數(shù)理統(tǒng)計習題

1、數(shù)理統(tǒng)計考試一試卷一、填空題（本題15分，每題3分）1、整體XN(20,3)的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值差XY_；2、設(shè)X1,X2,.,X16為取自整體XN(0,0.52)的一個樣本，若已知0.201(16)32.0,則16PXi28=_；i13、設(shè)整體XN(,2)，若和2均未知，n為樣本容量，整體均值的置信水平為1的置信區(qū)間為(X,X)，則的值為_；4、設(shè)X1,X2,.,Xn為取自整體XN(,2)的一個樣本，關(guān)于給定的顯然性水平，已知關(guān)于222(n1)，則相應(yīng)的備擇假設(shè)H1為_；檢驗的拒絕域為1、設(shè)整體XN(,2)，2已知，在顯然性水平0.05下，檢驗假設(shè)H0:0,H1:0，5拒絕

2、域是_。13、t(n1)S4、202；5、zz0.05。1、N(0，)；2、0.01；n；22二、選擇題（本題15分，每題3分）1、設(shè)X1,X2,X3是取自整體X的一個樣本，是未知參數(shù)，以下函數(shù)是統(tǒng)計量的為（）。（A）(X1X2X3)（B）X1X2X3113)2（C）X1X2X3（D）(Xi3i1為取自整體(,2)的樣本，X21n2，2X1,X2,.,XnXN為樣本均值，Sn(XiX)、設(shè)ni1則遵從自由度為n1的t分布的統(tǒng)計量為（）。（A）n(X）（B）n(X)n1(X）n1(X)Sn（C）（D）Sn3、設(shè)X1,X2,Xn是來自整體的樣本，D(X)2存在，S21n(XiX)2,1i1n則（）

3、。（A）S2是2的矩估計（B）S2是2的極大似然估計（C）S2是2的無偏估計和相合估計（D）S2作為2的估計其優(yōu)異性與分布有關(guān)4、設(shè)整體XN(1,2),YN(2,2)相互獨立，樣本容量分別為n,n2，樣本方差分別12122下，檢驗H0:22,H1:22的拒絕域為（）。為S1,S2，在顯然性水平1212（A）s22F(n21,n11)（B）s22F(n21,n11)221s1s12（C）s22F(n11,n21)（D）s22F(n11,n21)22215、設(shè)整體XN(,2)，2未知，x1,x2,xn是來自整體的樣本觀察值，已已知，知的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（4.71，5.69），則取顯然

4、性水平0.05時，檢驗假設(shè)H0:5.0,H1:5.0的結(jié)果是（）。（A）不能夠確定（B）接受H0（C）拒絕H0（D）條件不足無法檢驗1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本題14分）設(shè)隨機變量X的概率密度為：f(x)2x,0 x，其中未知20,其他參數(shù)0，X1,Xn是來自X的樣本，求（1）的矩估計；（2）的極大似然估計。解：(1)E(X)xf(x)dx2x22，02dx3?2，得?3的矩估計量。令E(X)XX為參數(shù)32(2)似然函數(shù)為：L(xi,)n2xi2nnxi,(i1,2,n)，i122nxi，0i1而L()是的單調(diào)減少函數(shù)，所以的極大似然估計量為?maxX1,X2,Xn。四、（

5、本題14分）設(shè)整體XN(0,2)，且x,x2x是樣本觀察值，樣本方差s22，110（1）求2的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）已知YX22(1)，求DX2的置信23水平為0.95的置信區(qū)間；（22.70，219.023）。0.975(9)0.025(9)解：（1）2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為218,218，即為（0.9462，6.6667）；0.025(9)0.975(9)（2）DX2=1DX21D2(1)2；32222由于DX22是2的單調(diào)減少函數(shù)，置信區(qū)間為2,2，3222即為（0.3000，2.1137）。五、（本題10分）設(shè)整體X遵從參數(shù)為的指數(shù)分布，其中0未知，X1,Xn為

