【新教材】高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第二冊(cè)862直線與平面垂直課件

1、8.6.2直線與平面垂直8.6.2直線與平面垂直【新教材】高中數(shù)學(xué)-新人教A版必修第二冊(cè)-8一二三四五一、直線與平面垂直的定義1.思考(1)如圖,陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么?隨著太陽的移動(dòng),旗桿AB與影子BC所成的角度會(huì)發(fā)生改變嗎?提示垂直關(guān)系,所成的角度不變,都為90.一二三四五一、直線與平面垂直的定義一二三四五(2)如圖,旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線BC的位置關(guān)系又是什么?依據(jù)是什么?由此得到什么結(jié)論?提示垂直關(guān)系,依據(jù)是異面直線所成角的定義.得到的結(jié)論是:如果一條直線與平面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.一二三四五(2)

2、如圖,旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B一二三四五2.填空直線與平面垂直的定義一二三四五2.填空一二三四五3.做一做直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則()A.l和相互平行B.l和相互垂直C.l在平面內(nèi)D.不能確定答案:D解析:直線l和相互平行或直線l和相互垂直或直線l在平面內(nèi)都有可能,如圖所示.一二三四五3.做一做一二三四五二、直線與平面垂直的判定定理1.思考(1)如圖,直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c都垂直,直線l與平面一定垂直嗎?為什么?提示不一定.當(dāng)平面內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c都互相平行時(shí),直線l在保證與直線a,b,c都垂直的條件下,與平面可能垂直也可能斜交.一二三四五二、直線與

3、平面垂直的判定定理一二三四五(2)請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如圖所示的試驗(yàn):過ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸),問:折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直?提示從實(shí)驗(yàn)可知:當(dāng)AD與BC不垂直時(shí),翻折后的紙片豎起放置在桌面上折痕AD與桌面不垂直;當(dāng)AD與BC垂直時(shí),翻折后的紙片豎起放置在桌面上折痕AD與桌面垂直.一二三四五(2)請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如一二三四五(3)如果我們把折痕抽象為直線l,把桌面抽象為平面,如圖.你認(rèn)為保證直線l與平面垂直的條件是什么?提示需直線l與平面

4、內(nèi)的兩條相交直線都垂直.即lm,ln,mn=O.(4)如果將問題(3)中的兩條相交直線m,n的位置改變一下,仍保證lm,ln,mn=O,此時(shí)直線l與平面還垂直嗎?提示仍然垂直.一二三四五(3)如果我們把折痕抽象為直線l,把桌面抽象為平面一二三四五2.填空直線和平面垂直的判定定理一二三四五2.填空一二三四五3.做一做(1)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC答案:C一二三四五3.做一做一二三四五(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線和這個(gè)平

5、面垂直.()若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,則這條直線與平面垂直.()若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線,則這條直線垂直于兩底邊所在的直線.()若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線,則這條直線垂直于兩腰所在的直線.()答案:一二三四五(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫一二三四五三、直線與平面所成的角1.思考(1)平面的斜線、斜足是怎樣定義的?斜線在平面上的射影是如何定義的?什么是斜線與平面所成的角?提示如圖,一條直線PA和一個(gè)平面相交,但不和平面垂直,這條直線PA叫做這個(gè)平面的斜線,它們的交點(diǎn)A叫做斜足.過斜線PA上斜足A以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜

6、線PA在平面上的射影.斜線PA和它在平面上的射影AO所成的銳角PAO,叫做斜線PA和平面所成的角.一二三四五三、直線與平面所成的角一二三四五(2)直線與平面所成的角的取值范圍是什么?提示一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角等于90;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角等于0.因此,直線與平面所成的角的范圍是090.一二三四五(2)直線與平面所成的角的取值范圍是什么?一二三四五2.做一做如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于;AB1與平面ADD1A1所成的角等于;AB1與平面DCC1D1所成的角等于.答案:45450解析:B1AB為AB1

7、與平面ABCD所成的角即45;B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角,即45;AB1與平面DCC1D1平行,即所成的角為0.一二三四五2.做一做一二三四五四、空間距離1.思考(1)過一點(diǎn)可作幾條直線與已知平面垂直?提示有且只有一條.(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行,在直線上任意取幾個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等嗎?提示相等.(3)如果兩個(gè)平面平行,在其中一個(gè)平面內(nèi)任取幾個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等嗎?提示相等.(4)在棱柱、棱錐和棱臺(tái)中,它們的高如何確定?提示棱柱和棱臺(tái)的高就是上、下底面這兩個(gè)平行平面之間的距離;棱錐的高就是頂點(diǎn)到底面的距離.一二三四五四、空間距離一二三四五2.填

