《線性代數(shù)》電子教程 第二講 行列式的計(jì)算

1、線 性 代 數(shù) 電子教案之二1主要內(nèi)容第二講 行列式的計(jì)算行列式的三類(lèi)基本運(yùn)算； 計(jì)算行列式的常用的基本方法；代數(shù)余子式的定義及其性質(zhì)；克萊默法則.基本要求了解代數(shù)余子式的定義及其性質(zhì)； 知道克萊默法則.會(huì)利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開(kāi)計(jì)算 簡(jiǎn)單的 階行列式；2復(fù)習(xí)階行列式的定義式行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零.性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ,等于用數(shù) 稱(chēng)此行列式.3性質(zhì)4 推論行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.行列式中某一行（列）的

2、所有元素的公因 子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)5若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù) 之和，則此行列式可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.4一、行列式的三類(lèi)基本運(yùn)算性質(zhì)2介紹了第一類(lèi)基本運(yùn)算:交換兩行（列）.交換第 行和第 行，記作 ；交換第 列和第 列，記作 .性質(zhì)3介紹了第二類(lèi)基本運(yùn)算：以數(shù) 乘行列式的某一行（列）.以數(shù) 乘行列式的第 行記作 ；以數(shù) 乘行列式的第 列，記作 性質(zhì)6介紹了第三類(lèi)基本運(yùn)算： 某一行（列）的 倍加到另一行（列）. 第 行的 倍加到 第 行，記作 第 列的 倍加到第 列，記作

3、.5這里的符號(hào)也可用(1)(2)(3)6說(shuō)明行列式的運(yùn)算除了這三類(lèi)之外，還有其他種類(lèi)，比如按照某一行（列）分拆.所用的記號(hào)僅僅是個(gè)符號(hào)，不能套用加法的 運(yùn)算律，和是不同的；同樣地，和也是不同的.3. 根據(jù)上述例（3）可以看出，運(yùn)用第三類(lèi)運(yùn)算 可將行列式化為上三角行列式. 事實(shí)上， 對(duì)任何 階行列式總能用第三類(lèi)運(yùn)算化為上三 角行列式（或下三角行列式）.有時(shí)為了計(jì)算簡(jiǎn) 單適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用第一類(lèi)和第二類(lèi)運(yùn)算.7二、行列式的計(jì)算(1) 1. 方法1 化為上三角行列式例1計(jì)算行列式 解8說(shuō)明先用了運(yùn)算 ，其目的是把 換成1， 為了計(jì)算方便.2. 第二步和第三步都是將兩次運(yùn)算的結(jié)果合在 一起寫(xiě)，這是一種省略寫(xiě)法

4、. 這兩次運(yùn)算都 是獨(dú)立的，它們的運(yùn)算順序可以顛倒.9例2計(jì)算行列式解析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是對(duì)角線上的元素相等，其他位置的元素也相等，這是一類(lèi)重要的行列式，在后面的學(xué)習(xí)中會(huì)多次遇到這類(lèi)行列式.方法2 提出公因子10例3計(jì)算行列式解析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是第一列 的系數(shù)相同，第二列 的系數(shù)相同， 的系數(shù)成等差數(shù)列，第三、四列類(lèi)似.11例3計(jì)算行列式解析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是第一列 的系數(shù)相同，第二列 的系數(shù)相同， 的系數(shù)成等差數(shù)列，第三、四列類(lèi)似.12例3計(jì)算行列式解析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是第一列 的系數(shù)相同，第二列 的系數(shù)相同， 的系數(shù)成等差數(shù)列，第三、四列類(lèi)似.方法3 加行加列法13說(shuō)明 在本例中

5、，第一步和第二步都采用了省略寫(xiě)法，但是各個(gè)運(yùn)算的次序不能顛倒，這是由于后一次運(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算結(jié)果上的緣故.14例4 計(jì)算行列式解析: 此行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線以下的元素,從上至下,指數(shù)依次增加.可以采用加行加列法.15例4 計(jì)算行列式解析: 此行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線以下的元素,從上至下,指數(shù)依次增加.可以采用加行加列法.16例4 計(jì)算行列式解析: 此行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線以下的元素,從上至下,指數(shù)依次增加.可以采用加行加列法.17例4 計(jì)算行列式解析: 此行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線以下的元素,從上至下,指數(shù)依次增加.可以采用加行加列法.18例5 設(shè)證明證 對(duì) 的前 行作運(yùn)算 ，總可以將紅線上

