第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析-2二階系統(tǒng)時(shí)域分析課件

1、13-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的重要性 典型性：工程上最具代表性，高階系統(tǒng)在工程上常 可近似為二階系統(tǒng)加以處理。 實(shí)用性：二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)計(jì)算簡(jiǎn)單、精確，便 于工程上分析。 過(guò)阻尼情況 無(wú)阻尼情況 臨界阻尼情況 欠阻尼情況 單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析的主要研究?jī)?nèi)容13-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的重要性 單位階躍響2二階系統(tǒng)分析步驟快穩(wěn)準(zhǔn)2二階系統(tǒng)分析步驟快穩(wěn)準(zhǔn)33-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。1 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一伺服系統(tǒng)，系統(tǒng)框圖如下： K 為開(kāi)環(huán)增益；Tm 為機(jī)電常數(shù)33-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)

2、4為使結(jié)果具有普遍性，可采用如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:特征方程的兩個(gè)根（閉環(huán)極點(diǎn)）:4為使結(jié)果具有普遍性，可采用如下標(biāo)準(zhǔn)形式： 5 特征方程的兩個(gè)根（閉環(huán)極點(diǎn)）若則二階系統(tǒng)具有兩個(gè)正實(shí)部的特征根，其單位階躍響應(yīng)為或由于所以指數(shù)因子具有正冪指數(shù)，因此，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程為發(fā)散的形式，從而表明 的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，所以對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)其阻尼比 一定是大于零的。5 特征方程的兩個(gè)6閉環(huán)極點(diǎn)分布圖6閉環(huán)極點(diǎn)分布圖7不難看出： 時(shí)，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是發(fā)散的，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的； 時(shí)，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是收斂的，且趨于零平衡狀態(tài)，即

3、系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 時(shí)，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是等幅振蕩的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7不難看出： 時(shí)，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)82 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 過(guò)阻尼情況二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，傳遞函數(shù)：輸入為階躍函數(shù) 時(shí)，則系統(tǒng)的輸出量為：82 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 過(guò)阻尼情況二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征9單調(diào)過(guò)程，無(wú)超調(diào)， 大，內(nèi)耗大，無(wú)法維持能量交換，即 不能振蕩。 較大時(shí)，即 時(shí)，系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為一階故當(dāng) 較大時(shí)， ，此時(shí)c(t)表達(dá)式括號(hào)里的第一項(xiàng)要比第二項(xiàng)衰減快的多，因此忽略括號(hào)里的第一項(xiàng)，此時(shí)顯然，此時(shí)的二階系統(tǒng)就簡(jiǎn)化為一階系統(tǒng)，其響應(yīng)與一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)相近，工程上，當(dāng) 時(shí)，即可認(rèn)為

4、9單調(diào)過(guò)程，無(wú)超調(diào)， 大，內(nèi)耗大，無(wú)法維持能量交換，即故當(dāng) 10無(wú)阻尼下單位階躍響應(yīng)當(dāng)時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是振幅為1的等幅振蕩，其振蕩頻率為 ，所以，稱 為“無(wú)阻尼自然振蕩角頻率” 10無(wú)阻尼下單位階躍響應(yīng)當(dāng)時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是振幅為111112臨界阻尼下單位階躍響應(yīng)臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)當(dāng)時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無(wú)超調(diào)單調(diào)上升過(guò)程。 判斷依據(jù)：12臨界阻尼下單位階躍響應(yīng)臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍131314欠阻尼情況二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為衰減系數(shù)阻尼振蕩頻率14欠阻尼情況二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為衰減系數(shù)阻尼振蕩1515161

5、617稱 為阻尼角17稱 為阻尼角18等阻尼線等自然振蕩角頻率線 等自然振蕩角頻率線 18等阻尼線等自然振蕩角頻率線 等自然振蕩角頻率線 19表明二階欠阻尼系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項(xiàng)，其振蕩頻率為易知 ，欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。阻尼振蕩頻率 答：包絡(luò)線 決定系統(tǒng)的收斂速度，所以稱 為“衰減因子”，稱 為衰減指數(shù)。 為什么叫“衰減指數(shù)”？問(wèn)：19表明二階欠阻尼系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬2020210123456789101112nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30

