信息論與編碼第六講

1、第六講1主要內(nèi)容級(jí)聯(lián)碼與乘積碼Turbo碼Turbo碼的性能分析26.1 級(jí)聯(lián)碼與乘積碼 理論上，只要增加碼長(zhǎng)，幾乎所有的碼都可以是漸近好碼。比如碼率一定的 (14,8)分組碼優(yōu)于(7,4) 碼，而(21,12) 分組碼可能更優(yōu)?？梢院侠硗普摚菏共铄e(cuò)概率無(wú)限小的好碼(7m,4m), m一定存在。 糾錯(cuò)碼包含理論與實(shí)踐兩方面課題。構(gòu)碼的難度主要體現(xiàn)在編碼上，要完全依靠理論找到漸近好碼異常困難，但要找出碼長(zhǎng)為幾千、幾萬(wàn)位的好碼還是可能。從工程角度看，真正的障礙還在于譯碼。因?yàn)橐坏?gòu)碼規(guī)則或方法確定后，編碼實(shí)現(xiàn)相當(dāng)容易，對(duì)于(n,k)分組碼而言，其復(fù)雜度僅在k或n-k數(shù)量級(jí), 寫作O(k)或O(n-

2、k)。而最佳（最大似然）譯碼的工程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與碼長(zhǎng)成指數(shù)關(guān)系，是O(2k)或O(2n-k)，因此長(zhǎng)碼的最佳譯碼幾乎不可能。3 卷積碼編碼是前后碼組間卷積，可看作是增加碼長(zhǎng)的措施。卷積碼的最大似然譯碼維特比譯碼在一定條件下等效于最佳譯碼。但維特比譯碼的復(fù)雜度與限制長(zhǎng)度成指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系。 于是人們被迫去尋找各種替代的、可實(shí)現(xiàn)的方法，其中之一是受信號(hào)分級(jí)放大、火箭分級(jí)推動(dòng)的啟發(fā)，糾錯(cuò)是否也能分級(jí)？這就導(dǎo)致了級(jí)聯(lián)編碼方案。4該碼在發(fā)端是兩級(jí)編碼、收端是兩級(jí)譯碼，屬于兩級(jí)糾錯(cuò)。連接信息源的叫外編碼器，連通信道的叫內(nèi)編碼器。若外碼為碼率Ro的(N,K)分組碼，內(nèi)碼為碼率Ri的(n,k)分組碼，則兩者合起來(lái)相

3、當(dāng)于碼長(zhǎng)Nn、信息位Kk、碼率Rc= Ri Ro的分組長(zhǎng)碼。信息 外編碼器 內(nèi)編碼器 信道 (N, K, do) (n, k, di) 分組碼 分組碼 (Nn, Kk, do di)級(jí)聯(lián)碼編碼器 圖7-1 串行級(jí)聯(lián)碼1.串行級(jí)聯(lián)碼 1966年，F(xiàn)orney提出了一種構(gòu)造長(zhǎng)碼的有效方法：利用兩個(gè)短碼的串接構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)碼，叫級(jí)聯(lián)碼，其結(jié)構(gòu)如圖7-1。5級(jí)聯(lián)碼內(nèi)碼常用卷積碼因?yàn)樽畲笏迫蛔g碼軟判決維特比算法適合于約束度較小的卷積碼。級(jí)聯(lián)碼外碼常用糾突發(fā)差錯(cuò)分組碼如RS碼、法爾碼等因?yàn)榫矸e碼的譯碼是序列譯碼，以卷積碼為內(nèi)碼時(shí)，一旦出錯(cuò)就是一個(gè)序列差錯(cuò)，相當(dāng)于突發(fā)差錯(cuò)。RS碼糾突發(fā)差錯(cuò)能力與卷積碼序列差錯(cuò)平

4、均長(zhǎng)度的匹配如果卷積內(nèi)碼是( n, k, L ), L為約束長(zhǎng)度，RS外碼是GF(q) 域上的 ( N, K, d )碼，其中q =2J，則根據(jù)RS碼的特點(diǎn)，必有N = 2J - 1, K = 2J - 1-2t, d = 2t +1。由于卷積碼最可能的差錯(cuò)序列長(zhǎng)度是(L +1), 而RS二進(jìn)衍生碼糾突發(fā)差錯(cuò)的能力是(t-1)J+1, 因此原則上應(yīng)有 (t-1)J+1 L +1，使卷積碼譯碼差錯(cuò)在大多數(shù)情況下能被RS碼糾正。6符合這種關(guān)系的卷積碼內(nèi)碼加RS碼外碼成了級(jí)聯(lián)碼的黃金搭配比如，當(dāng)外碼采用(255,233)RS碼，內(nèi)碼采用(2,1,7)卷積碼且用維特比軟判決譯碼時(shí)，與不編碼相比可產(chǎn)生約

