基于混合笛卡爾網(wǎng)格的高精度格式研究

1、基于混合笛卡爾網(wǎng)格的高精度格式研究摘要:將格點(diǎn)形式的新型三階U-MUSCL格式推廣到格心形式的混合笛卡爾網(wǎng)格中，發(fā)展了一套基于混合笛卡 爾網(wǎng)格的高精度數(shù)值算法。根據(jù)不同的系數(shù)取值，新型三階U-MUSCL格式甚至能達(dá)到四階精度。該格式不僅對(duì) 現(xiàn)有求解器的改動(dòng)較小，而且不需要構(gòu)造插值模板，同時(shí)也不需要在網(wǎng)格單元內(nèi)構(gòu)造額外的高階多項(xiàng)式，不會(huì)增加 較大的計(jì)算量。通過(guò)數(shù)值渦的保持問(wèn)題和二維非定常圓柱繞流問(wèn)題，表明了該格式對(duì)于旋渦流動(dòng)具有很低的耗 散性。關(guān)鍵詞:混合笛卡爾網(wǎng)格;新型三階U-MUSCL格式;旋渦流動(dòng)問(wèn)題;低耗散Study on High- order Scheme in Hybrid Car

2、tesian GridAbstract:A new third-order U-MUSCL scheme by cell-vertex is extended to cell-centered hybrid Cartesian grid, and a high- order scheme in hybrid Cartesian grid is developed. When the different coefficients are chosen, the new third-order U-MUSCL scheme can even achieve fourth -order accura

3、cy. This scheme not only has little modification to the existing solver, but also does not need to construct interpolation templates. At the same time, it does not need to add extra degrees-of-freedom within cells, so it will not increase the amount of computation. The numerical vortex keeping probl

4、em and unsteady flow around a two- dimensional cylinder problem show that the scheme has low dissipation for vortex flow.Key words： hybrid Cartesian grid ； new third-order U-MUSCL scheme ； vortex flow problem ； low dissipation引言為了更好地捕捉復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題中產(chǎn)生的一些復(fù)雜 流動(dòng)現(xiàn)象，需要一些高階的數(shù)值格式，即所謂的高精度 數(shù)值方法。我們通常所說(shuō)的高精度數(shù)值方法是指空間 精

5、度為三階或三階以上的格式，相比傳統(tǒng)的二階格式, 高精度格式具有空間精度高、數(shù)值分辨率高、數(shù)值耗散 小等優(yōu)點(diǎn)。并且,笛卡爾網(wǎng)格是一種非常適合高精度 格式的網(wǎng)格形式。而且相比于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)網(wǎng) 格方法，笛卡爾網(wǎng)格方法因其對(duì)于復(fù)雜外形的高度適 應(yīng)性及網(wǎng)格生成過(guò)程的高度自動(dòng)化，成為了近幾年研 究工作的熱點(diǎn)。但是,對(duì)于粘性問(wèn)題尤其是高雷諾數(shù)湍流問(wèn)題的 求解，由于需要求解物體表面極薄的湍流附面層，使用 傳統(tǒng)的笛卡爾網(wǎng)格方法時(shí)，需要在物體表面生成尺度 很小的附面層笛卡爾網(wǎng)格，這大大增加了網(wǎng)格量。同 時(shí)，由于物面邊界切割背景笛卡爾網(wǎng)格單元，導(dǎo)致物面 邊界單元其實(shí)是由許多不同形式的切割單元構(gòu)成的。 當(dāng)這些切

6、割單元很小時(shí)，使用顯式格式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算 可能會(huì)引起數(shù)值不穩(wěn)定。為了克服過(guò)小的切割單元問(wèn) 題，同時(shí)為了更好地捕捉粘性邊界層，一些混合網(wǎng)格方 法應(yīng)運(yùn)而生。Luo等1，Kirshman等必，Koh等皿均在 物面附近用無(wú)網(wǎng)格方法的混合網(wǎng)格方法對(duì)Euler方程 進(jìn)行了計(jì)算。Munikrishna等團(tuán)提出了一種混合笛卡 爾網(wǎng)格方法,該方法在物體表面生成貼體的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格, 其余部分使用笛卡爾網(wǎng)格進(jìn)行填充。與傳統(tǒng)的重疊網(wǎng) 格方法在兩套網(wǎng)格之間使用插值的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸 不同的是,混合笛卡爾網(wǎng)格方法的兩套網(wǎng)格之間通過(guò) 查找“貢獻(xiàn)單元”的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)信息的傳遞。之 后不少學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了深入的研究和推廣，沈志

