2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學丙卷

1、絕密 啟用前2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項:1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。(1) 設(shè)集合A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,則AB=(A)4,8(B)0,2,6(C

2、)0,2,6,10(D)0,2,4,6,8,10(2) 若z=4+3i,則z|(A)1(B)-1(C)45+35(3) 已知向量BA=(12,32),BC=(3(A)30(B)45(C)60(D)120(4) 某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15,B點表示四月的平均最低氣溫約為5.下面敘述不正確的是(A)各月的平均最低氣溫都在0以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(D)平均最高氣溫高于20的月份有5個(5) 小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第

3、一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(A)815(B)18(C)1(6) 若tan=-13,則cos2(A)-45(B)-15(C)1(7) 已知a=243,b=323,c=(A)bac(B)abc(C)bca(D)cab0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點,P為C上一點,且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線(A)13(B)12(C)2第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題,每個試題考生都必須作答。第2224題為選考題?？忌鶕?jù)要求作答。二、填空題:本題共4小題,每小題5

4、分。(13) 設(shè)x,y滿足約束條件2x-y+10,x-2y-10(14) 函數(shù)y=sinx-3cosx的圖像可由函數(shù)y=2sinx的圖像至少向右平移個單位長度得到.(15) 已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點,則|CD|=.(16) 已知f(x)為偶函數(shù),當x0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17) (本小題滿分12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=()求a2,a3;()

5、求an的通項公式.(18) (本小題滿分12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2008-2014.()由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;()建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(y參考公式:相關(guān)系數(shù)r=i回歸方程y=ab(19) (本小題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一

6、點,AM=2MD,N為PC的中點.()證明MN平面PAB;()求四面體N-BCM的體積.(20) (本小題滿分12分)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.()若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明ARFQ;()若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.(21) (本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.()討論f(x)的單調(diào)性;()證明當x(1,+)時,11,證明當x(0,1)時,1+(c-1)xcx.請考生在第2224題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。(22) (本小題滿分1

7、0分)選修41:幾何證明選講如圖,O中AB的中點為P,弦PC,PD分別交AB于E,F兩點.()若PFB=2PCD,求PCD的大小;()若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G,證明OGCD.(23) (本小題滿分10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cos,y=sin,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為()寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;()設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.(24) (本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|2x-a

8、|+a.()當a=2時,求不等式f(x)6的解集;()設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當xR時,f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.試卷全解全析全國丙卷文科(1)C根據(jù)補集的定義,知從集合A=0,2,4,6,8,10中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4個元素0,2,6,10構(gòu)成的集合即為AB,即AB=0,2,6,10,故選C.(2)D因為z=4+3i,所以它的模為|z|=|4+3i|=42+32=5,共軛復數(shù)為z=4-3i.故z(3)A因為BA=所以BA又因為BABC=|BA|BC|cos=11cosABC=cosABC,所以cosABC=32,即ABC=30.故選A(4)D由題圖可知,0

9、在虛線圈內(nèi),所以各月的平均最低氣溫都在0 以上,A正確;易知B,C正確;平均最高氣溫高于20 的月份有3個,分別為六月、七月、八月,D錯誤.故選D.(5)C密碼的前兩位共有15種可能,其中只有1種是正確的密碼,因此所求概率為115.故選C(6)D(方法1)cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2(方法2)tan =-13sincos=-13,即3sin =-兩邊平方得9sin2=cos2,即91-cos2解得cos 2=45(7)A因為a=243=423,c=且函數(shù)y=x23在0,+)內(nèi)是增函數(shù)所以32342316,退出循環(huán),輸出n=4.故選B.(9)D(方法1)記角A,B,C的對邊

10、分別為a,b,c,則由題意得,SABC=12a13a=12acsin B,c=由正弦定理,得sin C=23sin AC=34-A,sin C=sin34即22cos A+22sin A=23sin整理得sin A=-3cos A.sin2A+cos2A=1,sin2A+19sin2A=即sin2A=910,解得sin A=31010(排除負值).(方法2)記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則由題意得SABC=12aa3=12acsin B,b2=a2+23a2-2a2a3由正弦定理asinA=bsinB得,sin (10)B由題意知該幾何體為四棱柱,且四棱柱的底面是邊長為3的正方形,側(cè)棱

