備戰(zhàn)高考技巧大全高中數(shù)學(xué)黃金解題模板專題09函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解題模板答案解析

1、【高考地位】函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是相應(yīng)方程的根，而方程是高考要點(diǎn)觀察內(nèi)容，因此函數(shù)的零點(diǎn)亦成為新課標(biāo)高考命題的熱門.其常常與函數(shù)的圖像、性質(zhì)等知識(shí)交匯命題，多以選擇、填空題的形式觀察.【方法評(píng)論】一、零點(diǎn)或零點(diǎn)存在區(qū)間的確定使用情形：一般函數(shù)種類解題模板：第一步直接依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的乘積能否大于0；第二步若其乘積小于0，則該區(qū)間即為存在的零點(diǎn)區(qū)間；不然消除其選項(xiàng)即可.例1函數(shù)fxex4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A0,1B1,1C1,3D3,1442244【答案】B【分析】考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理【變式演練1】方程2xx20的解所在的區(qū)間為（）A(1,0)B(

2、0,1)C(1,2)D(2,3)【答案】B【分析】試題分析：由題意得，設(shè)函數(shù)fx2xx2，則f020021,f121121，所以f0f10，所以方程2xx20的解所在的區(qū)間為(0,1)，應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).2】函數(shù)f(x)log21【變式演練x的零點(diǎn)所在區(qū)間（）x(0,1)(1,1)C(1,2)D(2,3)A2B2【答案】C【分析】試題分析：f(1)log21110,f2111，f1f20，故函數(shù)122f(x)log2x(1,2)的零點(diǎn)所在區(qū)間為x考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判斷二、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定方法1：定義法使用情形：一般函數(shù)種類解題模板：第一步判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二步依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理驗(yàn)證區(qū)

3、間端點(diǎn)處的函數(shù)值的乘積能否小于0；若其乘積小于0，則該區(qū)間即為存在獨(dú)一的零點(diǎn)區(qū)間也許直接運(yùn)用方程的思想計(jì)算出其零點(diǎn)；第三步得出結(jié)論.例2.函數(shù)f()ex3）xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（A0B1C2D3【答案】B【分析】考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)【變式演練3】函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)為單調(diào)遞加函數(shù)，且f010,f(1)10，即f0f10，所以函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).【方法點(diǎn)晴】此題主要觀察了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，此中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性

4、的應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合觀察，側(cè)重觀察了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力、此題的解答中，依據(jù)題意得出函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)為單調(diào)遞加函數(shù)且f0f10是解答的要點(diǎn).【變式演練4】方程x3sinx的根的個(gè)數(shù)是（）A3B4C5D6【答案】C【分析】642234524考點(diǎn)：圖象的交點(diǎn)6【思路點(diǎn)晴】此題觀察的是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題第一運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,把給定方程轉(zhuǎn)變?yōu)闉閮蓚€(gè)基本8函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,再經(jīng)過(guò)函數(shù)的性質(zhì)與比較函數(shù)在同樣自變量處的函數(shù)值的大小關(guān)系畫(huà)出兩個(gè)基本函數(shù)圖象,需要注意的是,兩個(gè)函數(shù)都過(guò)(0,0)點(diǎn),而y軸右邊的10高低狀況需要比較

5、兩個(gè)函數(shù)在x0處的切線斜率獲取,為此題的易錯(cuò)點(diǎn)【變式演練5】已知函數(shù)fxxlnx，gxxex（1）記Fxfxgx，求證：函數(shù)Fx在區(qū)間1，內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2）用mina，b表示a，b中的最小值，設(shè)函數(shù)hxminfx，gx，若關(guān)于x的方程hxc（此中c為常數(shù)）在區(qū)間1，有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，x1x2，記Fx在1，內(nèi)的零點(diǎn)為x0，試證明：x1x2x02【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，獲取函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證出結(jié)論即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明x1x22x0，依據(jù)hx在x0,上遞減，即證明hx1h2x0