5、7dB的編碼增益，特別適用于高斯白噪聲信道如衛(wèi)星通信和宇航通信。 例如，美國(guó)早期“先鋒號(hào)”宇航通信采用限制長(zhǎng)度L=32的卷積碼，不適合維特比算法而采用了序列譯碼。而在“探險(xiǎn)號(hào)”飛向木星和土星的旅程中，改用(255, 233) RS外碼、 (2,1,7)卷積內(nèi)碼的級(jí)聯(lián)碼，這種碼的性能之優(yōu)良，使之被認(rèn)為是一種宇航標(biāo)準(zhǔn)碼而稱為NASA碼。 NASA碼在內(nèi)碼與外碼中間還插入一個(gè)5255的交織器。7 以卷積碼為內(nèi)碼的級(jí)聯(lián)碼適用于高斯白噪聲信道 因?yàn)榫矸e碼屬于糾隨機(jī)差錯(cuò)碼。當(dāng)卷積加RS碼模式的級(jí)聯(lián)碼用于突發(fā)差錯(cuò)信道（如移動(dòng)通信的衰落信道）時(shí)，必須采取一些附加的措施，最有效的是采用交織器，加在信道編碼器與信

6、道調(diào)制器之間，如圖7-2所示。 信息 外碼 內(nèi)碼 交織器 調(diào)制器 突發(fā)差錯(cuò) RS碼 卷積碼 信道 級(jí)聯(lián)碼編碼器 圖7-2 級(jí)聯(lián)碼用于突發(fā)差錯(cuò)信道8信息 外編碼器 交織器 內(nèi)編碼器 AWGN BCH碼 卷積碼 信道 加交織器的級(jí)聯(lián)碼 圖7-3 級(jí)聯(lián)碼與交織器的結(jié)合針對(duì)維特比譯碼產(chǎn)生突發(fā)差錯(cuò)的特點(diǎn)，如果在卷積碼內(nèi)碼和分組外碼之間插入一個(gè)交織器，則維特比譯碼產(chǎn)生的突發(fā)差錯(cuò)將通過(guò)交織作用而隨機(jī)化，外碼面對(duì)的將是隨機(jī)差錯(cuò)，可以不用針對(duì)突發(fā)差錯(cuò)碼，而改用一般分組碼或BCH碼，如圖7-3所示。 9 交織器和干擾器（擾碼）有區(qū)別，干擾器在于數(shù)據(jù)形式（比如0、1幅度）的隨機(jī)化，而交織器在于數(shù)據(jù)順序的隨機(jī)化。 交

7、織器分周期交織和偽隨機(jī)交織兩種，它的重要設(shè)計(jì)參數(shù)之一是交織度，該參數(shù)視信道特性來(lái)定。級(jí)聯(lián)碼所用交織器通常是偽隨機(jī)交織器，交織器對(duì)N比特的數(shù)據(jù)塊作偽隨機(jī)的置換。 為了分析級(jí)聯(lián)碼的性能，通?？梢杂靡粋€(gè)理想的均勻交織器作為交織器的模型。理想均勻交織器定義為這樣一種裝置：它能把重量為w的輸入碼字以相等的概率 映射為全部 個(gè)不同的置換體之一。 10m個(gè) (p,k) m個(gè) 長(zhǎng)度 m個(gè) (n, p) m個(gè) 線性分組 Nmp的 線性分組k比特組 外編碼器 p比特組 塊交織器 p比特組 內(nèi)編碼器 n比特組 上圖是串行級(jí)聯(lián)分組碼 。外、內(nèi)碼分別是(p,k) 和(n, p) 二進(jìn)制線性系統(tǒng)分組碼，塊交織長(zhǎng)度為N=m

8、p (m是交織器一次交織包含的外碼碼字?jǐn)?shù))。 編碼和交織的具體過(guò)程為：mk位信息比特經(jīng)(p,k)外編碼器變?yōu)镹mp比特后送入交織器，按交織器的置換算法以不同的順序讀出。交織后的mp比特然后被分隔成m組長(zhǎng)度p的分組送入內(nèi)編碼器，產(chǎn)生m個(gè)長(zhǎng)度n的碼字。從總體效果看， mk位信息比特被串行級(jí)聯(lián)分組碼編成了mn的碼塊，是(mn,mk)分組碼，碼率R=(k/p)(p/n)= k/n , 碼長(zhǎng)mn位。由于m可以選得較大，這種碼比不使用交織器的一般級(jí)聯(lián)碼的等效碼長(zhǎng)要大得多。 116.1.2 乘積碼 針對(duì)突發(fā)差錯(cuò)信道的交織器對(duì)噪聲隨機(jī)化非常有效,但進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，交織前的碼字經(jīng)交織后不再是碼字，這種非碼字符號(hào)