6、方的元素化為零，而 的后面的 行都沒(méi)有改變.19 對(duì) 的后 列作運(yùn)算 ，總可以將藍(lán)線上方的元素化為零，而 的前面的 列都沒(méi)有改變.因此20說(shuō)明 上述的證明過(guò)程雖有些抽象，但思路是簡(jiǎn)單的. 對(duì)于本例重要在于它的結(jié)果，以后常要用到此結(jié)果.在第二章中,用矩陣的語(yǔ)言來(lái)敘述，此結(jié)果是顯然它是 的推廣.21例6 計(jì)算 階行列式其中未寫(xiě)出的元素為 .解析：此行列式的特點(diǎn)是，只有主對(duì)角線上和副對(duì)角線上的元素不為零，其余元素都為零.而且不為零的元素很有規(guī)律，如果去掉第一行和最后一行，第一列和最后一列，剩下的元素構(gòu)成的行列式，在形式上是沒(méi)有變化的.2223根據(jù)例5的結(jié)果這是遞推公式方法4 遞推法24根據(jù)例5的結(jié)果

7、這是遞推公式方法4 遞推法25說(shuō)明 1.本例采用的方法是遞推法.遞推法是 階行列式計(jì)算中常用的、有效的方法. 應(yīng)用遞推法的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)歸納法，因此建立了遞推公式之后，如 ，必須驗(yàn)證歸納基礎(chǔ)，即初始條件下命題成立.例如當(dāng) 或時(shí) 命題成立. 2.上述交換行列式的行（列）的方法,在解題時(shí),經(jīng)常用到，它的特點(diǎn)是在把最后一行換到某一行的同時(shí)，其余各行之間原有的先后次序沒(méi)有改變（只是行的序號(hào)可能改變而已）.26例7 計(jì)算行列式解按第一列分拆方法5 分拆行列法27例7 計(jì)算行列式解按第一列分拆方法5 分拆行列法2829三、小結(jié)行列式的三類(lèi)基本運(yùn)算是行列式計(jì)算的基礎(chǔ)；行列式的計(jì)算方法有很多種，要著重掌握下 列五

8、種:化為上三角（下三角）行列式提出公因子法加行加列法遞推法分拆行列法30行列式按行（列）展開(kāi)法則 第六節(jié) 行列式按行（列）展開(kāi)1. 定理的引入 這表明三階行列式可以按第一行的元素寫(xiě)成3個(gè)行列式的和.類(lèi)似地，可以按照其他行（列）寫(xiě)成3個(gè)行列式的和.對(duì)于一般的行列式也有如此結(jié)果.為此,先介紹兩個(gè)概念.注：312. 余子式和代數(shù)余子式 在階行列式中，把元所在的第 行 和第 列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做 元 的余子式，記作；記叫做 元 的代數(shù)余子式.例如中 元 的余子式和代數(shù)余子式分別為定義32說(shuō)明(1)對(duì)于給定的 階行列式 ，元 的余子式 和代數(shù)余子式 僅與位置 有關(guān)，而與中第 行、第 列元素的

9、數(shù)值大小和正負(fù)無(wú)關(guān).(2)它們的聯(lián)系是 ，因而當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，二者相同；當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，二者相反.333. 展開(kāi)法則定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或例如34說(shuō)明 此定理叫做行列式按行（列)展開(kāi)法則，利用這個(gè)法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.按照第二行展開(kāi)再如證明354.行列式的計(jì)算（2）例8 計(jì)算行列式解36例9 證明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中記號(hào)“ ”表示全體同類(lèi)因子的乘積.說(shuō)明 范德蒙德行列式可以看作 個(gè)變?cè)?的函數(shù)，有三個(gè)特點(diǎn)： （1）從列的角度看，第 列元素從上到下依次為變?cè)?的零次冪、一次冪、 、 次冪，37（2）

10、從行的角度看，第 行的元素的指數(shù)相同， 元是變?cè)?的 次冪，（3）從結(jié)果看，它是關(guān)于這些變?cè)?次齊次函數(shù)；而且可分解為 個(gè)一次因式之積，而每個(gè)因子形如 ，其中 ，即足標(biāo)大的變?cè)c足標(biāo)小的變?cè)? 反過(guò)來(lái)， 個(gè)變?cè)g形如這樣的一次因子總計(jì)為 個(gè). 于是， 階范德蒙德行列式是所有可能的足標(biāo)大的變?cè)c足標(biāo)小的變?cè)钭鳛槠湟蜃拥?元函數(shù).除變?cè)拿Q(chēng)外，這樣的函數(shù)是唯一確定的. 38證用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)樗援?dāng) 時(shí)，結(jié)論成立. 現(xiàn)在假設(shè)結(jié)論對(duì)于 階范德蒙德行列式成立，要證結(jié)論對(duì) 階范德蒙德行列式也成立，為此，要將 降階，39證用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)樗援?dāng) 時(shí)，結(jié)論成立. 現(xiàn)在假設(shè)結(jié)論對(duì)于 階范德蒙德

