人教版平行四邊形單元達標(biāo)測試題

人教版平行四邊形單元達標(biāo)測試題一、選擇題1．如圖，將一個矩形紙片折疊，使點與點重合，若則折痕的長度為（）A． B． C． D．2．如圖，是邊長為2的正方形的對角線上一點，且，為上任意一點，于點，于點，則的值是（）A． B． C．2 D．13．如圖，正方形的邊長為1，順次連接正方形四邊的中點得到第一個正方形，又順次連接正方形四邊中點得到第二個正方形，……，以此類推，則第六個正方形的面積是（）A． B． C． D．4．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P是AD邊上的一個動點，過點P分別作PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F.若AB＝3，BC＝4，則PE＋PF的值為()A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.45．如圖，在正方形中，點，分別在和上，過點作，的延長線交于點，，若，則的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．如圖，一張長方形紙片的長，寬，點在邊上，點在邊上，將四邊形沿著折疊后，點落在邊的中點處，則等于（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，分別以，，為邊，在的同側(cè)作正方形，，．若圖中兩塊陰影部分的面積分別記為，，則對，的大小判斷正確的是（）A． B． C． D．無法確定8．如圖，在平行四邊形中，過點作于，作于，且，，，則平行四邊形的面積是（）A． B． C． D．9．如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長為（）A．2.8 B． C．2.4 D．3.510．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C． D．1二、填空題11．如圖，是邊長為的等邊三角形，取邊中點，作，，得到四邊形，它的周長記作；取中點，作，，得到四邊形，它的周長記作．照此規(guī)律作下去，則______．12．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，則∠DHO＝_____度．13．如圖，四邊形紙片中，,．若該紙片的面積為10cm2，則對角線=______cm．14．在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．15．如圖，菱形的邊長是4，，點，分別是，邊上的動點（不與點，，重合），且，若，，與相交于點，當(dāng)為等腰三角形時，的長為________．16．如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.17．如圖，點E、F分別在平行四邊形ABCD邊BC和AD上（E、F都不與兩端點重合），連結(jié)AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交于點G，DE和CF交于點H．令，．若，則圖中有_______個平行四邊形（不添加別的輔助線）；若，且四邊形ABCD的面積為28，則四邊形FGEH的面積為_______．18．如圖，長方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的邊長為1．正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，線段CF的長的最小值為_____．19．如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，E為AC上一點，BE平分∠ABO，EF⊥BC于點F，∠CAD=45°，EF交BD于點P，BP=，則BC的長為_______．20．如圖所示，已知AB＝6，點C，D在線段AB上，AC＝DB＝1，P是線段CD上的動點，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連接EF，設(shè)EF的中點為G，當(dāng)點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是_________．三、解答題21．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有很多典型的基本圖形．（1）如圖①，中，，，直線經(jīng)過點，直線，直線，垂足分別為、．試說明；（2）如圖②，中，，，點、、在同一條直線上，，，．則菱形面積為______．（3）如圖③，分別以的直角邊、向外作正方形和正方形，連接，是的高，延長交于點，若，，求的長度．22．如圖，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點B，點D分別在x軸，y軸上，點C在第一象限內(nèi)，若平面內(nèi)有一動點P，且滿足S△POB＝S矩形OBCD，問：（1）當(dāng)點P在矩形的對角線OC上，求點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P到O，B兩點的距離之和PO+PB取最小值時，求點P的坐標(biāo)．23．如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊BC、CD上，AM、AN分別交BD于點P、Q，連接CQ、MQ．且．（1）求證：（2）求證：（3）如圖2，連接MN，當(dāng)，，求的面積圖1圖224．如圖，點A、F、C、D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，當(dāng)AF為時，四邊形BCEF是菱形．25．如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E在邊AD所在的直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點C、E、F、G按逆時針排列），連接BF.（1）如圖1,當(dāng)點E與點D重合時，BF的長為；（2）如圖2，當(dāng)點E在線段AD上時，若AE=1，求BF的長；（提示：過點F作BC的垂線，交BC的延長線于點M，交AD的延長線于點N.）（3）當(dāng)點E在直線AD上時，若AE=4，請直接寫出BF的長.26．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD邊于點E．點F在BC邊上，且FE⊥AE．（1）如圖1，①∠BEC=_________°；②在圖1已有的三角形中，找到一對全等的三角形，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，F(xiàn)H∥CD交AD于點H，交BE于點M．NH∥BE，NB∥HE，連接NE．若AB=4，AH=2，求NE的長．