9、直接送入信道傳輸對(duì)差錯(cuò)控制不利。 若將交織塊的行和列都加以編碼，則碼字經(jīng)行、列交織后仍是碼字，糾錯(cuò)能力一定得以提高。這一思路導(dǎo)致了乘積碼產(chǎn)生。 事實(shí)上，早期的水平垂直冗余校驗(yàn)碼（圖1-17）也可以視作是一種乘積碼，它在行和列上均采用了奇偶校驗(yàn)碼，只是行、列的編碼僅限于檢錯(cuò)碼而不是糾錯(cuò)碼。 12圖7-5是典型的乘積碼碼陣圖。其中水平方向?yàn)樾芯幋a，采用了(nx,kx,dx)系統(tǒng)線性分組碼Cx，垂直方向?yàn)榱芯幋a，采用了(ny,ky,dy)系統(tǒng)線性分組碼Cy。根據(jù)信息的性質(zhì)，整個(gè)碼陣可分割成4塊：信息、行校驗(yàn)、列校驗(yàn)、校驗(yàn)之校驗(yàn)。 信 息 塊校驗(yàn)之校驗(yàn)塊行校驗(yàn)塊列 校 驗(yàn) 塊乘積碼可以按行（或列）的次

10、序傳送，也可以按碼陣對(duì)角線次序傳送，兩種方法所得的碼不一樣。但對(duì)于按行或按列傳輸?shù)某朔e碼，只要行、列采用同樣的線性碼，那么無(wú)論是先行編碼再列編碼，還是列編碼再行編碼，校驗(yàn)之校驗(yàn)數(shù)據(jù)是一樣的。 13若行碼Cx和列碼Cy的碼長(zhǎng)分別是nx、ny，能夠糾正的突發(fā)差錯(cuò)的長(zhǎng)度分別是bx、by，則由Cx和Cy構(gòu)成的乘積碼能糾正的突發(fā)差錯(cuò)的長(zhǎng)度為 ：b max (nxbx , nyby) (7-1) 若行碼Cx和列碼Cy的最小距離分別為dx、dy，則對(duì)非全零碼陣而言，至少有一行有dx個(gè)非零碼元，因此至少有dx個(gè)非全0的列；而每個(gè)非全0列碼至少有dy個(gè)非零碼元，因此dx個(gè)非全0列碼至少有dxdy個(gè)非零碼元，從而

11、斷定Cx Cy乘積碼的最小距離為dxdy，能糾正的隨機(jī)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為：b INT (dxdy-1)2 (7-2)14同樣可從二維乘積碼擴(kuò)展到由多個(gè)子碼組成的多維乘積碼，也可改變傳輸方式由一般的分組乘積碼演變?yōu)檠h(huán)乘積碼。 循環(huán)乘積碼指這樣的一種乘積碼：其行碼Cx和列碼Cy都是循環(huán)碼，而且傳輸順序不是按行或按列，而是按碼陣的對(duì)角線次序。對(duì)角線方向固定地由左上到右下，凡超出下沿后即上跳到第一行，超出右沿后即回退到第一列。乘積碼通常用于受突發(fā)噪聲干擾的信道的糾錯(cuò)編碼。 C00 C01 C02 C03 C04 C10 C11 C12 C13 C14 C20 C21 C22 C23 C24 C30 C31

12、C32 C33 C34 圖7-6 循環(huán)乘積碼的傳送次序15例6-2 IEEE 局域和城域網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)802.16 協(xié)議（固定寬帶無(wú)線接入系統(tǒng)的空中接口）定義了四種編碼方式，其中第四種是分組Turbo碼，采用的正是用Turbo方式譯碼的乘積碼。該乘積碼的行、列碼可以采用由(31,26)漢明碼得出的(32,26)擴(kuò)展?jié)h明碼，生成多項(xiàng)式為x5+ x2+1；也可以采用由(63,57)漢明碼得出的(64,57)擴(kuò)展?jié)h明碼，生成多項(xiàng)式是x6+ x+1。 16(32,26)擴(kuò)展?jié)h明碼的編碼器原理圖階段A (26bit)：直接輸出(系統(tǒng)碼)，計(jì)算余式。階段B (5bit)：數(shù)據(jù)停止輸入，5比特校驗(yàn)位依次輸出。階段C