6、 x1，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可（2）由（1）問(wèn)可知gx0fx0，且x1,x0時(shí)，fxgx，xx0,時(shí)gxfx，所以hxxlnxx,1xx0，xe,xx0此中x0滿足x0lnx0 x0ex0即lnx0ex0，（事實(shí)上x(chóng)01,2），而x1,x0時(shí)，hxlnx10，xx0,時(shí)，hx1xex0，所以hx在1,x0,x0,，若方程hxc在區(qū)間1,有兩個(gè)不相等的實(shí)根，x1,x2x1x2，則必有x11,x0,x2x0,，所證x1x22x0 x22x0 x1x0，因?yàn)閔x在x0,單調(diào)遞減，所以只需證hx2h2x0 x1，而hx2hx1，所以只需證hx1h2x0 x1，即證明：x1lnx12x0 x1e2x0

7、 x1，考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法2：數(shù)形結(jié)合法使用情形：一般函數(shù)種類解題模板：第一步函數(shù)g(x)有零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蘤(x)m(x)有根的問(wèn)題；第二步在同向來(lái)角坐標(biāo)系中，分別畫(huà)出函數(shù)yf(x)和ym(x)的圖像；第三步觀察并判斷函數(shù)yf(x)和ym(x)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第四步由yf(x)和ym(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)g(x)0的零點(diǎn)即可得出結(jié)論.例3.方程(1)x3|log3x|的解的個(gè)數(shù)是（）A3B2C1D0【答案】【分析】B試題分析：由圖象可知，函數(shù)y(1)x與函數(shù)ylog3x有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程有2個(gè)解。3考點(diǎn)：函數(shù)與方程?！咀兪?/p>

8、演練6】已知定義在R上的偶函數(shù)fx滿足fx4fx，且當(dāng)0 x2時(shí)，fxminx22x,2x，若方程fxmx0恰有兩個(gè)根，則m的取值范圍是（）A(,1)(1,+)B(,11,+)3333C(2,1)(1,2)D2,11,23333【答案】C【分析】考點(diǎn)：1函數(shù)的性質(zhì)；2函數(shù)與方程【變式演練7】已知函數(shù)f(x)2x1(x0)，若方程f(x)xa有且只有兩個(gè)不相f(x1)(x0)等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.(,0B.0,1)C.(,1)D.0,)【答案】C【分析】考點(diǎn)：函數(shù)與方程.【變式演練8】設(shè)函數(shù)f(x)x26x6,x0，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足3x4,x0f(x1)f(

9、x2)f(x3)，則x1x2x3的取值范圍是（）A.(20,26B.(20,26)C.(11,6D.(11,6)333333【答案】D【分析】試題分析：在座標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)x26x6,x0的圖象，作直線ya與該函數(shù)3x4,x0的圖象訂交，有三個(gè)公共點(diǎn)，由圖可知，x2x36,7x10，所以11x1x2x36，33應(yīng)選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)與方程；2.數(shù)形結(jié)合.【高考再現(xiàn)】1.【2016高考天津理數(shù)】已知函數(shù)x2(4a3)x3a,x0,f（x）=1)1,x0（a0,且a1）在Rloga(x上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|2x剛巧有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）（A）（0，2（B）

10、2，3（C）1，23（D）1，2）3334334334【答案】C【分析】考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路直接法：直接依據(jù)題設(shè)條件成立關(guān)于參數(shù)的不等式，再經(jīng)過(guò)解不等式確立參數(shù)范圍；分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)值域問(wèn)題加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)分析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，而后數(shù)形結(jié)合求解2.【2016|x|,xm0，若存在實(shí)數(shù)b，高考山東理數(shù)】已知函數(shù)f(x)2mx4m,x此中mx2m使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不一樣的根，則m的取值范圍是_.【答案】3,【分析】試題分析：畫(huà)出函數(shù)圖象以以下列圖所示：3.【201

11、6高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）已知函數(shù)fxx2ex2ax1有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍；(II)設(shè)12是fx的兩個(gè)零點(diǎn),證明：x1x22.x,x【答案】(0,)試題分析;（）()(1)x2(1)(1)(x2)fxxeaxxea（i）設(shè)a0,則f(x)(x2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)a0,則當(dāng)x(,1)時(shí),f(x)0；當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0所以f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞加又f(1)e,f(2)a,取b滿足b0且blna,則a(b3b)2f(b)2)a(b1)2a(b20,22故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)（iii）設(shè)a0,由f(x)0得x1或xln(2a)若a

