正投影法原理

1、 第 二 章 正投影法基本原理121 投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫工程圖樣及正軸測(cè)圖2中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差投影特性投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變3平行投影法斜角投影法投 影 特 性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法4 PbAP采用多面投影。 過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1B2B3 點(diǎn)在

2、一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a22 點(diǎn)的投影解決辦法？5HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面正面投影面（簡(jiǎn)稱正 面或V面）水平投影面（簡(jiǎn)稱水 平面或H面）側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè) 面或W面）投影軸oXZOX軸 V面與H面的交線OZ軸 V面與W面的交線OY軸 H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直6WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。aaaAZY7WVHXYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開aaZaayayaXYYOazx8XYZOVHWAaaa點(diǎn)的投影規(guī)律

3、: aaOX軸 aax= aaz=y=A到V面的距離aax= aay=z=A到H面的距離aay= aaz=x=A到W面的距離xaazayYZazaXYayOaaxaya aaOZ軸9aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。aaaaxazaz解法一:通過作45線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa10三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法： x 坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上baa abbB點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。XYHYWZ11重影點(diǎn)： 空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A

4、、C為H面的重影點(diǎn)aacc被擋住的投影加( )( )A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？a c12aaabbb23 直線的投影 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。 直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性ABab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn) 積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短 ab=ABcosABabAMBabm13 直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一

5、般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面14baababbaabba 投影面平行線 在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)， 并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影 軸。水平線側(cè)平線正平線投 影 特 性：與H面的夾角: 與V面的角:與W面的夾角: 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)baaabb15 反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線 另外兩個(gè)投影， 在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:c(d)cddcaba(b)abefefe(f)16 一般位置直線投影特性： 三個(gè)投影都縮短。即: 都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影

6、面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba17二、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置 若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即： 若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上， 則該點(diǎn)必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb= ac / cbABCVHbccbaa定比定理18點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabccabcab點(diǎn)C在直線AB上19例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。abk因k不在a b上， 故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abkabk另一判斷法?20三、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。 兩直線

7、平行投影特性： 空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda21abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。 對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB/CD22bdcacbaddbac 對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影如何判斷？23HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk 兩直線相交判別方法： 若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)24cabb

8、acdkkd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影25dbaabcdc1(2 )3(4 ) 兩直線交叉投影特性： 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。、是面的重影點(diǎn)，、是H面的重影點(diǎn)。為什么？123 4兩直線相交嗎？26 兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性： 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè) 直角邊BC/H面因 BCAB, 同時(shí)BCBb所以 BCABba平面直線在H面上的投影互相垂直即 abc為直角因此 bcab故 bc ABba平面又因 BCbcABCa

9、bcHacbabc.證明：27dabcabc d例：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。AB為正平線, 正面投影反映直角。.28 小 結(jié) 點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置 直線的投影特性。 點(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方 法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。重點(diǎn)掌握：29一、點(diǎn)的投影規(guī)律aaZayayaXYYOxaza aaOX軸 aax= aaz=y=A到V面的距離aax= aay=z=A到H面的距離aay= aaz=x=A到W面的距離 aaOZ軸30二、各種位置直線的投影特性 一般位置直線三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線 在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)

10、長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。31三、直線上的點(diǎn) 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。 點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影 成定比定比定理。四、兩直線的相對(duì)位置 平行 相交 交叉（異面） 同名投影互相平行。 同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。“交點(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。32五、相互垂直的兩直線的投影特性 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該 投影面上的投影反映直角。 兩直線中有一條平行于某一

11、投影面時(shí)， 在該投影面上的投影反映直角。 兩直線均為一般位置直線時(shí)， 在三個(gè)投影面上的投影都不 反映直角。直角定理332.4 平面的投影一、平面的表示法abcabc不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)abcabc直線及線外一點(diǎn)abcabcdd兩平行直線abcabc兩相交直線abcabc平面圖形34二、平面的投影特性平行垂直傾斜投 影 特 性 平面平行投影面-投影就把實(shí)形現(xiàn) 平面垂直投影面-投影積聚成直線 平面傾斜投影面-投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性35 平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一

12、投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 正平面 側(cè)平面 水平面36abcacbcba 投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？是什么位置的平面？37abcabcabc 投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。38abcacbabc 一般位置平面三個(gè)投影都類似。投影特性：39三、平面上的直線

13、和點(diǎn)判斷直線在平面內(nèi)的方法 定 理 一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定 理 二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。 平面上取任意直線40abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。41例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距 離為10mm。nmnm10cabcab 唯一解！有多少解？42 平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。ba

14、ccakbk 面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線abcabkcdkd利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解43bckadadbcadadbckbc例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。解法一解法二442.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題 直線與平面平行 平面與平面平行包括 直線與平面平行定理： 若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。45nacbmabcmn例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？46正平線例2：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面 ABC。cbamabcmn唯一解n47 兩平面平行