8、空(1)過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線,則該點(diǎn)與垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.(2)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.(3)如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.一二三四五2.填空一二三四五3.做一做已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為()答案:B解析:如圖,連接AC,與DB交于點(diǎn)O,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DBAC,BB1AC,BB1DB=B,AC平面BDD1

9、B1.點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO.一二三四五3.做一做一二三四五五、直線與平面垂直的性質(zhì)定理1.思考(1)平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系如何?提示平行.(2)空間中,垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系如何?提示可能相交、平行或異面,如圖所示.一二三四五五、直線與平面垂直的性質(zhì)定理一二三四五(3)在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,棱AA,BB所在直線與平面ABCD位置關(guān)系如何?這兩條直線又有什么樣的位置關(guān)系?提示棱AA,BB所在直線都與平面ABCD垂直;這兩條直線互相平行.一二三四五(3)在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,棱AA一二三四五2.填空直線與平面垂直的性質(zhì)定理一二三四五

10、2.填空一二三四五3.做一做在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若直線l(與直線BB1不重合)平面A1C1,則()A.B1BlB.B1BlC.B1B與l異面但不垂直D.B1B與l相交但不垂直答案:B解析:因?yàn)锽1B平面A1C1,又因?yàn)閘平面A1C1,所以lB1B.一二三四五3.做一做探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練證明直線與平面垂直例1如圖所示,ABBC,ABC所在平面外有一點(diǎn)S,且SA=SB=SC,AC中點(diǎn)為D.求證:SD平面ABC.分析先由等腰三角形SAC及D為邊AC的中點(diǎn),得SDAC.再由SDASDB,得SDDB.證明:SA=SC,D為AC中點(diǎn),SDAC.在RtABC中,

11、AD=DC=BD,又SA=SB,SDASDB.SDA=SDB,即SDDB.又ACBD=D,SD平面ABC.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練證明直線與平面探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 判定直線與平面垂直,可以用定義,就是證明這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直,但這種方法一般不用.最常用也最好用的是直線與平面垂直的判定定理,根據(jù)定理,只需證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.另外,判定直線與平面垂直還有如下兩個(gè)結(jié)論可用:(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線與兩平行平面中的一個(gè)面垂直,則它與另一個(gè)平面也垂直.探

12、究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 判探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練延伸探究在本例條件下,若AB=BC,求證:BD平面SAC.證明:BA=BC,D為AC中點(diǎn),BDAC.SD平面ABC,BD平面ABC,BDSD,AC與SD都在平面SAC內(nèi)且相交,BD平面SAC.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練延伸探究在本例探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練證明兩直線垂直例2如圖,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直徑,C是O上任意一點(diǎn),求證:BCPC.分析首先利用PA平面ABC得到PABC,然后根據(jù)圓的性質(zhì)得到ACBC,進(jìn)而利用線面垂直判定定理證得

13、BC平面PAC,從而得到BCPC.證明:PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB是O的直徑,BCAC.而PAAC=A,BC平面PAC.PC平面PAC,BCPC.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練證明兩直線垂直探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 直線和平面垂直的定義具有雙重作用:判定和性質(zhì).判定是指,如果一條直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么直線就與平面垂直;性質(zhì)是指,如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么這條直線就垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,即a,bab.由直線與平面垂直的定義及判定定理,就可以由線線垂直得到線面垂直,再由線面垂直得到線線垂直,即得到線線垂直

14、與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此,要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面),通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個(gè)平面.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 直探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練延伸探究若本例中其他條件不變,作AEPC交PC于點(diǎn)E,求證:AEPB.證明:由【例2】知BC平面PAC,AE平面PAC,BCAE.PCAE,且PCBC=C,AE平面PBC.PB平面PBC,AEPB.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練延伸探究若本例探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練求直線與平面所成的角例3已知四面體ABCD的棱長(zhǎng)都相等,Q是A

15、D的中點(diǎn),則CQ與平面BCD所成的角的正弦值為.分析作AO平面BCD,垂足為O,連接OD取OD中點(diǎn)P,連接QP,CPQCP就是斜線CQ與平面BCD所成的角求出sinQCP探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練求直線與平面所探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練解析:過點(diǎn)A作AO平面BCD,垂足為O,連接OB,OC,OD.取OD中點(diǎn)P,連接QP,CP.由AO平面BCD,四面體的棱長(zhǎng)都相等知點(diǎn)O是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),也是三角形角平分線的交點(diǎn).Q是AD中點(diǎn),P是OD中點(diǎn),QPAO.AO平面BCD,QP平面BCD.QCP就是CQ與平面BCD所成的角.探究一探究二探究三探究四探究