7、偉等囪使用ADT樹(shù)查找算法加速了貢獻(xiàn)單元的搜索 速度,Hu等同用該方法對(duì)非定常旋渦主導(dǎo)的流動(dòng)問(wèn)題 進(jìn)行了研究，并表示該方法耦合網(wǎng)格局部加密的自適 應(yīng)技術(shù)對(duì)旋渦有很強(qiáng)的捕捉能力-Shen等刃拓展了該 方法模擬了含邊界運(yùn)動(dòng)的非定常問(wèn)題?；旌系芽柧W(wǎng)格方法雖然解決了高雷諾數(shù)粘性附 面層問(wèn)題,但其兩套網(wǎng)格體系的存在和幾何自適應(yīng)中 的懸掛節(jié)點(diǎn)問(wèn)題，卻給高精度格式的構(gòu)造帶來(lái)了麻煩。 同時(shí)，目前十分常見(jiàn)的高精度格式比如間斷有限元格 式獲得高階精度，需要在每個(gè)單元采用基函數(shù)增加自 由度來(lái)獲得高精度，而且需要在單元內(nèi)及邊界使用高 斯積分，在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下代碼編制比較麻煩。Yang 等回對(duì)網(wǎng)格面/邊上左右狀態(tài)進(jìn)行重

8、構(gòu)時(shí)增加了二階 項(xiàng),并引入了參數(shù)U和U進(jìn)行精度控制，從而提出了 一種新型的三階U-MUSCL格式。經(jīng)過(guò)理論分析，該 格式在參數(shù)U和k3取合適的值時(shí)，可以達(dá)到四階精 度。本文將該新型三階U-MUSCL格式引入到了混合 笛卡爾網(wǎng)格中，并將其拓展到了格心信息存儲(chǔ)的笛卡 爾網(wǎng)格上。該格式對(duì)現(xiàn)有有限體積求解器的改動(dòng)較 小，不僅能有效處理懸掛節(jié)點(diǎn)問(wèn)題，而且也不需要在單 元內(nèi)構(gòu)造高階多項(xiàng)式，不會(huì)增加較大的計(jì)算量。并通 過(guò)數(shù)值渦保持問(wèn)題和圓柱繞流問(wèn)題，表明了使用新型 三階U-MUSCL格式的混合笛卡爾網(wǎng)格求解器對(duì)旋渦 流動(dòng)有更好的捕捉能力。1數(shù)值方法1.1 新型三階U-MUSCL格式Y(jié)ang等囪在FUN3D所

9、使用的現(xiàn)有的U-MUSCL 格式基礎(chǔ)上,為了繼續(xù)提高對(duì)流項(xiàng)模擬的精度，而在計(jì) 算網(wǎng)格面左右狀態(tài)的重構(gòu)式子上，不僅保留泰勒展開(kāi) 的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，還增加泰勒展開(kāi)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，同時(shí)將 該重構(gòu)式子在二維情況下展開(kāi)(這里為了書(shū)寫(xiě)方便, 省略了限制器，并且由于2和的表達(dá)式形式一 致，故只給出了 2的表達(dá)式)，可得如下表達(dá)式：2 = 2 = 2+ *2、-) + (4& - 4/) + Sec *4*7 成-4,)2 式中，/和4/為網(wǎng)格邊中心的坐標(biāo);Sec即為新增的泰 勒展開(kāi)的二階項(xiàng)。參考傳統(tǒng)的U-MUSCL格式引入了格式精度控制 參數(shù)U,在新增了二階項(xiàng)后，仿照傳統(tǒng)的U- MUSCL格 式，也引入格式精度控

10、制參數(shù)U3，將傳統(tǒng)的U-MUSCL 格式改造為如下形式：UL = U, + 1 k (Uj - U,) + (1 + U) + U, - rL +；弓(+ UJ . % - +U , 氣)+(1 -k3) + ( VU#.L).U = Uj + *j 1 k( U-Uj) + (1 - k) +Uj #rR +；g( + U rL - + uj .r ) +(1 -k3) + ( + Uj .R) .R(3)式中,k和k3均為格式精度控制參數(shù)，對(duì)于k和k3不 同的取值對(duì)于格式精度的影響，將在下節(jié)詳細(xì)分析和 討論。1.2新型三階U-MUSCL格式精度分析在一維等距結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下對(duì)該新型三階U-MUS