27．問題背景若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關(guān)于這條底邊互為頂針點；若再滿足兩個頂角的和是180°，則稱這兩個頂點關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點．如圖1，四邊形中，是一條對角線，，，則點與點關(guān)于互為頂針點；若再滿足，則點與點關(guān)于互為勾股頂針點．初步思考(1)如圖2，在中，，，、為外兩點，，，為等邊三角形．①點與點______關(guān)于互為頂針點；②點與點______關(guān)于互為勾股頂針點，并說明理由．實踐操作(2)在長方形中，，．①如圖3，點在邊上，點在邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點、，使得點與點關(guān)于互為勾股頂針點．(不寫作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點是直線上的動點，點是平面內(nèi)一點，點與點關(guān)于互為勾股頂針點，直線與直線交于點．在點運動過程中，線段與線段的長度是否會相等？若相等，請直接寫出的長；若不相等，請說明理由．28．如圖①，在中，，過上一點作交于點，以為頂點，為一邊，作，另一邊交于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)點為中點時，的形狀為；（3）延長圖①中的到點使連接得到圖②，若判斷四邊形的形狀，并說明理由．29．如圖，在等腰中，，點E在AC上且不與點A、C重合，在的外部作等腰，使，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系；將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段BC上時，如圖，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若，，在圖的基礎(chǔ)上將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度．30．如圖，的對角線相交于點，點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動，連接，并延長交于點．設(shè)點的運動時間為秒．（1）求的長（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值；（3）當(dāng)時，點是否在線段的垂直平分線上？請說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，進而得出的長，再證明，根據(jù)，求出的長，最后在運用勾股定理即可得到．【詳解】解：過作于，設(shè)，則，在中，，解得，，，，，，，，中，，即的長為，故選：．【點睛】本題主要考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解題時注意方程思想的運用．2．B解析：B【分析】過點E作EM⊥AB，連接AF，先求出EM，由S△ABE＝AB?EM＝AE?GF+AB?FH，可得FG+FH=EM，則FG+FH的值可求．【詳解】解：如圖，過點E作EM⊥AB，連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∵AB=AE=2，∴∴EM＝，∵S△ABE=S△AEF+S△ABF，∴S△ABE＝AB?EM＝AE?GF+AB?FH，∴EM=FG+FH=；故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，運用面積法得出線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．A解析：A【分析】計算前三個正方形的面積從而得出一般規(guī)律求解.【詳解】順次連接正方形四邊的中點得到第一個正方形則正方形的面積為正方形的面積為正方形的面積為正方形的面積為根據(jù)規(guī)律可得，第六個正方形的面積為【點睛】本題考查了特殊正方形中的面積計算，解題的關(guān)鍵在于找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解.4．D解析：D【分析】連接OP,由矩形ABCD的可求OA=OD=，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP即可解答.【詳解】解：如圖：連接OP∵矩形ABCD，AB＝3，BC＝4∴S矩形ABCD=AB×BC=12,OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=∴PE+PF=2.4故答案為D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正確的做出輔助線和運用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．.5．A解析：A【分析】根據(jù)已知條件先證明△ABE≌△ADG，得到AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，得到,根據(jù)，設(shè)=x,利用得到方程求出x即可求解．【詳解】在正方形中，AB=AD,∵∴又∴∴△ABE≌△ADG（ASA）∴AE=AG，BE=DG,∵∴∴EF=GF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∵，設(shè)=x,∴=x+30°∵∴故x+30°+x+30°=90°解得x=15°故選A．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．6．D解析：D【分析】連接BE，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明△ABE≌△，得到BE=EG，根據(jù)點G是AD的中點，AD=4得到AE=2-EG=2-BE，再根據(jù)勾股定理即可求出BE得到EG.【詳解】連接BE，由折疊得：，=90°，,∴△ABE≌△,∴BE=EG,∵點G是AD的中點，AD=4，∴AG=2，即AE+EG=2，∴AE=2-EG=2-BE，在Rt△ABE中，，∴,∴EG=，故選：D.【點睛】此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，利用折疊證明三角形全等，目的是證得EG=BE，由此利用勾股定理解題.7．B解析：B【分析】連接EH，過點H作HK⊥BF于點K，令A(yù)E與BH交于點J，HL與BF交于點L，根據(jù)已知條件易證△BHK≌△ABC，繼而由全等三角形的性質(zhì)得S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，再由全等三角形的判定可得△BCJ≌△HKL，進而可得S1＝S△BHK＝S△ABC，由正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定可知△ABC≌△AIG，繼而可得S△ABC＝S△AIG＝S2，等量代換即可求解．