高中數(shù)學排列組合問題的類型及解答策略學法指導

1、高中數(shù)學排列組合問題的種類及解答策略排列組合問題，聯(lián)系實質(zhì)，生動風趣，但題型多樣，思路靈巧，不易掌握。實踐證明，備考有效的方法是題型與解法歸類，鑒識模式，嫻熟運用。本文介紹十二類典型排列組合問題的解答策略，供參照。一、相鄰問題捆綁法例16名同學排成一排，其中甲、乙兩人必定排在一同的不一樣樣排法有（）種A.720B.360C.240D.120解：因甲、乙兩人要排在一同，故將甲、乙兩人捆在一同視作一人，與其余四人進行5252全排列有A5種排法；甲、乙兩人之間有A2種排法。由分步計數(shù)原理可知，共有A5A2=240種不一樣樣排法，選C。評注：從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在解決關(guān)于某幾個元素

2、相鄰的問題時，可整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。二、相離問題插空法例2要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，有多少不一樣樣的排法？（只需求寫出式子，不用計算）解：先將6個歌唱節(jié)目排好，其不一樣樣的排法為A66種；這6個歌唱節(jié)目的空隙及兩頭共7個地點中再排4個舞蹈節(jié)目，有A74種排法。由分步計數(shù)原理可知，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為A74A66種。評注：從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元素不可以相鄰，由其余元素將它們分開。此類問題可以先將其余元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的空隙及兩頭地點，故稱插空法。三、定序問題縮倍法例3信號

3、兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號。現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不一樣樣信號的種數(shù)是_（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有A55種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能算作一A55次的掛法，故共有不一樣樣的信號種數(shù)是=10（種）。A33A22評法：在排列問題中限制某幾個元素必定保持必定次序稱為定序問題。這類問題用減小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷。四、標號排位問題分步法例4同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，此后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分派方式有（）A.6種B.9種C.11種D.23種解：本題可以看作是將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3

4、，4填一個數(shù)，且每個方格的標號與所填數(shù)不一樣樣的填法問題。所以先將1的四個方格里，每格填入2至4號的3個方格里有C13種填法；第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字，填入其余3個方格，又有C13種填法；第三步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中，只有1種填法。故共有331=9種填法，而選B。評注：把元素排在指定號碼的地點上稱為標號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排放，第二步再排另一個元素，這樣連續(xù)下去，依次即可達成。五、有序分派問題逐分法選派例5有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需由4人肩負這三項任務(wù)，不一樣樣的選法共有（2人肩負，乙、丙各需由）種1人肩負，從10人中A.1260B.2025C.2520D.

5、5040解：先從10人中選出2人肩負甲項任務(wù)，再從剩下8人中選1人肩負乙項任務(wù)，最后從剩下7人中選1人肩負丙項任務(wù)。依照分步計數(shù)原理可知，不一樣樣的選法共有C102C18C17=2520種，應(yīng)選C。評注：有序分派問題是指把元素按要求分紅若干組，常采用逐漸下量分組法求解。六、多元問題分類法例6由數(shù)字0，1，2，3，4，5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A.210個B.300個C.464個D.600個解：按題意個位數(shù)只可能是0，共5種情況，符合題意的分別有A5，A1A1A2，12345433A1A1A3，A1A1A3，A1A3個。歸并總計，共有A5A1A1A3A1A1A

6、3A1A1A3333233335433333233A13A33=300（個），應(yīng)選B。評注：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求，分紅互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。另解：先排首位，不用0，有A51種方法；再同時排個位和十位，由于個位數(shù)字小于十位數(shù)字，即次序固定，故有C52種方法；最后排節(jié)余三個地點，有A33種排法。故共有符合要求的六位數(shù)A15C52A33=300（個）。七、交織問題會合法例7從6名運動員中選出4名參加4100米接力賽，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不一樣樣的參賽方法？解：設(shè)全集U=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，依照求

7、會合元素個數(shù)的公式可得參賽方法共有card(U)card(A)card(B)card(AB)A46A35A35A24=252（種）。評注：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用會合中求元素個數(shù)的公式：card(AB)card(A)card(B)card(AB)來求解。八、定位問題優(yōu)限法例8計劃展出10幅不一樣樣的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳設(shè)，要求同一品種的畫必定連在一同，并且水彩畫不放在兩頭，那么不一樣樣的陳設(shè)方式有（）A.A44A55B.A33A44A55C.C13A44A55D.A22A44A55解：先把3種品種的畫看作整體，而水彩畫不可以放在頭尾，故只能放在中間，

8、則油畫與國畫有A22種放法。再考慮油畫之間與國畫之間又可以各自全排列。故總的排列的方法為A22A44A55種，應(yīng)選D。評注：所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素（或地點）在解題時優(yōu)先考慮。九、多排問題單排法例9兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座（每人一座位），則不一樣樣的坐法種數(shù)為（）A.C85C83B.A12C85C83C.A85A83D.A88解：本題分兩排坐，實質(zhì)上就是8個人坐在8個座位上，故有A88種坐法，所以選D。評注：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮。十、最少問題間接法例10從4臺甲型和5臺乙型電視機中隨意取出3臺，其中最少要甲型與乙型電視機各一臺，則

9、不一樣樣的取法共有（）種A.140B.80C.70D.35分析：在被取出的3臺中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合題意，故符合題意的取法有C93C43C53=70種，選C。評注：含“至多”或“最少”的排列組合問題，平常用分類法。本題所用的解法是間接法，即除去法（整體去雜），合用于反面情況明確且易于計算的情況。十一、選排問題先取后排法例11四個不一樣樣的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有_種（用數(shù)字作答）。解：先從四個小球中取兩個放在一同，C42種不一樣樣的取法；再把取出的兩個小球與其余兩個小球看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有A34種不一樣樣的放法。依照分步計數(shù)原理，共有C42A34144種不一樣樣的方法。評注：這是一道排列組合的混淆應(yīng)用題目，這類問題的一般解法是先?。ńM合）后排（排列）。本題正確求解的要點是把四個小球中的兩個視為一個整體，假如考慮不周，就會出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的錯誤。十二、部分符合條件裁汰法例12周圍體的極點及各棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，不一樣樣的取法共有（）A.150種B.147種C.144種D.141種解：10個點中取4個點共有C104種取法，其中同一側(cè)面內(nèi)的6個點中任取4個點必共面，這樣的面共有4個；又同一條棱上的3個點與對棱的中點也四點共面，共有6個面；再各棱中點共6個點中，取四點共