13、 (1bit)：累加器輸出擴(kuò)展的奇偶校驗(yàn)位。 圖7-7 循環(huán)乘積碼的傳送次序DDDDDDA,BB,C B,CA,B數(shù)據(jù)入編碼出CACA17乘積碼可以看成是一個(gè)中間插入了行列交織器的級(jí)聯(lián)碼，是級(jí)聯(lián)碼的子類。作為例子，與圖7-5 乘積碼碼陣圖等效的級(jí)聯(lián)碼如圖7-8所示。 ky個(gè) ky個(gè) nx個(gè) nx個(gè)kx比特組 nx比特組 ky比特組 ny比特碼字 圖7-8 與乘積碼等效的級(jí)聯(lián)碼 行輸入列輸出kynx交織器 (nx ,kx) 行編碼器(ny, ky)列編碼器18 (a)同一行有兩個(gè)差錯(cuò) (b)同一列有兩個(gè)差錯(cuò)當(dāng)接收碼出現(xiàn)差錯(cuò)時(shí)，行編碼與列編碼對(duì)差錯(cuò)的反應(yīng)是不同的。設(shè)行、列分組碼的糾錯(cuò)能力t=1，則

14、當(dāng)接收碼塊中出現(xiàn)了如圖7-9(a)和7-9 (b)這樣兩種差錯(cuò)圖案時(shí)，不同的行、列譯碼順序?qū)?dǎo)致不同的譯碼結(jié)果。圖7-9(a)如先作列譯碼再作行譯碼，則4個(gè)差錯(cuò)可糾；如先作行譯碼再作列譯碼，則有兩個(gè)差錯(cuò)無(wú)法糾正。19既然行、列譯碼有不同的信息內(nèi)涵，那么能否將行譯碼信息提供給列譯碼作參考呢？圖7-10是在這樣思路下針對(duì)圖7-8編碼器的一種新的譯碼構(gòu)想。圖中，列譯碼的結(jié)果經(jīng)去交織還原成行信息后送入行譯碼器作行譯碼的參考，稱作軟信息。 接收信號(hào) 軟信息 圖7-10 利用參考信息的行譯碼列譯碼去交織去交織行譯碼20列譯碼結(jié)果送到行譯碼，然而行譯碼結(jié)果并未送到列譯碼器作參考。設(shè)想迭代譯碼方案如圖7-11

15、。行、列譯碼器的輸出可以反復(fù)被對(duì)方使用（典型為8次或8次以上），這就是迭代譯碼的構(gòu)想。 外信息 外信息 外信息接收 信號(hào)圖7-11 迭代譯碼方案列譯碼去交織去交織行譯碼列譯碼交織交織行譯碼去交織去交織21 迭代結(jié)構(gòu)中，來(lái)自上級(jí)譯碼器的信息是本級(jí)譯碼的“先驗(yàn)”信息，既包含承載信息的譯碼可信度，也包含冗余校驗(yàn)比特的譯碼可信度。由于行列編、譯碼時(shí)都使用了同樣的承載信息，需要作參考的僅是冗余校驗(yàn)信息。在總信息中減去關(guān)于承載信息可信度的信息，剩下的關(guān)于冗余校驗(yàn)的可信度信息稱為“外信息”。串行級(jí)聯(lián)碼有內(nèi)、外碼之分，內(nèi)碼一般是軟信號(hào)入、硬判決譯碼出，外碼則是硬判決入、硬判決出。22圖7-12是并行級(jí)聯(lián)分組碼

16、的基本結(jié)構(gòu)框圖。兩個(gè)系統(tǒng)線性二元(n1,k)、(n2,k)分組編碼器可以相同，也可以不同。偽隨機(jī)塊交織器的塊長(zhǎng)Nmk。編碼器的主要作用在于產(chǎn)生交織前后數(shù)據(jù)不同排列時(shí)的兩組不同校驗(yàn)比特，總的效果是將mk比特的數(shù)據(jù)塊編碼成m(n1+ n2- k)長(zhǎng)度的碼塊，碼率R=k/( n1+ n2- k)。這里，交織器非常重要，它不但導(dǎo)致碼長(zhǎng)變大，而且使碼字分布變得稀疏。 mk 信息比特m個(gè) (n1,k) m(n1-k)k比特組 編碼器 校驗(yàn)比特 Nmk (n2,k) m(n2-k) 交織器 編碼器 校驗(yàn)比特 圖7-12 并行級(jí)聯(lián)分組碼236.2 Turbo碼由于軟判決譯碼比硬判決譯碼有2dB增益，使用維特比