12、e,則ln(2a)1,故當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(1,)上單調(diào)遞2增又當(dāng)x1時(shí),f(x)0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若ae,則ln(2a)1,故當(dāng)x(1,ln(2a)時(shí),f(x)0；當(dāng)x(ln(2a),)2時(shí),f(x)0所以f(x)在(1,ln(2a)單調(diào)遞減,在(ln(2a),)單調(diào)遞加又當(dāng)x1時(shí),f(x)0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上,a的取值范圍為(0,)（）不如設(shè)x1x2,由（）知x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,所以x1x22等價(jià)于f(x1)f(2x2),即f(2x2)0因?yàn)閒(2x2)x2e2x2a(x21)2,而f(

13、x2)(x22)ex2a(x21)20,所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2設(shè)g(x)xe2x(x2)ex,則g(x)(x1)(e2xex)所以當(dāng)x1時(shí),g(x)0,而g(1)0,故當(dāng)x1時(shí),g(x)0從而g(x2)f(2x2)0,故x1x22考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】,關(guān)于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問(wèn)題,以往要依據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類談?wù)?要注意分類談?wù)摰脑瓌t：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)；,解決函數(shù)不等式的證明問(wèn)題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.4.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知函數(shù)f()axbx(a0,b0,a1,1).xb設(shè)a2,b1.2（1）

14、求方程f(x)2的根;（2）若對(duì)隨便xR,不等式f(2x)mf(x)6恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)m的最大值；（3）若0a1,b1，函數(shù)gxfx2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值?！敬鸢浮浚?）04（2）1【分析】試題分析：（1）因?yàn)閍2,b1，所以f(x)2x2x.2方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，于是2x1，解得x0.由條件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因?yàn)閒(2x)mf(x)6關(guān)于xR恒成立，且f(x)0，(f(x)24R恒成立.所以mf(x)關(guān)于x而(f(x)24f(x)42f(x)44，且(f(0)244，f(x)f(x)f(x)f

15、(0)所以m4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4.因此函數(shù)g(x)在(,x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0,)上是單調(diào)增函數(shù).下證x00.若x00，則x0 x00，于是g(x0)g(0)0，2220，且函數(shù)g(x)在以x0又g(loga2)aloga2bloga22aloga2和loga2為端點(diǎn)的閉x0和loga2區(qū)間上的圖象不中止，所以在2之間存在g(x)的零點(diǎn)，記為x1.因?yàn)?a1，2所以loga20，又x00，所以x10與“0是函數(shù)g(x)的獨(dú)一零點(diǎn)”矛盾.2x0若x00，同理可得，在和loga2之間存在g(x)的非0的零點(diǎn)，矛盾.2所以，x00.于是lnalnb0，所以ab1.1，故lnalnb考點(diǎn)：

16、指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)2x,x2,5【.2015高考天津，理8】已知函數(shù)fx2函數(shù)gxbf2x，x2,x2,此中bA）B）C）D）R，若函數(shù)yfxgx恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是(),7470,2【答案】D【分析】由f2x,x2,得f(2x)22x,x0 x2xx2,，x2,2,x02xx2,x0所以yf(x)f(2x)4x2x,0 x2，22x(x2)2,x2【考點(diǎn)定位】求函數(shù)分析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結(jié)合.【名師點(diǎn)睛】此題主要觀察求函數(shù)分析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結(jié)合思想以及學(xué)生的作圖能力.將求函數(shù)分析式、函數(shù)零點(diǎn)、方程的解等知識(shí)結(jié)合在一起，利用等價(jià)變換、數(shù)形結(jié)合思

17、想等方法，表現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法，觀察學(xué)生的運(yùn)算能力、著手作圖能力以及觀察能力.是提升題.6.【2015高考湖南，理15】已知f(x)x3,xa，若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)bx2,xa有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.【答案】(,0)(1,).【分析】試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于方程32xbxaxb(xa)的根的個(gè)數(shù)()與方程和為2，1b3a若兩個(gè)方程各有一個(gè)根：則可知關(guān)于b的不等式組ba有解，a2ba3，從而baa1；若方程3)無(wú)解，方程2xbxaxb(xa)有2個(gè)根：則可知關(guān)于b的不等式組(1b3a有解，從而baa0，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,0)(1,).【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)與