11、CL 格式進(jìn)行精度分析。此時(shí)U(和U( + 1的梯度與其到邊 中點(diǎn)的向量乘積分別為：nUi + 1 - U(-1 寸Ui +2 - Ui+ U(=,，+ U( + 1+ 1 =一,(4)將式(3)展開(kāi),并將式(4)代入，整理可得：UL+1B2 = Ui + 1/2 +U： + 1/2翌 +1-*+ 3 U;+1/2 +3 +2k-12 k3 2(4) q4+(提)384Ui +1B2Q + ()同樣，一維等距網(wǎng)格單元i上對(duì)流項(xiàng)的積分可以 近似為如下式子：廣+1 氣dQ，UL+1 /2 - 2L_1 /2J Qi-1 /2*QU Q + 些警 U +i 24 i1 - t + k3 U(4)券

12、+( Q& )通過(guò)以上分析，可以看出：該新型U-MUSCL格式至少具有二階精度；當(dāng)k = -1/6時(shí)，式(6)中三階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為0,在格 心的近似導(dǎo)數(shù)具有三階精度；當(dāng)k = -1 /6,3 = -4/3時(shí)，式(6)中三階導(dǎo)數(shù) 項(xiàng)和四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均為0，格式具有四階精度，無(wú)耗散；當(dāng) k = -1 /6,k3 = -4/3 + (時(shí)，其中(是一個(gè) 小量,可以增加少量的耗散，同時(shí)格式依然能夠保持高 階精度。2混合笛卡爾網(wǎng)格方法2.1混合笛卡爾網(wǎng)格生成生成計(jì)算物體的貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格,選定計(jì)算區(qū)域，并 以貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的外邊界為幾何邊界，生成背景笛卡 爾網(wǎng)格，兩套網(wǎng)格相互重疊，并在附近使用了加密的笛 卡爾網(wǎng)格來(lái)盡量使

13、得兩套網(wǎng)格系統(tǒng)之間的尺度過(guò)渡 平緩。在生成混合笛卡爾網(wǎng)格的過(guò)程中，本文首先在計(jì) 算區(qū)域全場(chǎng)生成背景笛卡爾網(wǎng)格，然后根據(jù)貼體結(jié)構(gòu) 網(wǎng)格的最外層（稱之為交界面”）來(lái)進(jìn)行笛卡爾網(wǎng)格 單元的分類，判斷其為“洞外單元”、“洞邊界單元”或 洞內(nèi)單元”，完成挖洞”操作回。2.2貢獻(xiàn)單元查找對(duì)于笛卡爾網(wǎng)格和貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的重疊區(qū)域，在 進(jìn)行交界面上通量計(jì)算過(guò)程中，左單元在各自的網(wǎng)格 系統(tǒng)里很容易確定，但右單元需要到另外一套網(wǎng)格系 統(tǒng)里尋找，即尋找所謂的“貢獻(xiàn)單元”。本文采用Mu- nikrishna等給出的貢獻(xiàn)單元”選取方法。圖1“貢獻(xiàn)單元”選取方法如圖1所示，當(dāng)要計(jì)算邊部的通量時(shí)，湖邊的左 單元是笛卡爾網(wǎng)格單

14、元+，而右單元需要從結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 中去找，右單元就是所謂的“貢獻(xiàn)單元”?！柏暙I(xiàn)單 元需要滿足幾何條件:dob = min （/皿），同時(shí)dob和 nab的夾角小于預(yù)定值（30 50），其中心是邊中 點(diǎn)到貢獻(xiàn)單元中心的向量,/皿是邊+b中點(diǎn)到結(jié) 構(gòu)網(wǎng)格中心的向量是邊ab的法向量。對(duì)于結(jié)構(gòu) 網(wǎng)格邊，其右單元需要到笛卡爾網(wǎng)格中去找，尋找的 “貢獻(xiàn)單元”的判斷依據(jù)同上。3算例與分析3.1數(shù)值渦的保持問(wèn)題本算例選用數(shù)值等熵渦模型。計(jì)算求解Euler方 程，計(jì)算區(qū)域?yàn)?1 X ,1 ，分別使用網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/64,1/128,1/256,四周的4個(gè)邊界均設(shè)為對(duì)稱邊界 條件,計(jì)算到0 =30時(shí)刻，分別使用二