17、軟判決譯碼的卷積碼成為首選的內(nèi)碼。但是，通常的維特比譯碼只能提供硬判決輸出，導(dǎo)致級(jí)聯(lián)其后的外碼無(wú)法再采用軟判決譯碼，這必然造成信息損失。為了使外碼譯碼也能利用軟信息，要求內(nèi)碼譯碼具有軟輸入軟輸出性能（SISO）。人們提出了各種軟輸出算法，其中以MAP(maximum a posteriori) 算法和SOVA(soft output Viterbi Algorithms)算法最有代表性，應(yīng)用也最廣。軟輸出譯碼算法使得內(nèi)、外碼都可以采用軟判決譯碼，也使得采用譯碼簡(jiǎn)單的卷積碼作級(jí)聯(lián)碼外碼成為可能。24通過(guò)改變算法，內(nèi)外碼可以都是軟判決；然而，內(nèi)外碼能否相互提供“外信息”實(shí)現(xiàn)反饋？ 信號(hào)可以通過(guò)反饋

18、取得優(yōu)良性能，比如正反饋使弱信號(hào)加強(qiáng)，負(fù)反饋使幅度、相位、頻率或系統(tǒng)穩(wěn)定，那么信息是否能通過(guò)反饋而得到某種好處呢？ 對(duì)于級(jí)聯(lián)碼，既然SISO算法允許將內(nèi)碼的軟輸出提供給外碼作為軟判決輸入，那么外碼是否也能執(zhí)行軟輸出譯碼并將譯碼軟信息反饋到內(nèi)碼的輸入端而提高其性能呢？ 如果這個(gè)設(shè)想成立并能找到可行的實(shí)現(xiàn)方法，那么結(jié)果將是突破性的：內(nèi)、外碼將不再是孤立的、單純的迭加，而將成為一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，將會(huì)產(chǎn)生112的效果。 沿著這條思路的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)級(jí)聯(lián)碼結(jié)構(gòu)之所以難以實(shí)現(xiàn)信息反饋，主要障礙存在于兩個(gè)方面： 25(1). 級(jí)聯(lián)使內(nèi)碼輸入與外碼輸出呈隱函數(shù)關(guān)系，外碼反饋的軟信息不能被內(nèi)碼直接使用。用

19、函數(shù)關(guān)系來(lái)描述級(jí)聯(lián)碼的編譯碼關(guān)系(見(jiàn)圖7-13)外碼編碼C1 = f (x)，譯碼x = f -1(C1)， 內(nèi)碼編碼C2 = g(C1)，譯碼C1 = g-1 (C2)， 反饋到內(nèi)碼的軟信息可表示為x= f -1(g-1 (C2)各級(jí)編、譯碼器只知道本級(jí)的函數(shù)關(guān)系，即內(nèi)碼譯碼器只知g-1 ()而不知f -1()， 所以內(nèi)碼譯碼器無(wú)法識(shí)別和利用被f -1()包藏阻隔的g-1 (C2) 信息。解決辦法 ：內(nèi)、外兩層碼均采用系統(tǒng)碼。這樣信息位可直通穿越信道和各級(jí)編譯碼器而與編譯碼的函數(shù)關(guān)系無(wú)關(guān)，反饋信息x也可直接被利用。 x C1 C2 C2 C1 x f() g() g-1() f-1 () 外

20、碼 內(nèi)碼 信道 內(nèi)碼 外碼26(2). 反饋既可能是有用信息的反饋（良性），也可能是無(wú)用甚至差錯(cuò)信息的反饋（惡性），作為一種穩(wěn)定的譯碼算法，如何才能保證信息反饋是良性的？另外，反饋必然導(dǎo)致循環(huán)迭代，在算法設(shè)計(jì)上如何保證能收斂到正確的位置，以及如何來(lái)判斷迭代是否已經(jīng)收斂？ 解決辦法：反饋信息不相同。避免同一信息的反復(fù)，力求反饋那些未被利用或利用得不充分的信息。因?yàn)椴皇峭恍畔⒌难h(huán)，也就不存在正反饋還是負(fù)反饋問(wèn)題。為此，要求本次循環(huán)的反饋軟信息中不包含上次循環(huán)用過(guò)的信息。這種要求從嚴(yán)格意義上是不可能的，但當(dāng)反饋信息在兩次譯碼間經(jīng)交織器的隨機(jī)化處理后就會(huì)變得不同。交織長(zhǎng)度越長(zhǎng)，隨機(jī)化越好，相鄰兩次

