矩陣代數(shù)基本學(xué)習(xí)知識(shí)

1、附錄I矩陣代數(shù)基本知識(shí)矩陣和行列式是研究多元統(tǒng)計(jì)分析的重要工具，這里針對(duì)本書的需要，對(duì)有關(guān)矩陣代數(shù)的基本知識(shí)作回顧性的介紹，其中有些內(nèi)容是過去教學(xué)計(jì)劃中沒有涉及到的。一、向量矩陣的定義將X，個(gè)實(shí)數(shù)可,可2,，/，。21M22,，。2，4P排成如下形式的矩形數(shù)表,記為如下形式的矩形數(shù)表,記為A%42%“21“22a2PTOC o 1-5 h zA=.anlan2%則稱A為xp階矩陣，一般記為A=(%)x，稱均為矩陣A的元素。當(dāng)二時(shí)，稱A為階方陣；若p=l,A只有一列，稱其為維列向量，記為。21若=1,A只有一行，稱其為p維行向量，記為當(dāng)A為階方陣，稱。中出2,M”為A的對(duì)角線元素，其它元素稱為非

2、對(duì)角元素。若方陣A的非對(duì)角元素全為0,稱A為對(duì)角陣，記為diag(an,a22,a進(jìn)一步，若。I=凡2=。=1，稱A為階單位陣，記為L(zhǎng)i或A=I。如果將階矩陣A的行與列彼此交換，得到的新矩陣是px的矩陣，記為孫12孫12a21a22稱其為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。若A是方陣，且A=A,則稱A為對(duì)稱陣；若方陣A二(%)心，當(dāng)對(duì)一切ivj元素%.=0，則稱41Cl2la22為下三角陣；若A為下三角陣，則稱A為上三角陣。二、矩陣的運(yùn)算對(duì)A=(4)“xp與B=也3”的和定義為：A+B=(%.+%)”.若。為一常數(shù)，它與矩陣xp階矩陣A的積定義為：=(a%)”，3,若A=(須)，B=(4“，則A與B的積定義為：

3、qAB二(也)px&=1根據(jù)上述矩陣加法、數(shù)乘與乘的運(yùn)算，容易驗(yàn)證下面運(yùn)算規(guī)律:.加法滿足結(jié)合律和交換律(A+B)+C=A+(B+C)A+B=B+A.乘法滿足結(jié)合律(a/?)A=a(f3A),(AB)=(A)B=A(B)A(BC)=(AB)C.乘法和加法滿足分配律a(A+B)=+aB,(a+/7)A=aA.+/7AA(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.對(duì)轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律(A+B)=A+B,(aA)=(aA)(AB)=BA,(A)=A另外，若A=(*滿足AA=AA=L則稱A為正交陣。三、矩陣分塊對(duì)于任意一個(gè)階矩陣A,可以用縱線和橫線按某種需要將它們劃分成若干塊低階的矩陣，也可以看作是以

4、所分成的子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣，即：寫成（AA）A0.若A和B都是方陣，則ACA0,R=Cr=A|b|.若A和B分別是xp和px的矩陣，則|I,+AB|=Ip+BA五、逆矩陣設(shè)A為階方陣，若|A|wO,則稱A是非退化陣或稱非奇異陣，若|A|二O,則稱A是退化陣或稱奇異陣。若A是階非退化陣，則存在唯一的矩陣B,使得AB=BA=I，B稱為A的逆矩陣，記為B=A1逆矩陣的基本性質(zhì)如下：.AA1=AA=I.二（A-y.若A和B均為階非退化陣，則（AB）1=BA1.設(shè)A為階非退化陣，b和a為維列向量，則方程:的解為Ab=ab=A-1a5|A+|A廠6.的解為Ab=ab=A-1a5|A+|A廠6.

5、若A是正交陣，則A-1=A.若A是對(duì)角陣，4=力傷(。11，。22：4)且，則A二由4g，%J)。.若A和B非退化陣，則AC_(A7-ACB1、00B1,=L，p，(AoV_rA-1cB)-BCA19.設(shè)方陣A的行列式|A|分塊為:|A|AuA12A21A22若A”，A，2是方陣且是非退化，則|=|11|2212I=|221111-12-2221六、矩陣的秩設(shè)A為階矩陣，若存在它的一個(gè)一階子方陣的行列式不為零，而A的一切+1)階子方陣的行列式均為零，則稱A的秩為廠，記作狄(A)二r。它有如下基本性質(zhì)：.狄(A)=0,當(dāng)且僅當(dāng)A=0；.若A為xp階矩陣，貝iJOM(A)minO?,p)；.狄(A

6、)二旅(A)；.狄(AB)min(M(A),-攵(B)；.狄(A+B)1為二次型，其中%.二知是實(shí)常數(shù)；占，與是P個(gè)實(shí)變量。若A=(陽)xp為對(duì)稱陣，X=(l,xJ，則Q=%3j=XAX/=1；=1若方陣A對(duì)一切XWO,都有XAX0,則稱4與其相應(yīng)的二次型是正定的，記為A0；若對(duì)一切XW0,都有XAX0,則稱A與二次型是非負(fù)定的，記為A0。記AB,表示AB0；記AB,表示AB0。正定陣和非負(fù)定陣有如下性質(zhì)：.一個(gè)對(duì)稱陣是正(非負(fù))定的當(dāng)且僅當(dāng)它的特征根為正(非負(fù))；.若A0,則A1。；.若A0,則cA0,其中。為正數(shù)；.若A0,因它是對(duì)稱陣，則必存在一個(gè)正交陣T,使TAT二山4g(4,4，4)

7、=A其中4,，4為A的特征根，T的列向量為相應(yīng)的特征向量，于是A=TAT.若ANO(0),則存在A*0(0),使得A=A；A：稱A：為A的平方根。實(shí)際上，因?yàn)锳是對(duì)稱陣，所以存在正交矩陣T和對(duì)角矩陣A=山華(4,4，)使得A=TAT。有A之0(0)可知4。(0),i=l,P。令A(yù)=A*=TdT,則有11f1,1,11A=TAyA-T=TAyTTAyT=A，A占由于A3的特征根口之0(0),i=l,，p,所以(0)o十、矩陣的微商設(shè)X=(X,X)為實(shí)向量，y=/(x)為X的實(shí)函數(shù)。則/(x)關(guān)于X的微商定義為：次x)dx8xP則定義次X)6X(dfdf次X)6X由上述定義不難推出以下公式：.若x=a，,%)