線性代數(shù)試卷A-七題解答技巧

1、文檔編碼 : CH2K9O7L3C5 HT6N2O5G1N4 ZT5M8C4M1I3線性代數(shù)試卷 A 七、運(yùn)算題 （20 分）X已知二次型f x x2,x 332 x 1y6x232 x 34x x28 x x34x x , 經(jīng)正交變換2QY化為了標(biāo)準(zhǔn)形f22 y 1727y2 3,求所用的正交變換XQY2解：二次型及標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)矩陣分別為3 2 4 2A 2 6 2 , 7 , 4 分4 2 3 7由于矩陣 A 與 相像,所以矩陣 A 的特點(diǎn)值分別為1 2, 2 3 7. 2 分對于 1 2,解齊次方程 2 E A X o得基礎(chǔ)解系T1 2,1,2 , 2 分常規(guī)解法標(biāo)準(zhǔn)化得1 2 1 2

2、, , T . 2 分3 3 3對于 2 3 7 ,解齊次方程 7 E A X o 得基礎(chǔ)解系（注：一般解為 x 1 1x 2 x ）22 1,1,0 T ,3 1,0,1 T , 4 分2正交化、標(biāo)準(zhǔn)化得2 5 , 2 5 , 0 T, 3 4 5 , 2 5 , 5 . T 4 分5 5 15 15 3令 Q 1 2 3,所求正交變換 X QY 為2 5 4 53 5 15x 1 y 11 2 5 2 5x 2 y 2 . 2 分3 5 15x 3 y 32 503 31/4 X得2,七、運(yùn)算題 （20 分）分已知二次型f x xx 332 x 16x232 x 34x x28 x x34

3、x x , 經(jīng)正交變換2QY化為了標(biāo)準(zhǔn)形f22 y 17y27y2,求所用的正交變換XQY23解：二次型及標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)矩陣分別為由于矩陣 A 與 13242A262 ,7, 4 分4237相像,所以矩陣 A 的特點(diǎn)值分別為2,237. 2 分對于12,解齊次方程 2EA Xo得基礎(chǔ)解系標(biāo)準(zhǔn)化得1T 2,1,2 , 2 分 技巧一對于212 1 2 , ,3 3 3 T . 2 分37 ,解齊次方程 7EA Xo 得基礎(chǔ)解系（注：一般解為x 11x 2x ）22 2,2,1 T ,3 1,2,0T ,/ 令x 22,2,技巧！x 310正交化得 2, 2,1 T , , 1 23 3,2 T ,

4、/ 3已標(biāo)準(zhǔn)化233標(biāo)準(zhǔn)化得22,2,1 T ,31 2 ,3 3,2T ./ 標(biāo)準(zhǔn)化后都不帶根號(hào)3333* 技巧來源 學(xué) 生： 運(yùn)算機(jī) 10-1,周春林, 20224779 任課老師： 朱柘琍* 2/4 X得2,七、運(yùn)算題 （20 分）分已知二次型f x xx 332 x 16x232 x 34x x28 x x34x x , 經(jīng)正交變換2QY化為了標(biāo)準(zhǔn)形f22 y 17y27y2,求所用的正交變換XQY23解：二次型及標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)矩陣分別為由于矩陣 A 與 13242A262 ,7, 4 分4237相像,所以矩陣 A 的特點(diǎn)值分別為2,237. 2 分對于12,解齊次方程 2EA Xo得基礎(chǔ)解系標(biāo)準(zhǔn)化得1T 2,1,2 , 2 分 技巧二對于212 1 2 , ,3 3 3 T . 2 分37 ,解齊次方程 7EA Xo 得基礎(chǔ)解系（注：一般解為x 11x 2x ）221,2, 2T ,3 2,2,1 T ,/ 令x 22,2, 技巧！x 321正交化得/ 此時(shí)2,3已正交化,上步技巧的用意在這里！標(biāo)準(zhǔn)化得21 2 ,3 3,2T ,32 2 1 T, , .3 3 3/ 標(biāo)準(zhǔn)化后都不帶