21、反饋信息間的相關(guān)性就越低。此時(shí)只要從反饋符號(hào)似然信息中去除已用過(guò)的關(guān)于該符號(hào)本身的部分，就可以基本清除正反饋，實(shí)現(xiàn)迭代譯碼。 27Berrou等在ICC93會(huì)議上提出了并行級(jí)聯(lián)卷積碼（PCCC）即Turbo碼，并公布了模擬結(jié)果：當(dāng)Eb /N0 0.7dB時(shí)，碼率1/2的Turbo碼（迭代次數(shù)18次，交織器大小為25625665536）在AWGN信道上的誤比特率BER 10-5，這個(gè)結(jié)果與1/2碼率的Shannon限（Eb /N0 = 0dB）僅差0.7dB。這一優(yōu)異性能立即在編碼界引起轟動(dòng)，掀起了研究Turbo碼的熱潮。對(duì)傳統(tǒng)級(jí)聯(lián)碼做了上述結(jié)構(gòu)和算法上的修正后，性能優(yōu)異的Turbo碼就誕生了。

22、286.2.1 Turbo碼編碼器信息m= dk xk 復(fù) y1k 刪余 y1k 至信道 矩陣 合 (xk, y1k, y2k) P y2k y2km= dn器 圖7-14 并行級(jí)聯(lián)Turbo碼編碼器編碼器1編碼器2交織器時(shí)延時(shí)延29Turbo碼的兩編碼器必須是系統(tǒng)碼。Forney等已證明，對(duì)于經(jīng)典前饋型的卷積碼而言，在同樣記憶長(zhǎng)度和較大信噪比SNR條件下，非系統(tǒng)卷積碼（NSC）比系統(tǒng)碼有更大的自由距離和更低的誤比特率BER，這個(gè)結(jié)論導(dǎo)致目前實(shí)用的前饋型卷積碼絕大多數(shù)是非系統(tǒng)卷積碼。C.Berrou等在1993年提出Turbo碼同時(shí)提出了一類新的遞歸型系統(tǒng)卷積碼（RSC），該碼在高碼率時(shí)比最好

23、的NSC還要好。一些文獻(xiàn)證明，在刪余碼形式下，遞歸型系統(tǒng)卷積碼RSC比非遞歸的NSC具有更好的重量譜分布和更佳的誤碼率特性，并且在碼率越高、信噪比越低時(shí)其優(yōu)勢(shì)越明顯。 30RSC碼可以由NSC碼得到：將NSC碼生成函數(shù)矩陣的各項(xiàng)都除以首項(xiàng)而使之歸一，其余項(xiàng)則成了分式，其分母體現(xiàn)了遞歸。31例：(17,15) 系統(tǒng)遞歸卷積碼下面介紹用多項(xiàng)式表示遞歸卷積碼。在l時(shí)刻，輸入信息碼元為xl，對(duì)A點(diǎn)第一路輸出：32所以，第一路輸出的沖激響應(yīng)為：對(duì)B點(diǎn)的第二路輸出為：所以：由于，于是有：因此，33第二路輸出的沖激響應(yīng)為：卷積碼的生成多項(xiàng)式矩陣為：由于第二路輸入、輸出間有反饋，因而相當(dāng)于一個(gè)無(wú)限沖激響應(yīng)濾波

24、器，其傳輸函數(shù)是分式。而非遞歸卷積碼的輸入輸出間相當(dāng)于有限沖激響應(yīng)濾波器，其傳輸函數(shù)是整式。為了方便，常用沖激響應(yīng)的分子、分母系數(shù)的八進(jìn)制數(shù)來(lái)描述遞歸卷積碼， 的分子、分母系數(shù)的八進(jìn)制數(shù)分別為15(1101)和17(1111)，所以這個(gè)遞歸卷積碼也稱為（17,15）系統(tǒng)遞歸卷積碼。34例7.3查表得某(2,1,4) NSC碼的生成函數(shù)矩陣是(37,21) ，試找出相應(yīng)的RSC碼。解：將8進(jìn)制表示的生成函數(shù)矩陣系數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制系數(shù)，(37)oct=(011,111)bin1+D+D2+D3+D4,(21)oct=(010,001) )bin1+ D4因此，生成函數(shù)矩陣為：G(D) = 1+D+D

