解圓錐曲線離心率的求法大全

1、PAGE PAGE 8求解圓錐曲線離心率的方法離心率是圓錐曲線的一個重要性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面例析幾種常用求法。橢圓的離心率e（0，1），雙曲線的離心率e1，拋物線的離心率e=1一、直接求出a、c，求解e已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時，可利用率心率公式來解決。例. 已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 解：拋物線的準(zhǔn)線是，即雙曲線的右準(zhǔn)線，則，解得，故選D變式練習(xí)1：若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1(1，0)，F(xiàn)2(3，0)，則其離心率為( )A.eq f(3,4) B.eq f(2,3) C.eq f(1,2) D.eq f(1,4)

2、解：由F1、F2的坐標(biāo)知 2c=31，c=1，又橢圓過原點，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以離心率e=eq f(c,a)=eq f(1,2).故選C.變式練習(xí)：如果雙曲線的實半軸長為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為( )A. eq f(eq r(3),2) B. eq f(eq r(6),2) C. eq f(3,2) D2解析：由題設(shè)a=2，2c=6，則c=3，e=eq f(c,a)=eq f(3,2),因此選C變式練習(xí)： 點P（-3，1）在橢圓的左準(zhǔn)線上，過點P且方向為a=（2，-5）的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（）A. B. C. D. 解：由題

3、意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對稱關(guān)系）為，則解得則。故選A。二、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，溝通a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率e。例. 已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D. 解：如圖，設(shè)MF1的中點為P，則P的橫坐標(biāo)為。由焦半徑公式，即，得，解得，故選D。變式練習(xí)：設(shè)雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(0ab)的半焦距為c，直線L過(a,0)，(0,b)兩點.已知原點到直線的距離為eq

4、 f(eq r(3),4)c，則雙曲線的離心率為( )A.2 B.eq r(3) C.eq r(2) D.eq f(2eq r(3),3) 解：由已知，直線L的方程為bx+ay -ab=0.由點到直線的距離公式，得 eq f(ab,eq r(a2+b2)eq f(eq r(3),4)c，又c2=a2+b2, 4ab=eq r(3)c2,兩邊平方，得16a2(c2a2)=3c4.兩邊同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e24或e2eq f(4,3).又0a2，e24，e2.故選A.變式練習(xí)：雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)1MF2120，則雙曲線的離心率為

5、（ ） （A）eq r(3) （B）eq f(eq r(6),2) （C）eq f(eq r(6),3) （D）eq f(eq r(3),3)解：如圖所示，不妨設(shè)M(0，b)，F(xiàn)1(-c,0), F2(c,0),則|MF1|=|MF2|=eq r(c2+b2).又|F1F2|2c，在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2eq f(|MF1|2+|MF2|2|F1F2|2,2|MF1|MF2|),即eq f(c2+b2)+(c2+b2)4c2,2eq r(c2+b2)eq r(c2+b2)cos120eq f(1,2)，eq f(b2c2,b2c2)eq f(1,2)，b2c2a2，eq

6、 f(a2,2c2a2)eq f(1,2)，3a22c2，e2eq f(3,2)，eeq f(eq r(6),2).故選B.三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：如右圖所示，有四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解例4.設(shè)橢圓eq f(x2,a2)+eq f(y2,b2)1 (ab0)的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖1所示，AB是過F1且垂直于x軸的弦，ADl1于D，|AD|為F1到準(zhǔn)線l1的距離，根據(jù)

7、橢圓的第二定義，e=eq f(|AF1|,|AD|)=eq f(eq f(1,2)|AB|,|AD|)=eq f(1,2)， 即 e=eq f(1,2).故填eq f(1,2). 變式練習(xí)：五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍例5. 設(shè)，則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ）A. B. C. D. （）另：由x2coty2tan=1，(0，eq f(,4)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+cot,e2eq f(c2,a2)eq f(tan+ cot,tan)1+ cot2,(0，eq f(,4)，cot21,e22，eeq r(2).故選D.例6 如圖，已知梯形ABCD中，

8、AB2CD，點E分有向線段eq o(AC,sup6()所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當(dāng)eq f(2,3)eq f(3,4)時，求雙曲線離心率e的取值范圍解：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系xOy，則CDy軸.因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱依題意，記A(c，0)，C(eq f(c,2)，h),E(x0，y0)，其中c=eq f(1,2)AB為雙曲線的半焦距，h是梯形的高由定比分點坐標(biāo)公式得 x0eq f(-c+eq f(c,2),1+)eq f(-2)c,2(1+)，y0eq f(h,1+)

9、設(shè)雙曲線的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，則離心率e=eq f(c,a). 由點C、E在雙曲線上，所以，將點C的坐標(biāo)代入雙曲線方程得 eq f(c2,4a2)eq f(h2,b2)1 ，將點E的坐標(biāo)代入雙曲線方程得eq f(c2,4a2)(eq f(2,1+)2(eq f(,1+)2eq f(h2,b2)1 再將e=eq f(c,a)、得 eq f(e2,4)eq f(h2,b2)1，eq f(h2,b2)eq f(e2,4)1 ，eq f(e2,4)(eq f(2,1+)2(eq f(1,1+)2eq f(h2,b2)1 將式代入式，整理得 eq f(e2,4)（44）

10、12，1eq f(3,e2+2)由題設(shè)eq f(2,3)eq f(3,4)得，eq f(2,3)1eq f(3,e2+2)eq f(3,4)解得eq r(7)eeq r(10)所以雙曲線的離心率的取值范圍為eq r(7)，eq r(10)練習(xí)：1.（天津理4） 設(shè)雙曲線的離心率為且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為A.B.C.D.2.（全國2 文11）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于（ ）ABCD3.（2006全國II）已知雙曲線EQ f(xS(2),aS(2)f(yS(2),bS(2)1的一條漸近線方程為yEQ f(4,3)x，則雙曲線的離心率為 （A）EQ

11、 f(5,3) (B)EQ f(4,3) (C)EQ f(5,4) (D)EQ f(3,2)4（2006山東卷）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為 (A) (B) (C) (D)5（2006山東卷）在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為 (A) (B)2 (C) (D)26.（安徽理9）如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （A）（B）（C）（D）7.（湖南文9）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為

12、半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是A B. C. D. 8.（全國2理11）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為(A) (B)(C) (D) 9.（2006福建卷）已知雙曲線(a0,b0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)10.（北京文4）橢圓的焦點為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）答案：1.由可得故選D2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍， ，橢圓的離

13、心率，選D。3.雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A4.不妨設(shè)橢圓方程為（ab0），則有，據(jù)此求出e5.不妨設(shè)雙曲線方程為（a0，b0），則依題意有，據(jù)此解得e，選C6.解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，連接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，雙曲線的離心率為，選D。7.由已知P（），所以化簡得8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中， 離心率，選B。9.雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