16、五思維辨析隨堂演練解析:過點(diǎn)A作探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 1.求斜線與平面所成的角的步驟:(1)作圖.作(或找)出斜線在平面上的射影,將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角).(2)證明.證明找出的平面角是斜線與平面所成的角.(3)計(jì)算.通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.2.在上述步驟中,作角是關(guān)鍵,而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵,幾何圖形的特征是找射影的依據(jù),圖形中的特殊點(diǎn)是突破口.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 1探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1如圖,在RtBMC

17、中,斜邊BM=5,它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4,MBC=60,則MC與平面CAB所成角的正弦值為.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1如圖探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練解析:由題意知,A是M在平面ABC內(nèi)的射影,MA平面ABC,MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC.MCA即為直線MC與平面CAB所成的角.在RtMBC中,BM=5,MBC=60,探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練解析:由題意知探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練空間距離的求法例4如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,CG平面ABCD,CG=2,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),求

18、點(diǎn)B到平面GEF的距離.分析因?yàn)榕c平面平行的直線上所有點(diǎn)到平面的距離相等,可用轉(zhuǎn)移法將該點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求另一點(diǎn)到該平面的距離,為此要尋找過點(diǎn)B與平面GEF平行的直線.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練空間距離的求法探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練解:連接BD,AC,EF和BD分別交AC于H,O,連接GH,作OKGH于點(diǎn)K.四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),EFBD,H為AO的中點(diǎn).BDEF,BD平面GFE,BD平面GFE.BD與平面GEF的距離就是點(diǎn)O到平面GEF的距離.BDAC,EFAC.GC平面ABCD,GCEF.GCAC=C,EF平面G

19、CH.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練解:連接BD,探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練OK平面GCH,EFOK.又OKGH,GHEF=H,OK平面GEF,即OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面GEF的距離.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,CG=2,探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練OK平面G探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 距離的定義具有最短性和確定性,充分體現(xiàn)了化歸思想.兩個(gè)平行平面間的距離、直線到平面的距離,都是轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來解決,最終實(shí)質(zhì)是求兩點(diǎn)間距離.求點(diǎn)到平面的距離一般有兩種方法:(1)構(gòu)造法:根據(jù)定義構(gòu)造垂直于面的直線,確定垂足位置

20、,將所求線段化歸到三角形中求解.(2)等積變換法:將所求距離看作某個(gè)幾何體(多為棱錐)的高,利用體積相等建立方程求解.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 距探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練延伸探究本題條件不變,如果求直線BD到平面GEF的距離呢?解:先證明BD平面GEF,將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)O到平面的距離,過程和答案與例題一致.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練延伸探究本題條探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 ,平面AB1D1到平面BC1D的距離為()答案:C解析:因?yàn)閮善矫?/p>

21、平行,所以原問題等價(jià)于求解點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離h,探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練2已知探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用例5如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EFBD1.分析連接AB1與CB1,證明EF與BD1都與平面AB1C垂直.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練直線與平面垂直探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練證明:連接AB1,B1C,BD,如圖.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,BDDD1=D,AC平面BDD1B1.

22、ACBD1.同理BD1B1C,ACB1C=C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,ACB1C=C,EF平面AB1C.EFBD1.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練證明:連接AB探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 1.本例應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)達(dá)到證明線線平行的目的,即線面垂直的性質(zhì)提供了線線平行的依據(jù).2.在空間證明線線平行的方法有:定義法、公理4、線面平行的性質(zhì)定理、面面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理.3.直線與平面垂直的其他性質(zhì):(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線;(2)若兩條平行線中的一

23、條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面;(3)若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則它必垂直于另一個(gè)平面;(4)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟 1探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,且四邊形ABCD是矩形,AEPD于點(diǎn)E,l平面PCD,求證:lAE.證明:PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.AE平面PAD,AEDC.又AEPD,PDCD=D,AE平面PCD.l平面PCD,lAE.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂

24、演練變式訓(xùn)練3在四探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用典例設(shè)四邊形ABCD是空間四邊形,AB=AD,CB=CD,求證:ACBD.證明:取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE.由已知,在等腰ABD、CBD中,有AEBD,CEBD.又AECE=E,BD平面AEC.BDAC.點(diǎn)評(píng)要證明直線與直線垂直,往往轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,再利用線面垂直的重要性質(zhì)得出線線垂直.分析要證空間直線ACBD,從題目條件上看似無從入手,可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題考慮,若取BD的中點(diǎn)E,則證BDAC轉(zhuǎn)化為證BDEC,BDEA.探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練轉(zhuǎn)化與化歸思想探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練1.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:三角形的兩邊;梯形的兩邊;圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊.則能保證該直線與平面垂直的是()A.B. C.D.答案:A解析:三角形的兩邊