25、2+D3+D4, 1+D4 。對(duì)矩陣實(shí)施行運(yùn)算以構(gòu)造一個(gè)單位陣。G(D)第一行各項(xiàng)乘以1/(1+D+D2+D3+D4)，得：G(D)=35NSC碼和RSC碼各自的電路圖如圖7-15所示。我們看到，RSC編碼器以乘除法電路代替了NSC編碼器中的乘法電路。 NSC dk (b) NSC編碼器 電路圖 RSC dk xk dk xk yk (c) RSC編碼器 電路圖 (a) NSC、RSC編碼框圖 yk 圖7-15 遞歸型系統(tǒng)卷積碼RSC的構(gòu)成 g1(D)=1+D+D2+D3+D4C2:g2(D)=1+D4 1+ D41+D+D2+D3+D4DDDDDDDD36例：碼率1/2的Turbo碼RSC1

26、和RSC2的生成多項(xiàng)式 ：刪余矩陣： 3738求輸入X=（）為時(shí)，Turbo碼輸出碼字。 39406.2.2 Turbo碼譯碼器Turbo碼譯碼器采用反饋結(jié)構(gòu)，以迭代方式譯碼。與Turbo編碼器的兩個(gè)分量碼相對(duì)應(yīng)，譯碼端應(yīng)該有兩個(gè)分量譯碼器，兩者的連接方式可以是并行級(jí)聯(lián)，也可以是串行級(jí)聯(lián)，它們的結(jié)構(gòu)分別見(jiàn)圖7-16和圖7-17。Turbo譯碼器，無(wú)論采用并行級(jí)聯(lián)譯碼還是串行級(jí)聯(lián)譯碼，在譯碼前都首先要進(jìn)行數(shù)據(jù)的分離與發(fā)端復(fù)合器逆向功能的分接處理，將數(shù)據(jù)流還原成xk、y 1k和y 2k三路信息。發(fā)端子編碼器1、2的校驗(yàn)碼由于刪余并未全部傳送過(guò)來(lái), y1k、y2k只是y1k、y2k的部分信息，分接后

27、的校驗(yàn)序列的部分比特位將沒(méi)有數(shù)據(jù)，這樣就必須根據(jù)刪余的規(guī)律對(duì)接收的校驗(yàn)序列進(jìn)行內(nèi)插，在被刪除的數(shù)據(jù)位上補(bǔ)以中間量（如0），以保證序列的完整性。 41圖7-16 Turbo碼并行級(jí)聯(lián)譯碼器譯碼出y1kL1(dn)L2(dk)分 接 / 內(nèi) 插DEC1DEC2交織解交織判決解交織Rkxky2k交織L1(dk)L2(dn)42圖7-17 Turbo碼串行級(jí)聯(lián)譯碼器 DEC1(MAP)分 接 內(nèi) 插交織解交織DEC2(MAP)判決解交織xky1ky2kL1(dk)L1(dn)L2(dn)zk=L2(dk)Rk譯碼出43可以用設(shè)備復(fù)雜度來(lái)?yè)Q取時(shí)間，不要讓一對(duì)譯碼器迭代比如10次來(lái)譯同一組碼，而讓10對(duì)譯

28、碼器每對(duì)一次來(lái)譯一組碼，這就是流水型Turbo譯碼器的基本思路。流水型Turbo譯碼器由若干完全相同的軟輸入軟輸出基本單元構(gòu)成，每一節(jié)的結(jié)構(gòu)完全相同，如圖7-18所示。 圖7-18 流水型Turbo譯碼器模塊1模塊2模塊pxky1ky2kzk(0)延時(shí)DEC1DEC2交織交織解交織解交織判決模塊izk(2)zk(1)zk(i-1)zk(i)zk(p-1)446.2.3 Turbo譯碼算法Turbo碼要求有一種軟輸入軟輸出的譯碼算法。軟輸出譯碼器的輸出不僅應(yīng)包含硬判決值，而且要包括作出這種判斷的可信程度。必須首先找到一種軟輸出的表示方法，其中最常用的是對(duì)數(shù)表示法。若接收碼字為r，定義對(duì)數(shù)似然比為

29、：(7-3)式中P(dk=1/r)、P(dk=0/r)分別代表收碼r時(shí)，發(fā)碼dk1和dk0的條件概率。45當(dāng)信道不存在噪聲時(shí)，若r=1,則P(dk=1/r)=1而P(dk=0/r)=0，有L(dk/r)= 若r=0,則P(dk=1/r)=0而P(dk=0/r)=1，有L(dk/r)= -當(dāng)信道存在很大噪聲時(shí)，若r =0.5則P(dk=1/r)P(dk=0/r)，有L(dk/r)= 0可見(jiàn)，L(dk/r) 的正負(fù)符號(hào)代表硬判決值 (7-4)而L(dk /r) 的絕對(duì)值代表硬判決的可信度。絕對(duì)值越大，表明判決的結(jié)果越可信。用對(duì)數(shù)似然比L(dk/r)替代硬判決值作為譯碼輸出就是軟輸出。其符號(hào)是判決信

