大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫(附答案)

1、一選擇題（3 分 10）1.點M1 到點M 2 的距離 M1M 2 （ ）.A.3 B.4 C.5 D.62.向量a i 2j k,b 2i j ，則有（ ）.A. ab B.ab C.a,b D. 3a,b43.函數(shù)12 2y 2 x y 的定義域是（ ）.2 2x y 12 y 2 y2 2A. x,y 1 x 2 B. x,y1 x 22 y 2 y2 2C. x,y 1 x 2 D y 1 x 24.兩個向量 a與b 垂直的充要條件是（ ）.A. a b 0 B.a b 0 C.a b 0 D.a b 03 35.函數(shù) z x y 3xy的極小值是（ ）.A.2 B. 2 C.1 D.

2、 16.設(shè)z xsin y，則zy4（ ） .A.22B.22C. 2 D. 27.若 p級數(shù)n 11pn收斂，則（ ）.A. p 1 B. p 1 C. p 1 D. p 18.冪級數(shù)n 1nxn的收斂域為（ ）.A. B C. D. 9.冪級數(shù)nx0 2n在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（ ）.1 2 2 1A. B. C. D.1 x 2 x 1 x 2x10.微分方程 yln y 0的通解為（ ）.A.xy ce B.xy e C.xy cxe D.ycxe二填空題（4 分 5）1.一平面過點 A 且垂直于直線 AB B 2, _.2.函數(shù)z sin xy 的全微分是_.3 y2 xy3 xy3.

3、設(shè)z x 3 1，則2xzy_.1的麥克勞林級數(shù)是 _. 4.2 x5.微分方程 y 4y 4y 0的通解為 _.三計算題（5 分 6）z z u sin ，而u xy,v x y，求 , .1.設(shè)z e vx yz z2 y z2 x z22.已知隱函數(shù) z z x,y 由方程 x 2 4 2 5 0確定，求 , .x y2 23.計算 sin x y d ，其中D2 2 2 4 2D : x y .4.如圖，求兩個半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（ R為半徑） .5.求微分方程y2x3y e 在y 0條件下的特解 .x 0四應(yīng)用題（10 分 2）1.要用鐵板做一個體積為 23m 的有

4、蓋長方體水箱， 問長、寬、高各取怎樣的尺寸時， 才能使用料最??？2.曲線y f x 上任何一點的切線斜率等于自原點到該切點的連線斜率的 2 倍，且曲線過點1 ， 3求此曲線方程試卷 1 參考答案一選擇題 CBCAD ACCBD二填空題1.2x y 2z 6 0.2.cos xy ydx xdy .3.6x 9 1 .2y y 24.n 0n1n 12nx.5.y2xC C x e1 .2三計算題z xy z xy1. e ysin x y cos x y ， e xsin x y cos x y .x y2.zx2zx1,zy2zy1.3.202d sin d26 .4.1633R .5.y3

5、 .x e2xe四應(yīng)用題1.長、寬、高均為 m3 2 時，用料最省 .1 22. y x .3高數(shù)試卷 2（下）一選擇題（3 分 10）1.點M1 ，M2 2 的距離 M1M2 （ ） .A. 12 B. 13 C. 14 D. 152.設(shè)兩平面方程分別為 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，則兩平面的夾角為（ ）.A. B. C. D.6 4 3 23.函數(shù)2 2z arcsinx y 的定義域為（ ）.2 y 2 y2 2A. x,y 0 x 1 B. x, y 0 x 1C.2 y2x,y 0 x D.2x,y0 x2 y224.點P 到平面 x 2y 2z 5 0的距離為（ ）.