【詳解】解：連接EH，過點H作HK⊥BF于點K，令A(yù)E與BH交于點J，HL與BF交于點L，由題意可知：四邊形BCED是正方形，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，∠ACB＝90°∴∠CEH＝∠ECK＝90°,CE＝BC∵∠BKH＝90°,∴四邊形CEHK是矩形，∴CE＝HK又∠HBK＋∠ABC＝90°,∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠HBK＝∠BAC∴△BHK≌△ABC（AAS）∴S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°∴∠CBJ＝∠KHL∴△BCJ≌△HKL（ASA）∴S△BCJ＝S△HKL，∴S1＝S△BHK＝S△ABC，∵四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°∴△ABC≌△AIG（SAS）∴S△ABC＝S△AIG＝S2，即S1＝S2故選：B【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法．8．A解析：A【分析】設(shè)，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，然后根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，最后利用平行四邊形的面積公式即可得．【詳解】設(shè)，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，又，，解得，即，是等腰直角三角形，，，平行四邊形ABCD的面積是，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．B解析：B【分析】延長BG交CH于點E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，從而由勾股定理可得GH的長．【詳解】解：如圖，延長BG交CH于點E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG2+BG2=AB2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG和△CDH中，AB＝CD＝10AG＝CH＝8BG＝DH＝6∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG和△BCE中，∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE－BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt△GHE中，,故選：B．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運用，通過證三角形全等得出△GHE為直角三角形且能夠求出兩條直角邊的長是解題的關(guān)鍵．10．B解析：B【分析】由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．【詳解】由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在直線軌跡上運動，如圖，將ΔEFB繞點E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到ΔEFB?ΔEHG，從而可知ΔEBH為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上，如圖，作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，則.故選B．【點睛】本題考查了線段極值問題，構(gòu)造圖形計算，是極值問題中比較典型的類型．分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點G的運動軌跡，是解本題的關(guān)鍵．二、填空題11．【分析】根據(jù)幾何圖形特征，先求出、、，根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出．【詳解】∵點E是BC的中點，ED∥AB，EF∥AC∴DE、EF是△ABC的中位線∵等邊△ABC的邊長為1∴AD=DE=EF=AF=則=同理可求得：=，=發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的∴=故答案為：．【點睛】本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)律．12．24【分析】由菱形的性質(zhì)可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可得OH＝BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性質(zhì)可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【詳解】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°，故答案為：24．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，是幾何綜合題，判斷出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解決本題的關(guān)鍵．13．【分析】作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，則四邊形BEDF是矩形，證明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面積=△CBF的面積，則四邊形BEDF是正方形，四邊形ABCD的面積=正方形BEDF的面積，求出BE=，即可求得BD的長．【詳解】解：作BE⊥AD交DA延長線于E，BF⊥CD于F，如圖所示：則∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF，△ABE的面積=△CBF的面積，∴四邊形BEDF是正方形，四邊形ABCD的面積=正方形BEDF的面積，∴BE=DE，BE2=10cm2，∴BE=(cm)，∴BD=BE=2(cm)．故答案為：2．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．