15、 若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef48二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交 直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問題： 求直線與平面的交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見性。 我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。49abcmncnbam 平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析 平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與m

16、n的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn) 判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k1(2)作 圖k2150km(n)bmncbaac 直線為特殊位置空間及投影分析 直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn) 判別可見性 點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于MN上，在后。故k 2為不可見。1(2)k21作圖用面上取點(diǎn)法51 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題： 求兩平面的交線方法： 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩

17、平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。52可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析 平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。 求交線 判別可見性作 圖 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。nm能否不用重影點(diǎn)判別？能!如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。53bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析 平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m 、 b c與f h的交點(diǎn)n即為

18、兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。 求交線 判別可見性點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在BC上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在下，故fh可見，n2不可見。作 圖mn2nm154cdefababcdef投影分析 N點(diǎn)的水平投影n位于def的外面，說明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。nnmkmk互交55 小 結(jié) 重點(diǎn)掌握：二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面 內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是 兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：空間及投影分析 目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。判別可見性尤其是如何利用

19、重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。56要 點(diǎn)一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性。另外兩個(gè)投影類似。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 實(shí)形性。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。 57二、平面上的點(diǎn)與直線 平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線 過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。 過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。 兩平面平行 必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行 于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。58

20、四、相交問題 求直線與平面的交點(diǎn)的方法 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上 取點(diǎn)的方法求解。 求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置， 有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根據(jù)交線 的投影特性畫出交線的投影。 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共 有點(diǎn)，求出交線。592.6 換面法一、問題的提出 如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)？ 如何求一般位置平面的真實(shí)大小？ 換 面 法： 物體本身在空間的位置不動(dòng)，而用某一新投影面（輔助

21、投影面）代替原有投影面，使物體相對(duì)新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。解決方法：更換投影面。60VHAB a bab二、新投影面的選擇原則1. 新投影面必須對(duì)空間物體處于最有利的解 題位置。 平行于新的投影面 垂直于新的投影面2. 新投影面必須垂直于某一保留的原投影面， 以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b161VHA aaaxX 更換一次投影面 舊投影體系 X VH 新投影體系P1HX1 A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a， aA點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a1 新投影體系的建立三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1VHXP1HX1 aaa1axax1.62ax1VHXP1HX

22、1 aaa1VHA aaxXX1P1a1ax1 新舊投影之間的關(guān)系 aa1 X1 a1ax1 = aax 點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影 到原投影軸的距離。axa一般規(guī)律： 點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直 于新投影軸。.63XVHaaax更換H面 求新投影的作圖方法VHXP1HX1 由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aaX1P1Ha1axax1ax1更換V面a1作圖規(guī)律：.64 更換兩次投影面先把V面換成平面P1， P1H，得到中間新投影體系:P1HX1 再把H面換成平面P2， P2 P1，得到新投影體系

23、: X2 P1 P2 新投影體系的建立按次序更換AaVH aaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a265ax2 aaXVH 求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2 作圖規(guī)律 a2a1 X2 軸 a2ax2 = aax1a1axax1.66VHAB a bab四、換面法的四個(gè)基本問題1. 把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空間分析： 換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及與H面的夾角。 a babXVH新投影軸的位置？a1b1與ab平行。.67a1b1VH aaXB bbA2. 把一般位置直線變換成投影面垂直

24、線空間分析：a babXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？a2b2ax2a2b2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；68 一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？ a b cabcdVHABCDX d3. 把一般位置平面變換成投影面垂直面 如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1d1空間分析： 在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一

25、次變換？ 思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！69 a b cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作 圖 過 程： 在平面內(nèi)取一條水平 線AD。dd 將AD變換成新投影 面的垂直線。d1a1d1c1 反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？.70a1b1需經(jīng)幾次變換？一次換面, 把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P24. 把一般位置平面變換成投影面平行面ab a c bXVHc作 圖：AB是水平線空間分析：a2c2b2c1X2軸的位置？平面的實(shí)形.X1HP1.與其平行71b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2 d例1：

26、求點(diǎn)C到直線AB的距離，并求垂足D。c c b aabXVH五、換面法的應(yīng)用 如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，CD平行于投影面，其投影反映實(shí)長(zhǎng)。APBDCcabd作圖: 求C點(diǎn)到直線AB的距離，就是求垂線CD的實(shí)長(zhǎng)?？臻g及投影分析：c1a1a2b2d2過c1作線平行于x2軸。.如何確定d1點(diǎn)的位置？72baabcdc例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長(zhǎng)度 為MN， 且AB為水平線，求CD及MN的投影。MNmda1b1m1n1c1d1n空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑=MNnm 當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，MN平行于投影面，這時(shí)它的投影m1n1=MN,且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回？求m點(diǎn)是難點(diǎn)。.73空間及投影分析：AB與CD都平行于投