6、A.3 B.4 C.5 D.65.函數(shù)2 22z 2xy 3x y 的極大值為（ ）.A.0 B.1 C. 1 D.126.設(shè)z2 3xy y 2z x ，則 1,2x（ ） .A.6 B.7 C.8 D.97.若幾何級數(shù)nar 是收斂的，則（ ）.n 0A. r 1 B. r 1 C. r 1 D. r 18.冪級數(shù)nn 0n1x 的收斂域為（ ）.A. B. C. D. 9.級數(shù)sinna4n n1是（ ）.A.條件收斂 B.絕對收斂 C.發(fā)散 D.不能確定二填空題（4 分 5）x 3 t1.直線l過點 A 1 且與直線 y t 平行，則直線 l 的方程為 _.z 1 2t2.函數(shù)xyz

7、e 的全微分為 _.3.曲面2 42z 2x y 在點 4 處的切平面方程為 _. 14. 2 1 x的麥克勞林級數(shù)是 _.三計算題（5 分 6）1.設(shè)a i 2j k,b 2j 3k ，求a b.2.設(shè)z zz u ，而u xcosy,v xsin y，求 , .2v uv2x yz z3 xyz3.已知隱函數(shù) z z x,y 由x 3 2確定，求 , .x y4.如圖，求球面2 y2 z2 4a2 2 2x 與圓柱面 x y （a 0）所圍的幾何體的體積 .四應(yīng)用題（10 分 2）1.試用二重積分計算由 y x,y 2 x 和x 4所圍圖形的面積 .試卷 2 參考答案一選擇題 CBABA

8、CCDBA.二填空題1.x2 y 2 z1 1 21.xy2.e ydx xdy.3.8x 8y z 4.4.1n x .2nn 05.3y x .三計算題1.8i 3j 2k.z 2 z 3 3 3 32. 3x sinycosy cosy siny , 2x sin ycosy siny cosy x sin y cos y .x y3.zxxyyz2 ,zzyxyxz2z.4.32 3 2 a .3 2 3四應(yīng)用題1.163.高等數(shù)學(xué)試卷 3（下）一、選擇題（本題共 10小題，每題 3 分，共 30 分）1、二階行列式 2 -3 的值為（ ）4 5A、10 B、20 C、24 D、222

9、、設(shè)a=i+2j-k,b=2j+3k ，則a 與b 的向量積為（ ）A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、點P（-1、-2、）到平面 x+2y-2z-5=0 的距離為（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、函數(shù) z=xsiny 在點（1，）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)分別為（ ）4 2A、 , 222, 2B、 , 222C、2222D、2222,5、設(shè)x 2+y+z2=2Rx，則2+y+z2=2Rx，則zxz, 分別為（ ）yA、x R zy x, B、zzR y, C、zx R y, D、z zxzR,yz6、設(shè)圓心在原點，半徑為 R，面密度為2 y2x 的薄

10、板的質(zhì)量為（ A=2R ）1A、RA B、2RA C、3RA D、 R2 A2nx n( 7、級數(shù)的收斂半徑為（ ）n n 1A、2 B、12C、1 D、38、cosx 的麥克勞林級數(shù)為（ ）A、( n 0n(2nx2n)!B、( n 1n2nx(2n)!C、n0(n2nx(2n)!D、n0(n(2nx19、微分方程 (y)4+(y)5+y+2=0 的階數(shù)是（ ）A、一階 B、二階 C、三階 D、四階10、微分方程 y+3y+2y=0 的特征根為（ ）A、-2，-1 B、，1 C、-2，1 D、1，-2二、填空題（本題共 5 小題，每題 4分，共 20 分）x 1 y 31、直線 L1：x=y

11、=z 與直線 L： 的夾角為2 1_。x 1 y 2 z直線 L3： 與平面3 2 6 0之間的夾角為x y z2 1 2_。3、二重積分2 2d ,D: x y 1的值為_。Dn4、冪級數(shù) 的收斂半徑為n!x _，n 0nnx0 的收斂半徑為 _。三、計算題（本題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）1、用行列式解方程組 -3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲線 x=t,y=t2,z=t3在點（1，1，）處的切線及法平面方程 .3、計算xyd ，其中D由直線y 1,x 2及y x圍成.D4、問級數(shù)n 1( n ？ ， ？1sin 收斂嗎 若收斂 則是條件

