導(dǎo)數(shù)和矢量運(yùn)算

1、關(guān)于導(dǎo)數(shù)和矢量運(yùn)算第1頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一、定積分微分和積分是對(duì)立面的統(tǒng)一。1.1.4 積分例 物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，路程速度時(shí)間，即sv t 。在 v-t 圖中，路程 s 為陰影的面積。第2頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三例 若物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，速度vv(t ) , 可以把 t 分成許多均等小段t ，只要t 充分小，每段時(shí)間中的速率近似看成是不變的，把各小段時(shí)間內(nèi)走過的路程相加，即近似為總路程，曲折的梯形曲線下的面積即近似為總路程。當(dāng) 時(shí) , 右邊的極限值就是所求總路程：第3頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，

2、星期三上式可用積分形式表達(dá)：定積分的上、下限、被積函數(shù)、積分變量即定積分形式。定積分的一般形式：幾何意義: 從 0 到 t 這段時(shí)間中v (t ) 曲線下的面積。第4頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三二、基本定理如果被積函數(shù) f (x) 是某一個(gè)函數(shù) (x) 的導(dǎo)數(shù)， f (x) (x)，則在 xa 到 xb 區(qū)間內(nèi) f (x) 對(duì)x 的定積分等于 (x) 在這區(qū)間內(nèi)的增量。 (x) 稱為原函數(shù) 積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算第5頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三求解例找 的原函數(shù)：因?yàn)?故:三、不定積分不定積分是不定出上、下限的積分，可寫成第6頁，共41頁

3、，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三式中C 為常量，可根據(jù)具體問題所給的條件定出此常量已知曲線的切線斜率為 若曲線經(jīng)過點(diǎn) 求此曲線方程 。例(1) 求曲線方程 ；解(1) 設(shè)曲線方程為 已知故第7頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三不同的C 對(duì)應(yīng)不同的曲線。曲線經(jīng)過點(diǎn) 把 代入曲線方程， 則曲線方程為:第8頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三四、基本積分公式第9頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一、矢量定義二、矢量的合成附錄 1.2 矢量第10頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一、矢量定義 物

4、理量可以按其是否具有空間方向性來分類。 矢量的大小 矢量的模 模等于 1 的矢量 單位矢量 需要以大小和方向表示的物理量 矢量， 如：速度、加速度、力。 只有大小而無方向的量 標(biāo)量，如： 溫度、質(zhì)量、體積。第11頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三用圖表示矢量 用有向線段表示：長度表示其大小，箭頭表示其方向。矢量平移時(shí)大小和方向不變。第12頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三二、矢量的合成1. 三角形法則：余弦定理 幾何關(guān)系 第13頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三若兩個(gè)以上的矢量相加 所有的矢量首尾相連第14頁，共41頁，2

5、022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三2. 解析法將矢量沿直角坐標(biāo)軸分解，各分矢量叫分量 只需用帶正號(hào)或負(fù)號(hào)的代數(shù)值表示 第15頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三三、矢量的標(biāo)積(點(diǎn)乘)兩矢量相乘得到一個(gè)標(biāo)量 標(biāo)積。其定義為：投影第16頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三根據(jù)標(biāo)積定義 推論：(3) 若 兩矢量垂直 (4) 直角坐標(biāo)系的單位矢量 具有正交性第17頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三四、矢量的矢積(叉乘)兩矢量相乘得到一個(gè)矢量 矢積。寫成：若 則根據(jù)矢積定義 推論： 規(guī)定：若 則第18頁，共41頁，2022年，5

6、月20日，22點(diǎn)37分，星期三五、矢量的導(dǎo)數(shù)設(shè)矢量 為時(shí)間t 的函數(shù)，規(guī)定其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：在直角坐標(biāo)中， 為常矢量 第19頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一般情況下有以下性質(zhì)：第20頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三六、矢量的積分一般采用直角坐標(biāo)分量式計(jì)算。 矢量的線積分：矢量的面積分,就是計(jì)算矢量通過曲面的通量N :在正法線方向的分量第21頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一、函數(shù)有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量 x 和y ，每當(dāng)x 取了某一數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定 y 的值，就稱 y 是 x 的函數(shù)，記作 yf（x）或