30、息，絕對(duì)值作為一種額外的參考信息，叫外信息。 46譯碼算法應(yīng)考慮到下面三方面問(wèn)題，1. 外信息的引入。2. 如何在迭代譯碼中充分利用各類信息，防止簡(jiǎn)單正反饋的形成，確保算法收斂。3.充分利用碼元間的相關(guān)信息。Turbo碼多采用RSC碼，碼元間相關(guān)性信息量豐富。常見(jiàn)的軟輸入軟輸出算法有：1MAP算法2SOVA算法（軟輸出維特比譯碼） （具體算法略）476.2.4 Turbo碼交織器 交織算法對(duì)Turbo碼性能的影響至關(guān)重要。與針對(duì)信道的交織不同，Turbo碼的交織是為了防止信息不良反饋，或者換一種角度，是為了讓輕碼交織后成為重碼（“譜窄化”），讓不可糾差錯(cuò)模式變?yōu)榭杉m模式。 交織分塊交織和卷積交

31、織兩種，Turbo碼一般采用塊交織。塊交織器由r行c列的塊存儲(chǔ)器組成，順序入、重新排列(permutation)出；或相反，亂序入、順序出。 用數(shù)學(xué)方式表示，相當(dāng)于矩陣元素位置的變換：設(shè)按原來(lái)順序在矩陣中的位置是(i,j), 交織后變?yōu)?x,y)，兩者有映射關(guān)系(x,y)f(i,j)，這里i、x是映射前后的行坐標(biāo)， j、y是映射前后的列坐標(biāo)。塊交織器的類型取決于交織算法，目前常用的有：481行列交織器 信息比特逐行寫入，逐列讀出。 行列交織器的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單。 缺點(diǎn)是其自身的周期特征使之對(duì)周期性差錯(cuò)的抗御能力低，最壞情況下甚至反而使性能下降。另外，行列交織對(duì)于大量存在的矩形對(duì)失去交織作用，使性能下

32、降。圖7-23是矩形對(duì)的一個(gè)示例，假設(shè)一個(gè)低重量碼僅在圖中有“”的位置是“1”而其余位置均為0，那么交織前后行、列碼的重量分布不變，即交織沒(méi)有起作用。 圖7-23 行列交織的矩形對(duì)492非均勻交織器 按一定規(guī)律（一般結(jié)合模運(yùn)算或固定映射）實(shí)現(xiàn)元素位置的變換。典型的例子是Berrou提出的對(duì)角線交織器。 設(shè)交織塊是MM正方塊，其中M是2的冪，M=2m(m2)。交織規(guī)律為x = (M/2+1) (i+ j) mod M ， = (i+ j) mod 8y = P( j+1) - 1 mod M式中P是選取一組質(zhì)數(shù)的固定映射，具有偽隨機(jī)性，比如按下列規(guī)則映射： 表7-1 P映射表實(shí)例01234567

33、P173719294123137503隨機(jī)交織器 設(shè)交織塊的長(zhǎng)度是N，隨機(jī)交織器是將輸入的序列按1/N!的概率映射為1/N!種可能的輸出序列的組合（包括與輸入序列相同的那種順序）。 理論上講，隨機(jī)交織器除了統(tǒng)計(jì)意義上的規(guī)律外沒(méi)有具體的映射規(guī)律，它使序列徹底隨機(jī)化，因此是最好的交織方法。但是如果真的實(shí)施隨機(jī)交織，勢(shì)必要將每次交織的每個(gè)位置信息通過(guò)信道傳給對(duì)方，否則就無(wú)法解交織，為此傳送的信息量或許比用戶信息本身還多。因此可行的方法是采用偽隨機(jī)交織，只要少數(shù)幾個(gè)參數(shù)就可以確定一個(gè)偽隨機(jī)序列，只要將這幾個(gè)參數(shù)傳過(guò)去就可知交織器地址表。514比特翻轉(zhuǎn)交織器 比特翻轉(zhuǎn)交織器要求交織塊長(zhǎng)度為2的冪次2m，或2的冪次的整數(shù)倍n2m。其交織規(guī)律是讓行（或/和列）滿足比特翻轉(zhuǎn)關(guān)系。 若某元素行或列的坐標(biāo)是 (b0 b1 b2bn-1 bn)， 則比特翻轉(zhuǎn)后坐標(biāo)變?yōu)?(bn bn