平線的交角為0時(shí)，求桿的角速度3及桿上與半圓相切點(diǎn)C的速度.圖5-6分析與解考察切點(diǎn)C的情況.由于半圓靜止，桿上點(diǎn)C速度的法向分量為零，故點(diǎn)C速度必沿桿的方向.以點(diǎn)C為基點(diǎn)，將桿上點(diǎn)A速度v分解成沿桿方向分量v和垂直于桿方向分量v2(如圖5-7所示)，則V是點(diǎn)A與點(diǎn)C相同的沿桿方向平動(dòng)速度，v2是點(diǎn)A對(duì)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，故可求得點(diǎn)C的速度為圖5-7V=V=VCOS0,C1又v=v*sin0=3AC.2由題給幾何關(guān)系知，A點(diǎn)對(duì)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為AC=Rcot0,代入前式中即可解得3=(vsin20)/(Rcos0).例2如圖5-8所示，合頁(yè)構(gòu)件由三個(gè)菱形組成，其邊長(zhǎng)之比為3：2：1,頂點(diǎn)A3

8、以速度v沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)B的速度v.2B2分析與解頂點(diǎn)B2作為b2a1桿上的一點(diǎn)，其速度是沿B2A1桿方向的速度V及垂直于BA桿方向速度V的合成；同時(shí)作為桿BA上的一點(diǎn)，其速度又是沿BA桿方向的速2112222度v2及垂直于B2A2桿方向的速度v；的合成.由于兩桿互成直角的特定條件，由圖5-9顯見(jiàn)，V=v,v=v故頂點(diǎn)B的速度可通過(guò)v、v速度的矢量和求得，而根據(jù)桿2112212的約束的特征，得（強(qiáng)/2）vAj（建/2）vA2,于是可得由幾何關(guān)系可知v:v:v=AA：AA：AA=3：5：6,AlA2A3010203則v=v/2，v=(5/6)v，AlA2由此求得

9、彷/6）v.A圖A圖5-10上述解析，我們是選取了速度為沿桿方向的某一點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)考察頂點(diǎn)B2的速度的.當(dāng)然我們也可以選取其他合適的點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)分析.如圖5-10所示，若以A、A2點(diǎn)為基點(diǎn)，則巳點(diǎn)作為B2A1桿上的點(diǎn)，其速度是與A】點(diǎn)相同的平動(dòng)速度YA】和對(duì)A】點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度之合成，同時(shí)B點(diǎn)作為BA桿上的點(diǎn)，其速度是與A點(diǎn)相同的平動(dòng)速度vA和對(duì)A點(diǎn)的222222轉(zhuǎn)動(dòng)速度vn2之合成，再注意到題給的幾何條件，從矢量三角形中由余弦定理得而由矢量圖可知vn=（龐/2）（vv），1A2Al代入前式可得v=（/廳/6）v.B2兩解殊途同歸.例3如圖5-11所示，物體A置于水平面上，物體A上固定有動(dòng)滑輪B,D為

10、定滑輪，一根輕繩繞過(guò)滑輪D、B后固定在C點(diǎn)，BC段水平.當(dāng)以速度v拉繩頭時(shí)，物體A沿水平面運(yùn)動(dòng)，若繩與水平面夾角為a，物體A運(yùn)動(dòng)的速度是多大？圖5-11分析與解首先根據(jù)繩約束特點(diǎn)，任何時(shí)刻繩BD段上各點(diǎn)有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v,再看繩的這個(gè)速度與物體A移動(dòng)速度的關(guān)系：設(shè)物體A右移速度為v,X則相對(duì)于物體A（或動(dòng)滑輪B的軸心），繩上B點(diǎn)的速度為v,即卩Xv=v,BA方向沿繩BD方向；而根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點(diǎn)速度是相對(duì)于參照系A(chǔ)（或動(dòng)滑輪B的軸心）的速度v與參照系A(chǔ)對(duì)靜止參照系速度vcosa的合成，即XXv=v+vcosa；BAx由上述兩方面可得v=v/（l+

11、cosa）.x例4如圖5-12所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿AB沿豎直方向上升，0為凸輪圓心，P為其頂點(diǎn).求當(dāng)ZAOP=a時(shí)，AB桿的速度.圖5-12圖5-13分析與解這是接觸物系相關(guān)速度問(wèn)題.由題可知，桿與凸輪在A點(diǎn)接觸，桿上A點(diǎn)速度v是豎直向上的，輪上A點(diǎn)的速度v是水平向右的，根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，A0兩者沿接觸面法向的分速度相同，如圖5-13所示，卩vAcosa=vsina，0貝Uv=vtana.A0故AB桿的速度為vtana.例5如圖5-14所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子A上,以恒定的速度V拉繩，當(dāng)繩與豎直方向成a角時(shí)，求線軸中心0

12、的運(yùn)動(dòng)速度VO.設(shè)線軸的外徑為R,內(nèi)徑為線軸沿水平面做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng).分析與解當(dāng)線軸以恒定的速度v拉繩時(shí)，線軸沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng).從繩端速度v到軸心速度vo，是通過(guò)繩、軸相切接觸相關(guān)的.考察切點(diǎn)B的速度：本題中繩與線軸間無(wú)滑動(dòng)，故繩上B點(diǎn)與軸上B點(diǎn)速度完全相同，即無(wú)論沿切點(diǎn)法向或切向，兩者均有相同的分速度.圖5-15是軸上B點(diǎn)與繩上B點(diǎn)速度矢量圖：軸上B點(diǎn)具有與軸心相同的平動(dòng)速度V。及對(duì)軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度3(3為軸的角速度)，那么沿切向軸上B點(diǎn)的速度為F3vsina；而繩上B點(diǎn)速度的切向分量正是沿繩方向、大小為速度V,于是有關(guān)系式，即r3VoSina=v.又由于線軸沿水平地面做純滾動(dòng)，故與水平地面相切

13、點(diǎn)C的速度為零，則軸心速度為V=R3，由、兩式可解得v=(Rv)/(rRsina).O若繩拉線軸使線軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，v=(Rv)/(rRsina)，請(qǐng)讀者自行證明.例6如圖5-16所示，線軸沿水平面做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，并且線端A點(diǎn)速度為V，方向水平.以鉸鏈固定于點(diǎn)B的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)、外徑分別為r和R.試確定木板的角速度3與角a的關(guān)系.CCLCCL圖圖5- 圖5-20分析與解本題首先應(yīng)該求出交叉點(diǎn)M作為桿BC上一點(diǎn)的速度v,而后根據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，求出該速度沿0A方向的分量即為小環(huán)速度.由于剛性曲桿OBC以0為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故其上與0A直桿交叉點(diǎn)的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑0M、大小是v=3M=10cm/s.將其沿MA、MB方向分解成兩個(gè)分速度，如圖5-20所示，即得小環(huán)M的速度為v=v=vtan=10cm/s.MMA