為隨機(jī)變量分布函數(shù)

1、關(guān)于為隨機(jī)變量的分布函數(shù)第1頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量 定義 設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度或密度函數(shù)或密度.二、性質(zhì)下頁(yè)幾何意義： f(x)下方x軸上方所圍面積為1一、定義第2頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四(4) 在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有(5) 連續(xù)型隨機(jī)變量取任何實(shí)數(shù)值 a 的概率等于0 .即 PX=a=0由性質(zhì)(5)可得下頁(yè)f(x)第3頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 例

2、1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求 (1)常數(shù)a;(2)分布函數(shù)F(x). 解: (1)由解得 A=1/2.下頁(yè)三、分布函數(shù)求法從而得第4頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四求(2)分布函數(shù)F(x).當(dāng)0 x2時(shí)，當(dāng)x2時(shí),由定義有下頁(yè)當(dāng)x0時(shí), 例1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為第5頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四下頁(yè)從而得分布函數(shù)為另：第6頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四例2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求常數(shù)A.解：下頁(yè)因?yàn)镕(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，所以F(x)為連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可得即 A=1 .第7

3、頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 如果隨機(jī)變量X的概率密度為分布函數(shù)為則稱X在區(qū)間a,b上服從均勻分布, 記為XUa,b.得X 落在a,b內(nèi)任一小區(qū)間c,d內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)四、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布下頁(yè)1.均勻分布第8頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在2, 8上服從均勻分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有實(shí)根的概率.解：由于X在2, 8上服從均勻分布，故X的概率密度為 從而，Py2+2Xy+9=0 有實(shí)根=PX3+PX - 3=1-PX0為常數(shù).分布函數(shù)為 指數(shù)分布常用來(lái)作各

4、種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動(dòng)物的壽命；電話問題中的通話時(shí)間都常假定服從指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為下頁(yè)第10頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 例4. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間 X (單位:分鐘)服從參數(shù)l=1/5的指數(shù)分布. 等待服務(wù)時(shí)間若超過10分鐘，顧客就會(huì)離去. 若該顧客一個(gè)月到銀行5次, 以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求PY1.該顧客未得到服務(wù)事件為X10，其概率為所以Y的分布律為 下頁(yè)解：X的分布函數(shù)第11頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四若X的概率密度為分布函數(shù)F(x)x

5、其中m , s(s 0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為m ,s 2的正態(tài)分布或高斯(Gauss) 分布, 記作 XN(m , s 2) .f(x)0 x下頁(yè)3.正態(tài)分布 正態(tài)分布定義第12頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 曲線關(guān)于x =m對(duì)稱. 當(dāng) x =m時(shí)，函數(shù)f(x)達(dá)到最大值，最大值為下頁(yè)f(x)mm +hm -h 概率密度的特點(diǎn) 拐點(diǎn) (m s ，f(m s);水平漸近線為 ox 軸.第13頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 固定s ，改變m值，曲線 f(x)形狀不變，僅沿 x 軸平移. 可見m確定曲線 f(x)的位置. 固定m，改變s值，

6、則s愈小時(shí)，f(x)圖形的形狀愈陡峭，X 落在m附近的概率越大.m1m2f(x)xf(x)xs =2s =0.5s =1下頁(yè)第14頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四當(dāng)m = 0, s = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 記作 XN(0 , 1) .下頁(yè) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)第15頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn)下頁(yè)第16頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 例5. 設(shè)XN(0,1), 計(jì)算： PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54 .解： PX

7、2.35 = (2.35) = 0.9906 . P-1.64 X0 .82 = (0.82)-(-1.64) = (0.82) -1- (1.64) = 0.7434 . P|X| 1.54= (1.54) (-1.54) =2(1.54) 1 = 0.8764 .下頁(yè) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算查 頁(yè)表第17頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四即下頁(yè) 一般正態(tài)分布查表計(jì)算方法：轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情形后，再查表.轉(zhuǎn)換：于是有顯然，第18頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四解： PX-2 = 1 - PX-2 = 1-F(-2) =1(-1.5)= (1.

8、5)=0.9932 .=0.9938 - 0.9332= 0.0606 .=1 (1.5) - (- 2.5) = (2.5) - (1.5) P|X|4 = 1-P |X|4 = 1 - P - 4X4=0.97720.6915=0.2857 .下頁(yè) 例6. 設(shè)X N (1,4)，求： PX-2； P2X5； P|X|4.第19頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 例7 （“三”原則）設(shè)X N (,2)， 求P|X|，P|X|2， P|X|3解 P|X|= PX+ = =第20頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)22分，星期四 例9.公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高XN(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定? 解: 設(shè)車門高度為h (cm), 則碰頭事件可表示為X h，依題意有 PX h0.01 .因?yàn)閄N(170,62),所以PX