線線角線面角二面角的一些題目

1、11線線角與線面角習(xí)題(A).6(B).乎(C).與36(D).=6B.平面a與直線a所成的角為土,則直線a與平面a內(nèi)所有直線所成的角的(A).6(B).乎(C).與36(D).=6B.平面a與直線a所成的角為土,則直線a與平面a內(nèi)所有直線所成的角的3取值范圍是D1BBiPC.如圖,ABCD是正方形,PD，平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成的角的度數(shù)為(A).30o(B).45o(C).60o(D).90o.有一個(gè)三角尺ABC,NA=30。，NC=90o,BC是貼于桌面上,當(dāng)三角尺與桌面成45。角時(shí),AB邊與桌面所成角的正弦值是A三、典型例題例1.（96全國）如圖,正方形ABCD所在平

2、面與正方形ABEF所在平面成60。角，求異面直線AD與BF所成角的余弦值.備課說明:1.求異面直線所成的角常作出所成角的平面圖形.作法有:平移法:在異面直線的一條上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線平行線或利用中位線.補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.2.解立幾計(jì)算題要先作出所求的角,并要有嚴(yán)格的推理論證過程,還要有合理的步驟.CDBE一、復(fù)習(xí)目標(biāo).理解異面直線所成角的概念,并掌握求異面直線所成角的常用方法.理解直線與平面所成角的概念，并掌握求線面角常用方法.掌握求角的計(jì)算題步驟是“一作、二證、三計(jì)算”,思想方法是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形即“降維”的思想方法.

3、二、課前預(yù)習(xí).在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)且EF=、：3,AD、BC所成的角為.如圖，在長方體ABCD-AR1c1D1中,B1c和C1D與底面所成的角分別為60o和45o,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為（）例2.如圖在正方體AC1中例2.如圖在正方體AC1中，（1）求BC1與平面ACC1Al所成的角；求A1B1與平面EACDA1clB所成的角.備課說明:求直線與平面所成角的關(guān)鍵是找直線在此平面上的射影,為此必須在這條直線上找一點(diǎn)作平面的垂線.作垂線的方法常采用:利用平面垂直的性質(zhì)找平面的垂線點(diǎn)的射影在面內(nèi)的特殊位置.例3.已知直三棱住ABC-A

4、1B1c1,AB=AC,F為棱BB1上一點(diǎn),BF:FB1=2：1,BF=BC=2a.若D為BC的中點(diǎn),E為線段AD上不同于A、D的任意一點(diǎn),證明：EFFC1;試問:若AB=2a,線段AD上的E點(diǎn)能否使EF與平面BB1C1C成60。角，為什么?證明你的結(jié)論.備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點(diǎn)問題,解A1決這類問題,常假設(shè)命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、反饋練習(xí)1設(shè)集合A、B、C分別表示異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范圍,則(A)A=B=C(B)A=BuC(C)AuBuC(D)BuAuC.2兩條直線a,b與平面a所成的

5、角相等,則直線a,b的位置關(guān)系是網(wǎng)平行(B)相交(C)異面(D)以上均有可能.3設(shè)棱長為1的正方體ABCD-AR1c1D1中，M、N分別為AA1和BB1的中點(diǎn)，則直線CM和D1N所成角的正弦值為.4已知a、b是一對異面直線，且a、b成60。角，則在過空間任意點(diǎn)P的所有直線中，與a、b均成60o角的直線有條.5異面直線a、b互相垂直，c與a成30o角，則c與b所成角的范圍是.6NACB=90o在平面aft,PC與CA、CB所成的角NPCA=NPCB=60o，則PC與平面a所成的角為.7設(shè)線段AB=a,AB在平面a內(nèi),CA,a,BD與a成30。角乃口，八8、D在a同側(cè),CA=BD=b.求:(1)C

6、D的長;(2)CD與平面a所成角正弦值.課前預(yù)習(xí)1.60o2.A3.13-,14.C5.毛典型例題例1B：vcb#adNCBF為異面直線AD與BF所成的角.連接CF、CE設(shè)正方形ABCD的邊長為a,貝UBF=v2aVCBAB,EBABAZCEB為平面ABCD與平面ABEF所成的角.NCBE=N60oCE=aFC=A2aAcosZCBF=54例2解：設(shè)所求的角為a，先證BD,平面ACC1A1,則sina=sinZOC1B=OB=1.故a=30o.(2)A1BC1是正三角形，且A1B1=B1c1=B耳.，棱錐BC12B1-A1BC1是正三棱錐.過B1作8小，平面A1BC1,連A1H,ZB1A1H是