6、.40.50.60.70.81.02.0210123456789101112nt c(t)0.2022二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼22二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼233. 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程分析 在控制工程上，除了一些不允許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。 二階系統(tǒng)一般取 二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，除了峰值時(shí)間、超調(diào)量和上升時(shí)間，可用 精確表示外，延遲時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間很難用 準(zhǔn)確描述，只能采用工程上的近似方法計(jì)算。最佳阻尼系數(shù)233. 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程分析 在控制工24欠阻尼二階

7、系統(tǒng)各特征參量之間關(guān)系的再分析左圖表示欠阻尼二階系統(tǒng)各特征參量之間的關(guān)系：衰減系數(shù) 是閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離；阻尼振蕩頻率 是閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離；自然頻率 是閉環(huán)極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 與負(fù)實(shí)軸的夾角的余弦正好是阻尼比 ，即故稱 為阻尼角。24欠阻尼二階系統(tǒng)各特征參量之間關(guān)系的再分析左圖表示欠阻尼二25 求得： （1）td（延遲時(shí)間）一定， ,延遲時(shí)間越短一定， ,延遲時(shí)間越短關(guān)于td的隱式表達(dá)利用曲線擬合法近似地得到：25 求得： （1）td（延遲時(shí)間）一定， ,延遲時(shí)間越短一26(2) tr（上升時(shí)間）K=126(2) tr（上升時(shí)間）K=127 對(duì)上式求導(dǎo)，并令其為零，即(3) tp（峰值時(shí)

8、間）27 對(duì)上式求導(dǎo)，并令其為零，即(3) tp（峰值時(shí)間）28tp為輸出響應(yīng)達(dá)到的第一個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，所以應(yīng)取k1，于是28tp為輸出響應(yīng)達(dá)到的第一個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，所以應(yīng)取k29 超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生，故 c(tp) 即為最大輸出（4）29 超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生，故 c(tp) 即為最大輸出（430 （4）超調(diào)量與阻尼比 的關(guān)系超調(diào)量?jī)H是阻尼比 的函數(shù)，而與自然頻率 無(wú)關(guān)。阻尼比 越大，超調(diào)量越小，為了保證既減小超調(diào)量又保持一定的響應(yīng)速度，工程上一般30 （4）超調(diào)量與阻尼比 的關(guān)系超調(diào)量?jī)H是阻31 ，滿足 一定: 調(diào)節(jié)時(shí)間越短 (5) ts（調(diào)節(jié)時(shí)間）一定: 調(diào)節(jié)時(shí)間越短31 ，滿

9、足 一定: 調(diào)節(jié)時(shí)間越短 (5) ts（調(diào)節(jié)時(shí)間32包絡(luò)線：對(duì)稱于連接c(t)的極值點(diǎn)組成的光滑曲線ts另解：c(t)總是位于兩條包絡(luò)線內(nèi)，所以ts可由包絡(luò)線方程求得：32包絡(luò)線：對(duì)稱于連接c(t)的極值點(diǎn)組成的光滑曲線ts另解33例1:已知二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，試計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間 (1)上升時(shí)間 (2)峰值時(shí)間 (3)超調(diào)量 (4)調(diào)節(jié)時(shí)間 33例1:已知二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)34例2. 如圖所示，系統(tǒng)輸入r(t)=1,試計(jì)算 K=200時(shí)，系統(tǒng)的欠阻尼響應(yīng)c(t)和性能指標(biāo)：34例2. 如圖所示，系統(tǒng)輸入r

10、(t)=1,試計(jì)算 K=20353536例3 : 設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為p=20%, tp=1s。試確定系統(tǒng)的K和KA值, 并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts。 控制系統(tǒng)框圖36例3 : 設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為p=37解 首先, 根據(jù)要求的p求取相應(yīng)的阻尼比 ： 解得 =0.456。 其次, 由已知條件tp=1s和已求出的 =0.456 ，求無(wú)阻尼自然振蕩頻率n, 即 簡(jiǎn)便求法：37解 首先, 根據(jù)要求的p求取相應(yīng)的阻尼比 ：38解得n=3.53rad/s。此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，由系統(tǒng)框圖可得 與標(biāo)準(zhǔn)形式 比較, 求K和KA值。得K=12.5, KA=0.178。