15、階線性重構(gòu)、U- MUSCL格式（U = 1/3）和新型三階U-MUSCL格式 （U = -1 /6,奶=-4/3）計(jì)算網(wǎng)格邊的左右狀態(tài)。數(shù)值 渦的中心定義在網(wǎng)格中心（0. 5,0. 5）位置處，來(lái)流速 度為0,則此時(shí)隨著時(shí)間推進(jìn)，數(shù)值渦只會(huì)保持在原地 不動(dòng)。圖2旋渦環(huán)量損失比較不同尺度網(wǎng)格在不同格式下的全流場(chǎng)環(huán)量絕對(duì)值 隨時(shí)間的變化曲線如圖2所示,其中二階格式在網(wǎng)格 步長(zhǎng)5 = 1/64,1/128,1/256這3種不同尺度網(wǎng)格上均 進(jìn)行了計(jì)算，而U-MUSCL格式和新型三階U-MUSCL 格式只在網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/64的網(wǎng)格上進(jìn)行了計(jì)算。從 圖中可以看出，當(dāng)使用二階格式時(shí)，隨著網(wǎng)格步長(zhǎng)不

16、斷 變小，全流場(chǎng)環(huán)量的絕對(duì)值隨時(shí)間推進(jìn)而減小的量逐 漸變小，這表明了數(shù)值渦的耗散逐漸降低，數(shù)值渦的保 持性越來(lái)越好。在網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/64的網(wǎng)格上使用U -MUSCL格式，其全流場(chǎng)環(huán)量絕對(duì)值隨時(shí)間推進(jìn)的減 小量比二階格式在相同網(wǎng)格步長(zhǎng)的網(wǎng)格上的減小量要 小,但大于二階格式在網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/128的網(wǎng)格上計(jì) 算的減小量。而在網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/64的網(wǎng)格上使用新 型三階U-MUSCL格式計(jì)算的全流場(chǎng)環(huán)量絕對(duì)值隨時(shí) 間推進(jìn)的減小量，則遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于在網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/128的 網(wǎng)格上使用U-MUSCL格式計(jì)算所得的減小量，其曲 線基本和二階格式在網(wǎng)格步長(zhǎng)5 = 1/256的網(wǎng)格上的 全流場(chǎng)環(huán)量

17、絕對(duì)值隨時(shí)間變化曲線持平。該數(shù)值渦的保持算例表明，使用二階線性重構(gòu)計(jì) 算網(wǎng)格邊左右狀態(tài)的數(shù)值耗散最大，新型三階U- MUSCL格式的數(shù)值耗散最小，使用新型三階U- MUSCL格式，具有相當(dāng)于二階格式在一個(gè)方向上網(wǎng)格 加密4倍的效果（二維就是4 X4倍效果）。3.2非定常二維圓柱層流繞流本算例中，基于圓柱直徑的雷諾數(shù)Re =200,來(lái)流馬赫數(shù)Ma =0. 2,計(jì)算區(qū)域大小為-5. 0R,15. OR x -5. OR,5. OR ，其中R為圓柱直徑，圓柱中心的坐 標(biāo)為為.0,0. 0)，第一層邊界層網(wǎng)格厚度=0. 002R， 生成的混合笛卡爾網(wǎng)格如圖3所示。物理時(shí)間步長(zhǎng) 取為0.02。圖4為分別使用新型三階U-MUSCL格式和二階 線性重構(gòu)計(jì)算所得在0 = 300時(shí)刻的渦量云圖，從圖中 可以看出，兩種格式均能捕捉到在圓柱尾跡區(qū)周期性 脫落的旋渦，但新型三階U-MUSCL格式捕捉的旋渦 更加清晰，尤其是在尾跡區(qū)的下游遠(yuǎn)離圓柱位置，二階 線性重構(gòu)計(jì)算的旋渦已經(jīng)耗散嚴(yán)重，而新型三階U- MUSCL格式計(jì)算的旋渦依然清晰，因?yàn)樵摳袷降木?更高，并具有更低的數(shù)值耗散。4結(jié)論本文將新型三階U-