11、長為35,所以所求表面積為(33+36+335)2=54+185,故選B.(11)B由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個面相切.設(shè)球的半徑為R,易得ABC的內(nèi)切球的半徑為6+8-10則R2.因為2R3,即R32所以Vmax=433(12)A由題意知,A(-a,0),B(a,0),根據(jù)對稱性,不妨令P-c設(shè)l:x=my-a,M-c,a-直線BM:y=-a-cm(又直線BM經(jīng)過OE的中點,(a-c)a(ae=ca=13(13)-10滿足已知條件的可行域為如圖所示的陰影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).z=2x+3y-5,y=-2x作直線y=-23x,并在可行域內(nèi)移

12、動,當直線經(jīng)過點B時,直線在y軸上的截距最小,即z最小故zmin=2(-1)+3(-1)-5=-10.(14)3因為y=sin x-3cos x=2sinx所以函數(shù)y=sin x-3cos x的圖像可由函數(shù)y=2sin x的圖像至少向右平移3個單位長度得到(15)4由題意得直線l的傾斜角為6,坐標原點O到直線l的距離為|6|設(shè)直線l與x軸交于點E,結(jié)合題意知B(0,23),E(-6,0),則|BE|=62+(2因為|AB|=212-32=所以A為EB的中點.由題意知ACBD,所以C為DE的中點,即|CE|=|CD|=|AE|cos(16)y=2x當x0時,-x0,f(-x)=ex-1+x.因為

13、f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因為f(x)=ex-1+1,所以f(1)=2,所求切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.(17)解 ()由題意得a2=12,a3=14.5()(等比數(shù)列的定義、通項公式)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+因為an的各項都為正數(shù),所以an故an是首項為1,公比為12的等比數(shù)列因此an=12n-1(18)解 ()由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4,i=17(ti-t)2=28,i=1i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-t i=17yi=40.17r2.890.55

14、2因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.6分()由y=9.3271.331b=i=17(a=y-b t1.331-0.所以,y關(guān)于t的回歸方程為:y=0.92+0.10t.10分將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程得:y=0.92+0.109=1.82所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.12分(19)解 ()由已知得AM=23AD=2取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC,TN=12BC=2.3分又ADBC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,

15、MN平面PAB,所以MN平面PAB.6分()因為PA平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為12PA.9分取BC的中點E,連結(jié)AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB由AMBC得M到BC的距離為5,故SBCM=1245=25所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=13SBCMPA2=4(20)解 由題設(shè)知F12設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.3分()由于F在線段AB上,故1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=a-b1+所以ARFQ.5分()設(shè)l

16、與x軸的交點為D(x1,0),則SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,由題設(shè)可得12|b-a|x所以x1=0(舍去),x1=1.設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).(分類討論)當AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得2a+b=y而a+b2=y,所以y2=x-1(x當AB與x軸垂直時,E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.12分(21)解 ()(導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性)由題設(shè),f(x)的定義域為(0,+),f(x)=1x-令f(x)=0解得x=1.當0 x0,f(x)單調(diào)遞增;當x1時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減.4分()由()知f(x)在x=1處取得最大值,最大值

17、為f(1)=0.所以當x1時,ln xx-1.故當x(1,+)時,ln xx-1,ln1x即1x-1lnx1,(構(gòu)造函數(shù))設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=lnc當x0,g(x)單調(diào)遞增;當xx0時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減.9分由()知1c-1lncc,故0 x又g(0)=g(1)=0,故當0 x0.所以當x(0,1)時,1+(c-1)xcx.12分(22)解 ()連結(jié)PB,BC,則BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+BCD.因為AP=所以PBA=PCB.又BPD=BCD,所以BFD=PCD.又PFB+BFD=180,PFB=2PCD,所以3PCD=180,因此PCD=60.5分()因為PCD=BFD,所以EFD+PCD=180,由此知C,D,F,E四點共圓,其圓心既在CE的垂直平分線上,又在DF的垂直平分線上,故G就是過C,D,F,E四點的圓的圓心,所以G在CD的垂直平分線上.又O也在CD的垂直平分線上,因此OGCD.10分(23)解 ()C1的普通方程為x23+y2=1.C2的直角坐標方程為x+y-4=0.5()由題意,可設(shè)點P的直角坐標為(3cos ,sin ).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最