11、 最后計(jì)算tr、ts： 比較上兩式得38解得n=3.53rad/s。與標(biāo)準(zhǔn)形式 39例題4.設(shè)單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖所示 試確定此系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)。解:由圖可知： tp=0.4秒39例題4.設(shè)單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖所示解:由40開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)傳遞函數(shù):注意：系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，是階躍輸入， 而不是單位階躍輸入。40開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)傳遞函數(shù):注意：系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，是41例題5：已知并求試確定解：41例題5：已知并求試確定解：42例6:系統(tǒng)是反饋系數(shù)為的負(fù)反饋二階控制系統(tǒng)。已知單位階躍響應(yīng)特性，試根據(jù)圖中標(biāo)注的量確定系統(tǒng)參數(shù)K,T和。 思路：4

12、2例6:系統(tǒng)是反饋系數(shù)為的負(fù)反饋二階控制系統(tǒng)。已知單位階43解：43解：44二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，傳遞函數(shù)：式中過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程分析44二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，傳遞函數(shù)：式45系統(tǒng)的輸出量為：輸入為階躍函數(shù)45系統(tǒng)的輸出量為：輸入為階躍函數(shù)46響應(yīng)特性包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，其代數(shù)和決不會(huì)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值1。因而，過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是非振蕩的。46響應(yīng)特性包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，其代數(shù)和決不會(huì)47 (2) tr（上升時(shí)間）(3) ts（調(diào)節(jié)時(shí)間）(1) td（延遲時(shí)間）47 (2) tr（上升時(shí)間）(3) ts（調(diào)節(jié)時(shí)間）48例7 系統(tǒng)

13、方框如圖所示，試求 當(dāng)K=10時(shí)系統(tǒng)的主要?jiǎng)討B(tài)性能指標(biāo) 使系統(tǒng)的阻尼比=0.707的K值 當(dāng)K=1.6時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)解： 當(dāng)K=10時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為可得：48例7 系統(tǒng)方框如圖所示，試求解： 當(dāng)K=10時(shí)，系統(tǒng)的49使系統(tǒng)的阻尼比=0.707的K值可得：再由：得：49使系統(tǒng)的阻尼比=0.707的K值可得：再由：得：50 當(dāng)K=1.6時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)為兩個(gè)閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)為此時(shí)阻尼比=1.25大于1，系統(tǒng)階躍響應(yīng)不存在峰值時(shí)間和超調(diào)量，其調(diào)整時(shí)間近似為 50 當(dāng)K=1.6時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)為兩個(gè)閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)為此時(shí)阻尼515152例8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及單位階躍響應(yīng)曲線如下，試求系統(tǒng)的參數(shù) 解：由階躍響應(yīng)

14、曲線圖可知 由知52例8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及單位階躍響應(yīng)曲線如下，試求系統(tǒng)的參數(shù) 解53由終值定理得：所以：53由終值定理得：所以：54例題9 如圖所示，為一隨動(dòng)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)的性能指標(biāo) td, tr, ts54例題9 如圖所示，為一隨動(dòng)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)的55當(dāng)輸入信號(hào)是單位斜坡函數(shù) 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為對(duì)上式取拉氏反變換，可得不同 下的二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)欠阻尼單位斜坡響應(yīng)上式表明，其響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量55當(dāng)輸入信號(hào)是單位斜坡函數(shù) 系統(tǒng)輸出量56對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，誤差響應(yīng)當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，e(t)的穩(wěn)態(tài)值，稱為穩(wěn)態(tài)誤差，記為ess對(duì)于單位斜坡響應(yīng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為：誤差響應(yīng)為：將上式對(duì)t求導(dǎo)并令其為0，得到誤差響應(yīng)的峰值時(shí)間正好等于單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間 tr ，將 tep 帶入 e(t) 表達(dá)式，可得誤差響應(yīng)的峰值從而可得誤差響應(yīng)的最大偏移量為：56對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，誤差響應(yīng)當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，e(t)57例10： a）為無(wú)速度反饋系統(tǒng)，b）為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定