6、取自整體X的樣本，若已知U2nXi2(2n)，求：11）的置信水平為1的單側(cè)置信下限；（2）某種元件的壽命（單位：h）遵從上述指數(shù)分布，現(xiàn)從中抽得容量為16的樣本，測得樣本均值為5010（h），試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側(cè)置信下限。(02.05(31)44.985,02.10(32)42.585)。解：(1)P2nX2(2n)1,P2nX1,2(2n)即的單側(cè)置信下限為2nX；（2）21650103764.706。2(2n)42.585六、（本題14分）某工廠正常生產(chǎn)時，排出的污水中動植物油的濃度XN(10,1)，今階段性抽取10個水樣，測得平均濃度為10.8（mg/L），標準

7、差為1.2（mg/L），問該工廠生產(chǎn)是否正常？（0.05,t0.025(9)2.2622,0.2025(9)19.023,0.2975(9)2.700）解：（1）檢驗假設(shè)H0：221；取統(tǒng)計量：2(n1)s2=1，H1：2；0拒絕域為：22(n1)2=2.70或22(n1)2=19.023，10.975(9)0.02522經(jīng)計算：2(n1)s291.2212.96，由于212.96(2.700,19.023)2，210故接受H0，即能夠認為排出的污水中動植物油濃度的方差為2=1。（2）檢驗假設(shè)H0：1010；取統(tǒng)計量：tX10t(9)；，H1：S/102拒絕域為tt0.025(9)2.2622

8、；t10.8102.10282.2622，所以接受H0，1.2/10即能夠認為排出的污水中動植物油的平均濃度是10（mg/L）。綜上，認為工廠生產(chǎn)正常。七、（本題10分）設(shè)X1,X2,X3,X4為取自整體XN(,42)的樣本，對假設(shè)檢驗問題H0:5,H1:5，（1）在顯然性水平0.05下求拒絕域；（2）若=6，求上述檢驗所犯的第二類錯誤的概率。解：(1)拒絕域為zx5x5z0.0251.96;4/42（2）由(1)解得接受域為（1.08，8.92），當=6時，接受H0的概率為P1.08X8.928.9261.0860.921。22八、（本題8分）設(shè)隨機變量X遵從自由度為(m,n)的F分布，(1

9、)證明：隨機變量1遵從X自由度為(n,m)的F分布；(2)若mn，且PX0.05，求PX1的值。證明：由于XF(m,n),由F分布的定義可令XU/m，其中U2(m),V2(n)，UV/n與V相互獨立，所以1V/nF(,)XU/mnm。當mn時，X與1遵從自由度為(n,n)的F分布，故有PXPX1，X從而PX1P11P11PX10.050.95。XX數(shù)理統(tǒng)計試卷參照答案一、填空題（本題15分，每題3分）12、0.01；3、tS；4、22；5、zz0.05。1、N(0，)；(n1)022n二、選擇題（本題15分，每題3分）1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本題14分）解：(1)E(X)

10、xf(x)dx2x2dx2，023令?2?3X，得X為參數(shù)的矩估計量。32(2)似然函數(shù)為：L(xi,n2xi2nnxi，0 xi,(i1,2,n)，)122ni1i而L()是的單調(diào)減少函數(shù)，所以的極大似然估計量為?maxX1,X2,Xn。四、（本題14分）解：（1）2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為218,218，即為（0.9462，6.6667）；0.025(9)0.975(9)（2）DX21X21D2(1)23=2D222；由于DX22是2的單調(diào)減少函數(shù)，置信區(qū)間為2,2，3222即為（0.3000，2.1137）。五、（本題10分）解：(1)2nX2(2n)1,P2nXP21,(2n)

11、即的單側(cè)置信下限為2nX；（2）21650103764.706。2(2n)42.585六、（本題14分）解：（1）檢驗假設(shè)H0：2=1，H1：21；取統(tǒng)計量：2(n1)s22；022(n1)222(n1)2拒絕域為：10.975(9)=2.70或0.025=19.023，22經(jīng)計算：2(n1)s291.22212.9622112.96，由于(2.700,19.023)，0故接受H0，即能夠認為排出的污水中動植物油濃度的方差為2=1。（2）檢驗假設(shè)H0：1010；X10(9)；S/102拒絕域為tt0.025(9)2.2622；10.810，所以接受H0，t2.10282.26221.2/10即能夠認為排出的污水中動植物油的平均濃度是10（mg/L）。綜上，認為工廠生產(chǎn)正常。10分）解：(1)x5x5z0.0251.96;七、（本題拒絕域為z424/（2）由(1)解得接受域為（1.08，8.