7、直線A1B1與平面A1C1B所成的角.設(shè)A1B1=a則A1B=22a得A1H=6a.故cosZBAH=4H=.所求角為arccos1AB3311例3解：連接OF,容易證明AD上面BB1C1C,DF是EF在面B1c1cB的射影,且DF,FC1,.FC1EF.(2)VADWBB1C1C,ZEFD是EF與平面BB1C1C所成的角.在EDF中，若ZEFD=60。，則ED=DFtan60o=；3工5=15a,VAB=BC=AC=2a,.AD=.v3a.E在DA的延長線上，而不在線段AD上;故線段AD上的E點(diǎn)不可能使EF與平面BB1C1C成60。角.反饋練習(xí)4,：5一r一1.D2.D3.-4.35.60o

8、,90o6.45o97.解：(1)作DD，a于D連接ADZ,BDZ.CAa,，CADD，.四邊形CAD，D是直角梯形，NCAD=NDDA=90o,ABua,ABDDZ.又ABBD,，八8，平面BDDBD，u平面BDD，.AABBDZ.VZDBD，是BD與a所成的角，/口8口，=30o,BD=b,DD=-,BD=.在ABD中,AB=a,BD=,NABD=90。,222.13b2，AD=aBB2+BD2=a2+一.在CADD中，4CD=、AD2+(AC-DD)2:2+-2.作D，CDC交CA于C,NCDA是CD與a所成的角，$也/0DA=線面角與面面角練習(xí)一、知識(shí)與方法要點(diǎn):.斜線與平面所成的角就

9、是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角。求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離。.二面角的大小用它的平面角來度量，求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線定理，關(guān)鍵是過二面角的一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一個(gè)面作垂線，并確定垂足的位置。若二面角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求二面角的大小。.判定兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到一條垂直于另一個(gè)平面的直線。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)

10、平面內(nèi)垂直于圖1-52Cic它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.圖1-52Cic二、例題例1.正方體ABCD-ARCD中，M為CR中點(diǎn).求證：ACl+WyABD.11(2)求BM與平面A1BD成的角的正切值.解：連AC,Ccl平面ABCD,1ACCXBD.TOC o 1-5 h z1一又AClBD,AC1BD.同理AClABVABABD=B.,AC11平面人8口.11MEAC1,(2)設(shè)正方體的棱長為a；連AD1,AD1交A1D于E,連結(jié)ME,在DMEAC1,平面人8口.言1平面1人8口.111連結(jié)1BE,則Z1MBE為BM與平面ABD成的角.在RtAMEB中，_1 HYPERLINK l boo

11、kmark16 ME二AC1二亙a,22BE=J?a+a2=qa，tan/mbe=ME鼻.例2.如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)移動(dòng)的距離等于AC時(shí)停止，并記為點(diǎn)P.(1)求證：面ABP，面ABC；(2)求二面角C-BP-A的余弦值.證明(1)?由題設(shè)知AP=CP=BP.,點(diǎn)P在面ABC的射影D應(yīng)是AABC的外心,即DAB.VPDXAB,PDu面ABP,由面面垂直的判定定理知，面ABPL面ABC.(2)解法1?取PB中點(diǎn)E,連結(jié)CE、DE、CD.丁4BCP為正三角形，ACEBD.ABOD為等腰直角三角形，DE，PB.ZCED為二面角C-BP-A的平面角.又由(1)知，面A

12、BPL面ABC,DCAB,人8=面ABPn面ABC,由面面垂直性質(zhì)定理，得DC,面ABP.DC，DE.因此4CDE為直角三角形.TOC o 1-5 h zL1_設(shè)BC=1,則。=走，DE,cos/CED=DE=2=蟲. HYPERLINK l bookmark20 CE33下例3.如圖所示，在正三棱柱ABC-ABC中，EgBB，截面AEC1側(cè)面AC.111111(1)求證：BE=EB；1(2)若AA=AB，求平面AEC與平面ABC1111111所成二面角(銳角)的度數(shù).證明：在截面A1EC內(nèi)，過E作EGAC,G是垂足，如圖，面AEC,面AC，.EG，側(cè)面Ac.取AC的中點(diǎn)F,分別連結(jié)BF和FC