12、收斂還是絕對 收斂n5、將函數(shù) f(x)=e3x展成麥克勞林級數(shù)6、用特征根法求 y+3y+2y=0 的一般解四、應(yīng)用題（本題共 2 小題，每題 10分，共 20 分）2而體積最大的長方體體積。 1、求表面積為 a2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道， 鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量 M k）已知 t=0 時，鈾的含量為 M，求在衰變過程中鈾含量 M（t）隨時間 t變化的規(guī)律。參考答案一、選擇題1、D 2、C 3、C 、A 、B 6、D 、C 、A 、B10,A二、填空題1、2 8ar cos ,arcsin

13、2、，0.1736521183、 4 、，+5、y2x 12ce ,cx 1 y三、計題1、 -3 2 -8解： = 2 -5 3 = （-3） -5 3 -2 2 3 + （-8）2 -5 =-1381 7 -5 7 -5 1 -517 2 -8x= 3 -5 3 =17 -5 3 -2 3 3 + （-8） 3 -5 =-1382 7 -5 7 -5 2 -5 2 7同理：-3 17 -8y= 2 3 3 =276 , z= 4141 2 -5x y z所以，方程組的解為 3x y z2、解：因為 x=t,y=t,z=t ,所以 xt=1,y t=2t,z t =3t2，所以 xt|t=1

14、 =1, y t| t=1 =2, z t| t=1=3故切線方程為：x1 y 1 z1 2 31法平面方程為： （x-1 ）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因為 D由直線 y=1,x=2,y=x 圍成，所以： 1 y 2y x 2故：Dxyd3y2 2 2 dy (2y )dy1 y 121814、解：這是交錯級數(shù)，因為Vn sin1n，所以，Vn 1且limsin1n，所以該級數(shù)為萊布尼茲型級數(shù)，故收斂。又n 1sin1n當(dāng) 趨于x時sinxx，所以limnsin11n，又級數(shù)n 11n發(fā)散，從而n 1sin1n發(fā)散。5n所以，原級數(shù)條件收斂 。、解：因為we

15、1 x1x213x1xnx ( , )用2x 代x，得：2ex1 (21(2x)21(2x)31(2x)n1 2x222x323xn2xnx ( , )6、解：特征方程為 r+4r+4=0r+2）=0-2x,y=xe-2x 得重根 r1=r=-2，其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)解為 y=e-2x所以，方程的一般解為 y=(c1+cx)e四、應(yīng)用題1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為 x，y，z2則（xy+yz+zx ）=a構(gòu)造輔助函數(shù)2（x,y,z）=xyz+ (2xy 2yz 2zx a )求其對 x,y,z 的偏導(dǎo)，并使之為 0，得：yz+2 (y+z)=0 xz+2 (x+z)=0 xy+2 (x+y)

16、=0與2(xy+yz+zx)-a2=0 聯(lián)立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得x=y=z=6a62所以，表面積為 a而體積最大的長方體的體積為V xyz36a362、解：據(jù)題意dMdtM其中 0為常數(shù)初始條件M Mt 0 0對于dMdtM式dMMdt兩端積分得 lnM t lnCt所以，M ce又因為M Mt 0 0所以，M C0所以，M Me0t由此可知，鈾的衰變規(guī)律為 ：鈾的含量隨時間的增加 而按指數(shù)規(guī)律衰減 。高數(shù)試卷 4（下）一選擇題： 3 10 30下列平面中過點（ ,1）的平面是 （） （） （） （）在空間直角坐標(biāo)系中，方程

17、x2 y2 2 表示 （）圓 （）圓域 （）球面 （）圓柱面二元函數(shù) z x)2 y)2 的駐點是 ） ） ） ）二重積分的積分區(qū)域 是1 x2 y2 4 ，則 dxdy D（） （） 4 （） 3 （）15交換積分次序后10dxx0f(x, y)dy （）1 10dy ( , )f x y dyx（）1dy010f(x,y)dx（）1dy0y0f(x,y)dx（）xdy010f(x,y)dx階行列式中所有元素都是，其值是 （） （） （）！ （）下列級數(shù)收斂的是 （）n(1)n1（）n 1n 1 nn3n12（）n1(nn1（）1n n1正項級數(shù)nu 和n1nv 滿足關(guān)系式 un n ，則