18、方程；2.分類談?wù)摰臄?shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】此題主要觀察了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題，表面上是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，其實(shí)是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁浇M有解的問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)綜合問(wèn)題，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題奇妙的轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁浇M有解的參數(shù)，從而獲取關(guān)于參數(shù)a的不等式，此題是創(chuàng)新題，差別于其余函數(shù)與方程問(wèn)題數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)圖象交點(diǎn)的解法，從另一個(gè)層面將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)變，綜合觀察學(xué)生的邏輯推理能力.7.【2015高考安徽，理15】設(shè)x3axb0，此中a,b均為實(shí)數(shù)，以下條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是.（寫(xiě)出全部正確條件的編號(hào)）a3,b3；a3,b2；a3,b2；a0,b2

19、；a1,b2.【答案】【考點(diǎn)定位】1函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系；2.函數(shù)的單調(diào)性及其極值.【名師點(diǎn)睛】高考中若出現(xiàn)方程問(wèn)題，以往狀況下必定要考慮其對(duì)應(yīng)的函數(shù)，認(rèn)識(shí)函數(shù)的大致圖象特色，便于去分析方程；若出現(xiàn)的是高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)，要利用導(dǎo)數(shù)這一工具進(jìn)行分析其單調(diào)性、極值與最值；函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題觀察時(shí)，要常常性使用零點(diǎn)存在性定理.xa?x1?8.【2015高考北京，理14】設(shè)函數(shù)f2xx2a?x1.4xa若a1，則fx的最小值為；若fx恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】(1)1，(2)1a1或a2.2考點(diǎn)定位：此題考點(diǎn)為函數(shù)的相干性質(zhì)，涉及函數(shù)圖象、函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)、分類討論思想

20、解【名師點(diǎn)睛】此題觀察函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)的相干知識(shí)，此題屬于中等題，第一步正確畫(huà)出圖象，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，第二步涉計(jì)參數(shù)問(wèn)題，針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類談?wù)?，依?jù)題目所給零點(diǎn)的條件，找出符合零點(diǎn)要求的參數(shù)a，談?wù)撘?，注意?shù)形結(jié)合9.【2015高考江蘇，13】已知函數(shù)f(x)|lnx|x20,0 x1，g(x)，則方程|f(x)g(x)|1實(shí)根的個(gè)數(shù)為【答案】4【考點(diǎn)定位】函數(shù)與方程【名師點(diǎn)晴】一些對(duì)數(shù)型方程不可以直接求出其零點(diǎn)，常經(jīng)過(guò)平移、對(duì)稱變換轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的函數(shù)圖像問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷以往轉(zhuǎn)變?yōu)閮珊瘮?shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)

21、數(shù)這時(shí)函數(shù)圖像是解題要點(diǎn)，不但要研究其走勢(shì)（單調(diào)性，極值點(diǎn)、漸近線等），并且要明確其變化速度快慢.【反響練習(xí)】1【2016-2017年福建福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上月考一數(shù)學(xué)試卷,理2】函數(shù)f(x)(1)xx2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）2A1,0B0,1C1,2D2,3【答案】D【分析】試題分析：因f(1)50,f(0)30,f(1)310,f(3)70,則0,f(2)482函數(shù)f(x)(1)xx2零點(diǎn)所在的區(qū)間是2,3,應(yīng)選答案D2考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)及辨別.2.【2017屆山西省名校高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷,文4】函數(shù)f(x)x33|x|1(x1)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A(11)和(11,111,4,1)B()和(,)322332C(1,1)和(1,1)D(1,1)和(1,1)2323432【答案】D【分析】考點(diǎn)：1、零點(diǎn)存在性定理；2、分段函數(shù)3.【2017屆福建福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上月考一數(shù)學(xué)試卷,理6】已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc滿足2acb且c0，則含有f(x)的零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是（）2A(0,2)B(1,0)C(0,1)D(2,0)【答案】D【分析】試題分析：f(2)4a2bc2(2acb)0,f(0)c0f(2)(0)0含2f(x)的零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是(2,0)，應(yīng)選D考