13、,由AB=BC得BFXAC.面ABC，側(cè)面AC，-BF，側(cè)面AC,得BFEG.BF和EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC于FG.BE側(cè)面AC,BEFG,四邊形BEGF是A,BE=FG.BEAA，-FgAA,AACFGC.解：(2)分別延長CE和C1B1交于點(diǎn)D,連結(jié)AJ.NBAC=NBCA=60。，1NDAC=NDAB+NBAC=90,即DA，AC.CC，面ACB,由三垂線定理得DAA1c；所以NCA1c是所求二面鉗的平面角.且1A1C1C=90.1111CC=AA=AB=AC,.NCAC=45,即所求二面角為45.說明1如果改用面積射影定理，則還有另外的解法.已知平面?的一條斜線a與平面?成?角，直

14、線b?,且a,b異面，則a與b所成的角為(A)A.有最小值?，有最大值工B.無最小值，有最大值生。22C.有最小值?，無最大值D.有最小值?，有最大值?。.下列命題中正確的是(D)A.過平面外一點(diǎn)作該平面的垂面有且只有一個(gè)B.過直線外一點(diǎn)作該直線的平行平面有且只有一個(gè)C.過直線外一點(diǎn)作該直線的垂線有且只有一條D.過平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一個(gè).一條長為60的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間，它和這兩個(gè)平面所成的角分別為45和30。，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)向平面的交線引垂線，則垂足間的距離是(A)A.30B.20C.15D.12Sa設(shè)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為近，底面邊長為有，E是SA

15、的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角是(C)A.30B.45C.60D.90.正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為arctan2%/2，則它的側(cè)棱與底面所成的角為走.A是BCD所在平面夕卜的點(diǎn)，NBAC=NCAB=NDAB=60,AB=3,AC=AD=2.(I)求證：ABCD；(II)求AB與平面BCD所成角的余弦值.TOC o 1-5 h z.正四面體ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，求：CE與底面BCD所成角的正弦值.解?過A,E分別作AH,面BCD,EOL面BCD,H,O為垂足，/fAH2OE,AH,OE確定平面AHD,連結(jié)OC,/ENECO即為所求.AB=AC=AD,.HB=HC=HD/BC

16、D是正三角形，.H是4BCD的中心，T連結(jié)DH并延長交BC于F,F為BC的中點(diǎn)，DH=2DF=2義、3a=31a，在RtADH中，c_3323圖1一鉆.在四面體ABCD中，DAL面ABC,NABC=90,AECD,AFDB.求證：(1)EF，DC；(2)平面DBC，平面AEF.證明？如圖1-83.(1)AD,面ABC.ADLBC.又NABC=90.，BC，AB.BC，面DAB.DB是DC在面ABD內(nèi)的射影.AF，DB.AFCD(三垂線定理).AE，CD.CD，平面AEF.CD，EF.(2)VCDAE,CDLEF.CD，面AEF.TCD面BCD.面AEF，面BCD.(3)由EF，CD,AECD，

17、/AEF為二面角B-DC-A的平面又.AF，DB,AFCD,BDACD=D.胡，平面DBC,二面角題目：例1.如圖所示，已知PA面ABC,S=S,S=S，二面角PBCAAPBCAABC的平面角為0，求證：S-cos=SCCHBJ2.如圖，在空間四邊形ABCD中，ABCD是正三角形，AABD是等腰CCHBJ直角三角形，且/BAD=90,又二面角A-BD-C為直二面角，A求二面角A-CD-B的大小。例3.設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O,AC=BC=1,CD=v2，求（1）AC與平面BCD所成角的大??；（2）二面角A-BC-D的大?。唬?）異面直線AB和CD所成角的大小。例在正方體ABCD-A，BCD中，M為AA的中點(diǎn)，求截面DMB與底面ABCD所成較小的二面角的大小。選用：如圖，正方體的棱長為1，BCB0=0，求：（1）AO與AC所成角；八（2）AO與平面A