①②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABG≌△AEC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)BG、CE相交于點N，AC、BG相交于點K，如圖1，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判斷②；過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，如圖2，根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用AAS可證明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，從而可判斷③，于是可得答案．【詳解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正確；設(shè)BG、CE相交于點N，AC、BG相交于點K，如圖1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正確；過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，如圖2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正確；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中線，故③正確．綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．15．或【分析】連接AC交BD于O，由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可證四邊形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得點B，點G，點D三點共線，由直角三角形性質(zhì)可求BD=4，AC=4，分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】如圖，連接AC交BD于O，∵菱形ABCD的邊長是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∵EG∥BC，F(xiàn)G∥AB，∴四邊形BEGF是平行四邊形，又∵BE=BF，∴四邊形BEGF是菱形，∴∠ABG=30°，∴點B，點G，點D三點共線，∵AC⊥BD，∠ABD=30°，∴AO=AB=2，BO=，∴BD=，AC=4，同理可求BG=BE，即BE=，若AD=DG'=4時，∴BG'=BD-DG'=，∴BE'；若AG''=G''D時，過點G''作G''H⊥AD于H，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H⊥AD，∴DG''=2HG''，∵，解得：HG''，DG''=2HG''，∴BG''=BD-DG''=，∴BE''=，綜上所述：BE為或．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．16．【分析】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點共線的形式是解題的關(guān)鍵.17．7【分析】①若，則，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行四邊形的判定（一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行）即可得；②先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得，再根據(jù)和即可得出答案．【詳解】四邊形ABCD是平行四邊形，即四邊形AECF、四邊形BEDF都是平行四邊形四邊形EGFH是平行四邊形綜上，圖中共有4個平行四邊形如圖，連接EF四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形故答案為：4；7．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．2﹣【分析】連接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到當(dāng)點A，F(xiàn)，C在同一直線上時，CF的長最小，最小值為2﹣.【詳解】解：如圖，連接AF，CF，AC，∵長方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的邊長為1，∴AC＝2，AF＝，∵AF+CF≥AC，∴CF≥AC﹣AF，∴當(dāng)點A，F(xiàn)，C在同一直線上時，CF的長最小，最小值為2﹣，故答案為：2﹣．【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系.19．4【分析】過點E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知點E是AO的中點，可證得EM=AD=BC，根據(jù)已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，從而得∠BEF=45°，△BEF為等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可證明△BFP≌△MEP（AAS），則EP=FP=FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【詳解】過點E作EM∥AD，交BD于M，設(shè)EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，點E是AO的中點，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位線，又∵ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC為等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，則△BEF為等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，則△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=EF=FC=x，∴在Rt△BFP中，，即：，解得：，∴BC=2=4，故答案為：4．【點睛】考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理求三角形邊長，熟記圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．