7、 yy（x），x 為自變量， y 叫因變量。 自由落體運(yùn)動(dòng): 物體從離地面為 h0 高度處開始下 落，則物體與地面的距離依賴于時(shí)間 t 的規(guī)律是：1.1.1 導(dǎo)數(shù)第22頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三這里t 為自變量，h 為因變量，也可記為：二、極限當(dāng)自變量 x 無限趨于某一數(shù)值 x0 ( 記作x x0 ) 時(shí)，函數(shù) f (x) 的數(shù)值無限趨于某一確定的數(shù)值a ，則 a 叫做 x x0 時(shí)函數(shù) f (x) 的極限值，記作：第23頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三 在三角函數(shù)中， 當(dāng) x 無限向正向增大時(shí)， arctan x 無限接近 ，用極限表

8、示：類似有：三、導(dǎo)數(shù)當(dāng)自變量 x 由一個(gè)數(shù)值 x0 變到另一個(gè)數(shù)值 x1 時(shí)，后者減去前者叫作該自變量的增量，記作函數(shù) xx1x0 .第24頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三增量可正可負(fù)，y 與自變量的增量 x 密切相關(guān)，兩者之比：稱增量比。與此對(duì)應(yīng)，因變量 y 的數(shù)值由 y0 f ( x0 ) 變到 y1 f ( x1 ) ，增量為：第25頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三存在，則該極限就稱為函數(shù) f ( x ) 在 x 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為 ，f ( x ) 或 y 。定義：如果極限四、導(dǎo)數(shù)的意義(1)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)(而不是一個(gè)區(qū)間里)的變化率，

9、 物理中的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度即導(dǎo)數(shù)的例子。第26頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三(2) 幾何意義：函數(shù)的曲線上任意一點(diǎn)的切線的 斜率，就是函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。設(shè)函數(shù) y f (x) ，在曲線上取一點(diǎn)A， A是曲線上另一點(diǎn)，割線AA 和 x 軸的夾角記為。當(dāng)A點(diǎn)沿著曲線趨近于A時(shí)，割線AA趨近于某一極限位置 AT，顯然，直線 AT 就是曲線在A點(diǎn)的切線，AT與 x 軸所成的夾角即為變角 的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義第27頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三 曲線上橫坐標(biāo)為x0 的一點(diǎn)A處的切線斜率就 是函數(shù) f ( x ) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)值 f

10、( x0 ) 。第28頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算舉例1.1.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解第29頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三求 及解當(dāng) 時(shí)，第30頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三二、常用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第31頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三三、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以下設(shè) u,v 為x 的函數(shù)，且導(dǎo)數(shù) u,v 存在(1) 和（差）的導(dǎo)數(shù)，由極限的加法法則：(2) 積的導(dǎo)數(shù)：(3) 商的導(dǎo)數(shù)：第32頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三(4) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則

11、，設(shè) yf (v )，v (x) 均有導(dǎo)數(shù)，則或求解例1第33頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三求解例2求解例3第34頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三求雙曲線 在任意點(diǎn)的切線斜率。解例4切線斜率為 ，在方程中逐項(xiàng)對(duì) x 求導(dǎo)于是 ，此即曲線在坐標(biāo)為( x , y ) 的點(diǎn)的切線斜率。第35頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三一、微分概念定義：若 f (x) 在x 處有導(dǎo)數(shù)，則稱 f (x) dx 為 f (x) 在 x 處的微分，記為dy f (x) dx 。P，C 是曲線上兩點(diǎn)，1.1.3 單變量函數(shù)的微分二、微分的幾何意義函數(shù)微分自變量微分導(dǎo)數(shù) 微商第36頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三根據(jù)微分定義，可直接由導(dǎo)數(shù)公式求微分，相應(yīng)地，微分運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則相同，如：三、微分運(yùn)算法則(2)(1)函數(shù)在 x 處的微分 dy 就是曲線在 x 點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的增量。第37頁，共41頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)37分，星期三(5) 若 ，則(4)(3)第38頁，共41頁，2