11、行列式成立，要證結(jié)論對(duì) 階范德蒙德行列式也成立，為此，要將 降階，40證用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)樗援?dāng) 時(shí)，結(jié)論成立. 現(xiàn)在假設(shè)結(jié)論對(duì)于 階范德蒙德行列式成立，要證結(jié)論對(duì) 階范德蒙德行列式也成立，為此，要將 降階，采用了加行加列法41階范德蒙德行列式每列提出公因子42例10 利用范德蒙德行列式計(jì)算4階行列式 解435.代數(shù)余子式的性質(zhì)推論 行列式某一行（列）的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或證明 （1）綜合定理3及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：關(guān)于行關(guān)于列其中是一個(gè)比較常用的符號(hào).總結(jié)44（2）代數(shù)余子式的顯著特點(diǎn)是它與 的第 行、第 列元素本身的數(shù)值大小及正負(fù)無(wú)關(guān).

12、因此從映射角度看，與其說(shuō) 的 元 對(duì)應(yīng)著唯一的 ，倒不如說(shuō) 的 元所在的位置 對(duì)應(yīng)著唯一的 .因此，由得45（2）代數(shù)余子式的顯著特點(diǎn)是它與 的第 行、第 列元素本身的數(shù)值大小及正負(fù)無(wú)關(guān).因此從映射角度看，與其說(shuō) 的 元 對(duì)應(yīng)著唯一的 ，倒不如說(shuō) 的 元所在的位置 對(duì)應(yīng)著唯一的 .因此，由得46對(duì)于列也有類(lèi)似的結(jié)論,例11 設(shè) 的 元的余子式和代數(shù)余子式依次記作 和求 及47解48496.小結(jié)行列式按行（列）展開(kāi)，是將 階行列式將為 階行列式，在計(jì)算行列式時(shí)不僅有用，而 且在理論上也是很重要的.范德蒙德行列式是一個(gè)十分重要類(lèi)型的行列式.代數(shù)余子式（余子式）與元素的大小以及正負(fù) 無(wú)關(guān)，僅與元素的

13、位置有關(guān).50一、克萊默法則第七節(jié) 克萊默法則1. 法則的引入 如果三元線性方程組 的系數(shù)行列式則三元線性方程組的解為: 51 當(dāng)常數(shù)項(xiàng) 不全為零時(shí)，線性方程組 叫做非齊次線性方程組；當(dāng) 全為零時(shí)，線性方程組 叫做齊次線性方程組.即 一定是 的解，這個(gè)解叫做齊次線性方程組的零解，如果一組不全為零的 數(shù)是 的解，則叫做齊次方程組的非零解.52其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)的代替后得到的 階行列式，即如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零，即那么，線性方程組 有唯一解2. 克萊默法則53二、有關(guān)結(jié)論定理4 如果線性方程組(1)系數(shù)行列式 ，則 (1)一定有解，且解是唯一的.

14、這就是克萊默法則定理4 如果線性方程組(1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定理4的逆否定理對(duì)于齊次線性方程組，當(dāng)它有非零解時(shí)，它的解不唯一；當(dāng)它的解唯一時(shí)，它只有零解.因此定理5 如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組(2)沒(méi)有非零解（只有零解）.定理5 如果齊次線性方程組(2) 有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零.54例12 問(wèn) 取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解.解 析：題目要求討論齊次線性方程組有非零解的條件，這是一個(gè)方程個(gè)數(shù)和未知元數(shù)相等的齊次線性方程組，可以根據(jù)定理5 ，由它的系數(shù)行列式得到所求的條件.55因此由定理5 知，若所給齊次線性方程組有非零解，則

15、 ，所以不難驗(yàn)證當(dāng) 時(shí)，所給的齊次方程組的確有非零解56三、小結(jié)克萊默法則是用計(jì)算機(jī)計(jì)算線性方程組依據(jù)， 特別是求一組系數(shù)不變，常數(shù)項(xiàng)不同的線性方 程組的解.方程個(gè)數(shù)和未知元個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組 的系數(shù)行列式等于零，是齊次線性方程組有非 零解的必要條件，在后面的章節(jié)中，將證明這 個(gè)條件也是充分的.57第一章 總結(jié) 本章的重點(diǎn)是行列式的計(jì)算；行列式的性質(zhì)，其證明過(guò)程只需了解其思路；掌握行列式的三類(lèi)基本運(yùn)算；克萊默法則、齊次線性方程組有非零解的條件.代數(shù)余子式及其性質(zhì)； 階行列式的定義，只需了解其大概的意思；58行列式的等價(jià)定義59思考題：1.設(shè) 為3階行列式，用 分別表 示 的第1、2、3列，如果 ，則 行列式 .2.已知四階行列式 第1行的元素依次為 ， ， ， ，它們的余子式依次為 ，