18、n1（）若u 收斂，則nv 收斂 （）若nv 收斂，則nu 收斂nn 1 n 1 n 1 n 1（）若v 發(fā)散，則nu 發(fā)散 （）若nu 收斂，則nv 發(fā)散nn 1 n 1 n 1 n 11已知： 1 x 21 x，則112x的冪級數(shù)展開式為 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （）1 x2 x4二填空題： 4 5 20 數(shù)z 2 y2 1 ln(2 x2 y2)的定義域為 y若 f (x,y) xy ，則 f ( x已知 (0,y0) 是f (x,y)的駐點，若 fxx(x0,y0) 3, fyy(0,y0) 12, fxy(x0,y0) a 則當(dāng) 時，(x0,

19、 y0)一定是極小點級數(shù)nu 收斂的必要條件是 n1三計算題 ( 一)：6 5 30 已知： z xy，求：zx，zy 計算二重積分 4 x d ，其中 D ( |0 y 4 x2,0 x 2Dnx求冪級數(shù) ( 的收斂區(qū)間n 1n n 1求 f (x) e x 的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間） 四計算題 (二)： 10 2 20求平面 和 的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程參考答案一；二 (x, y) |1 x2 y2 2 yx 6 a 6 lim un 0nz z四 1解： yxy 1 x ln yyx y2解： 4D2xd2dx004 x2 x322 24 x dy (4 x )dx 4x03201633

20、解：1 2 71 0 21 AB1B 0 1 2 , .2 4 150 0 1解： R 當(dāng)1 時，級數(shù)收斂，當(dāng) x=1 時，得n 1(nn1收斂，當(dāng)x 1時，得n 1(2 1n 1n nn 1發(fā)散，所以收斂區(qū)間為 ( 1 .解： 因為n n nx ( x) ( ex x ( , ) 所以 ne x x0 0 !n! nn n n 0 x ( , ) .i j k四解：求直線的方向向量 : i j ks 1 2 1 3 5 求點令 z=0,得 y=0,x=2,即交點為 (2,0.0),所2 1 1以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 :.x12 y z3 52解：A111111111111101111010111

21、1021 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 )(2 ) 1(1) 當(dāng) 2 時,r( 2,(A) 3,無解;(2) 當(dāng) 2 時, r( (A) 3,有唯一解: 1x y z ; 2(3) 當(dāng) 1時, r(A) (A) 1,有無窮多組解 :xy1c1c1c2(1,c2為任意常數(shù) )zc2高數(shù)試卷 （下）一、選擇題（ 3分/題）1、已知a i j ，b k，則 a b （ ）A 0 B i j C i j D i j2 y22、空間直角坐標(biāo)系中 x 1表示（ ）A 圓 B 圓面 C 圓柱面 D 球面3、二元函數(shù)sinxyz 在（，0）點處的極限是（ ）xA 1 B 0 C D 不存在114

22、、交換積分次序后 dx f( x,yx0=（ ）11A dy f(x,y0011B dy f( x,y0 x11C dy f ( x,yy01yD dy f( x,y005、二重積分的積分區(qū)域 D 是 x y 1，則 dxdy （ ）DA 2 B 1 C 0 D 46、n階行列式中所有元素都是 ，其值為（ ）A 0 B 1 C n D n!7、若有矩陣 3 2 ，B2 3 ，C3 3 ，下列可運算的式子是（ ）A AC B CB C ABC D AB AC9、在一秩為 r 的矩陣中，任 r 階子式（ ）A 必等于零 B 必不等于零C 可以等于零，也可以不等于零 D 不會都不等于零10、正項級數(shù)u 和nv 滿足關(guān)系式 un vn，則（ ）nn 1 n 1A 若u 收斂，則nv