2【分析】分別延長AE，BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點G為PH的中點，則G的運動軌跡為△HCD的中位線MN，再求出CD的長度，運用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可．【詳解】解：如圖，分別延長AE，BF交于點H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四邊形EPFH為平行四邊形，∴EF與HP互相平分，∵點G為EF的中點，∴點G為PH的中點，即在P運動的過程中，G始終為PH的中點，∴G的運動軌跡為△HCD的中位線MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN==2，∴點G移動路徑的長是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了等邊三角形及中位線的性質(zhì)，以及動點的問題，是中考熱點，解題的關(guān)鍵是得出G的運動軌跡為△HCD的中位線MN．三、解答題21．（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）證∠BDA＝∠CEA＝90°，∠CAE＝∠ABD，由AAS證明△ABD≌△CAE即可；（2）連接CE，交AF于O，由菱形的性質(zhì)得∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得△ABD≌△CAO（AAS），得OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，由三角形面積公式求出S△AOC＝6，即可得出答案；（3）過E作EM⊥HI的延長線于M，過點G作GN⊥HI于N，同（1）得△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），得EM＝AH＝GN，證△EMI≌△GNI（AAS），得EI＝GI，證∠EAG＝90°，由勾股定理求出EG＝10，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：連接CE，交AF于O，如圖②所示：∵四邊形AEFC是菱形，∴CE⊥AF，∴∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS），∴OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，∴S△AOC＝OA?OC＝×4×3＝6，∴S菱形AEFC＝4S△AOC＝4×6＝24，故答案為：24；（3）解：過E作EM⊥HI的延長線于M，過點G作GN⊥HI于N，如圖③所示：∴∠EMI＝∠GNI＝90°，∵四邊形ACDE和四邊形ABFG都是正方形，∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），∴EM＝AH＝GN，在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中點，∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，∴∠EAG＝90°，在Rt△EAG中，EG＝＝＝10，∵I是EG的中點，∴AI＝EG＝×10＝5．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識；本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（1）P（，2）；（2）（，2）或（﹣，2）【分析】（1）根據(jù)已知條件得到C（5，3），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，求得直線OC的解析式為y＝x，設(shè)P（m，m），根據(jù)S△POB＝S矩形OBCD，列方程即可得到結(jié)論；（2）設(shè)點P的縱坐標(biāo)為h，得到點P在直線y＝2或y＝﹣2的直線上，作B關(guān)于直線y＝2的對稱點E，則點E的坐標(biāo)為（5，4），連接OE交直線y＝2于P，則此時PO+PB的值最小，設(shè)直線OE的解析式為y＝nx，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖：∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，∴3＝5k，∴k＝，∴直線OC的解析式為y＝x，∵點P在矩形的對角線OC上，∴設(shè)P（m，m），∵S△POB＝S矩形OBCD，∴5×m＝3×5，∴m＝，∴P（，2）；（2）∵S△POB＝S矩形OBCD，∴設(shè)點P的縱坐標(biāo)為h，∴h×5＝5，∴h＝2，∴點P在直線y＝2或y＝﹣2上，作B關(guān)于直線y＝2的對稱點E，則點E的坐標(biāo)為（5，4），連接OE交直線y＝2于P，則此時PO+PB的值最小，設(shè)直線OE的解析式為y＝nx，∴4＝5n，∴n＝，∴直線OE的解析式為y＝x，當(dāng)y＝2時，x＝，∴P（，2），同理，點P在直線y＝﹣2上，P（，﹣2），∴點P的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，2）．【點睛】本題考查了軸對稱——最短路線問題，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的找到點P在位置是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析（2）見解析（3）15【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到∠QBA＝∠QBC，進而可得△QBA≌△QBC，∠QAB＝∠QCB，再根據(jù)CQ＝MQ，得到∠QCB＝∠QMC，即可求證；（2）根據(jù)∠QAB＝∠QMC，∠QMC＋∠QMB＝180°，得到∠QAB＋∠QMB＝180°，在四邊形QABM中，∠QAB＋∠QMB＋∠ABM＋∠AQM＝360°可得∠ABM＋∠AQM＝180°，再根據(jù)∠ABM＝90°即可求解；（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，延長ND至點H，使DH＝BM＝2，證得△ADH≌△ABM，得到∠DAH＝∠BAM，且AH＝AM，由（2）知，△QAM是等腰直角三角形，易得∠NAM＝∠NAH，進而得到△NAM≌△NAH，在Rt△MNC中，利用勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形∴∠QBA＝∠QBC在△QBA和△QBC中∴△QBA≌△QBC（SAS）∴∠QAB＝∠QCB又∵CQ＝MQ∴∠QCB＝∠QMC∴∠QAB＝∠QMC（2）∵∠QAB＝∠QMC又∵∠QMC＋∠QMB＝180°∴∠QAB＋∠QMB＝180°在四邊形QABM中∠QAB＋∠QMB＋∠ABM＋∠AQM＝360°∴∠ABM＋∠AQM＝180°而∠ABM＝90°∴∠AQM＝90°（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則，延長ND至點H，使DH＝BM＝2易證△ADH≌△ABM∴∠DAH＝∠BAM，且AH＝AM由（2）知，△QAM是等腰直角三角形∴∠QAM＝45°∴∠DAN＋∠BAM＝45°∴∠DAN＋∠DAH＝45°即∠NAH＝45°∴∠NAM＝∠NAH∴△NAM≌△NAH（SAS）∴NM＝NH＝在Rt△MNC中，∴∴∴【點睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，靈活運用性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易證得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；（2）由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當(dāng)BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，所以連接BE，交CF與點G，由三角形DEF的面積求出EG的長，根據(jù)勾股定理求出FG的長，則可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AF=DC，∴AC=DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，交CF于點G，∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴當(dāng)BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，∵∠DEF=90°，DE=8，EF=6，∴DF==10，∴S△DEF，∴EG，∴FG=CG，∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣=．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）過點F作FH⊥AD交AD于的延長線于點H，作FM⊥AB于點M，證出，進而求得MF，BM的長，再利用勾股定理，即可求得.（3）分兩種情況討論，同（2）證得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【詳解】（1）由勾股定理得：（2）過點F作FH⊥AD交AD于的延長線于點H，作FM⊥AB于點M，如圖2所示：則FM=AH，AM=FH∵四邊形CEFG是正方形∴EC=EF,∠FEC=90°∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四邊形是正方形∴∠ADC=90°∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴∴FH=EDEH=CD=3∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5在Rt△BFM中，BF=（3）分兩種情況：①當(dāng)點E在邊AD的左側(cè)時，過點F作FM⊥BC交BC的反向延長線于點M，交DE于點N.如圖3所示：同（2）得：∴EN=CD=3，F(xiàn)N=ED=7∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1∴MB=AN=1FM=FN+NM=7+3=10在中由勾股定理得：②當(dāng)點E在邊AD的右側(cè)時，過點F作FN⊥AD交AD的延長線于點N，交BC延長線于M，如圖4所示：同理得：∴NF=DE=1，EN=CD=3∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4∴BM=CB+CM=3+4=7在中由勾股定理得：故BF的長為【點睛】本題為考查三角形全等和勾股定理的綜合題，難點在于根據(jù)E點位置的變化，畫出圖形，注意（3）分情況討論，難度較大，屬壓軸題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理的運用是解題關(guān)鍵.26．（1）①45；②△ADE≌△ECF，理由見解析；（2）2.【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可；②利用定理證明；（2）連接，證明四邊形是矩形，得到，根據(jù)勾股定理求出即可.【詳解】（1）①∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=45°，∴∠BEC=45°，故答案為45；②△ADE≌△ECF，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC．∵FE⊥AE，∴∠AEF=90°．∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠FEC=∠EAD，∵BE平分∠ABC，∴∠BEC=45°．∴∠EBC=∠BEC．∴BC=EC．∴AD=EC．在△ADE和△ECF中，，∴△ADE≌△ECF；（2）連接HB，如圖2，∵FH∥CD，∴∠HFC=180°-∠C=90°．∴四邊形HFCD是矩形．∴DH=CF，∵△ADE≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE．∴∠DHE=∠DEH=45°．∵∠BEC=45°，∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．∵NH∥BE，NB∥HE，∴四邊形NBEH是平行四邊形．∴四邊形NBEH是矩形．∴NE=BH．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAH=90°．∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，【點睛】本題考查的是矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.27．（1）①、，②，理由見解析；（2）①作圖見解析；②與可能相等，的長度分別為，，2或18．【分析】（1）根據(jù)互為頂點，互為勾股頂針點的定義即可判斷．（2）①以C為圓心，CB為半徑畫弧交AD于F，連接CF，作∠BCF的角平分線交AB于E，點E，點F即為所求．②分四種情形：如圖①中，當(dāng)時；如圖②中，當(dāng)時；如圖③中，當(dāng)時，此時點F與D重合；如圖④中，當(dāng)時，點F與點D重合，分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）根據(jù)互為頂點，互為勾股頂針點的定義可知：①點A與點D和E關(guān)于BC互為頂針點；②點D與點A關(guān)于BC互為勾股頂針點，