高中數(shù)學橢圓積分

1、橢圓積分在積分學中，橢圓積分最初出現(xiàn)于橢圓的弧長有關的問題中。 Guilio Fagnano 和歐拉是最早的研究者?，F(xiàn)代數(shù)學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何 函數(shù)f的積分其中R是其兩個參數(shù)的有理函數(shù)，P是一個無重根的3或4階多項式的平方根, 而c是一個常數(shù)。通常，橢圓積分不能用基本函數(shù)表達。這個一般規(guī)則的例外出現(xiàn)在 P有重根的時 候，或者是R(x,y)沒有y的奇數(shù)幕時。但是，通過適當?shù)暮喕?，每個橢圓 積分可以變?yōu)橹簧婕坝欣砗瘮?shù)和三個經(jīng)典形式的積分。(也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分)。除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克

2、里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函數(shù) 是作為橢 圓積分的逆函數(shù)被發(fā) 現(xiàn)的，特別是這一 個：F (sn( z; k); k) = z其中sn是雅戈比橢圓函數(shù)之一。記法橢圓積分通常表述為不同變量的函數(shù)。這些變量完全等價(它們給出同樣的橢圓 積分)，但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規(guī)則。在定 義積分之前，先來檢視一下這些變量的命名常規(guī)：?生，模角；? k = win金，橢圓模；?俗=* =叵11(隼)產(chǎn)上述三種常規(guī)完全互相確定。規(guī)定其中一個和規(guī)定另外一個一樣。 橢圓積分也依 賴于另一個變量，可以有如下幾種不同的設定方法：? 幅度? x 其中匯=sin

3、 = SDH? u,其中x = sn u而sn是雅戈比橢圓函數(shù)之一精編文檔規(guī)定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意u也依賴于R1其它包含U的關系有cos0 = cn ii-y 1 m sin2 0 = dn w.后者有時稱為6幅度并寫作（）= du M。有時文獻也稱之為補參數(shù)，補模 或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義.第一類不完全橢圓積分第一類不完全橢圓積分F定義為F(八隹)=FJdO1 (sin(?sin 店產(chǎn)與此等價，用雅戈比的形式，可以設E = 8inG, i =sinO；則1 diF(八 = F(x; Ai =卜 /(1_.)(1_)平)其中，假定任何有豎直條出

4、現(xiàn)的地方，緊跟豎直條的變量是（如上定義的）參數(shù); 而且，當反斜杠出現(xiàn)的時候，跟著出現(xiàn)的是模角。 在這個意義下， F（sin泮加上）=FsinQ產(chǎn)）=FG,這里的記法來自標準參考 書Abramowitz and Stegun 。使用限界符是橢圓積分中的傳統(tǒng)做法。但是，還有許多不同的常規(guī)用于橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數(shù)沒有（象平方叫，正弦和誤差函數(shù)那樣的）標準和唯一的名字。甚至關于該領域的文獻也 常常采用不同的記法。Gradstein, Ryzhik 1, Eq.（8.111）和勒讓德形式采用”3人）。該記法和這里的尸我）；以及下面的E（M&） = 儲）等 價。和上面的不同對應的是，如果從

5、Mathematica語言翻譯代碼到Maple語言，必須 將EllipticK 函數(shù)的參數(shù)用它的平方根代替。反過來，如果從 Maple翻到精編文檔Mathematica ,則參數(shù)應該用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x) 幾乎和Mathematica中的EllipticKxA2相等；至少當0 x1時是相等的。注思F(1;A) = u其中u如上文所定義：由此可見，雅戈比橢圓函數(shù)是橢圓積分的逆。第二類不完全橢圓積分第二類不完全橢圓積分E是Eg Eg 隹)=E9M)=j yjl (sin fl since: dO.與此等價，采用另外一個記法(作變量替換t 與此等價，采用另外一個記法(

6、作變量替換t = sintf),0 r陽藥用)=Z此dn2dn2?n dw = u m sn2w dw = (1 - m)u + m I cn2w dw。J。第三類不完全橢圓積分第三類不完全橢圓積分口是6 16 1的帥幾K刖dO或者ridt-京 / ，1 -計,(1_必的(1_的或者精編文檔pi dw節(jié)r-/o 1 - m)數(shù)字n稱為特征數(shù)，可以取任意值，和其它參數(shù)獨立。但是要注意CM 對于任意m是無窮的。第一類完全橢圓積分如果幅度為pi/2或者x=1,則稱橢圓積分為完全的。第一類完全橢圓積分K可 以定位為d9f - k2 sin2S或者dtK=J立K=J立其中n!表示雙階乘。采用高斯的超幾何

7、函數(shù)，第一類完全橢圓積分可以表達為它是第一類不完全橢圓積分的特例：K的=尸1;)=尸61段這個特例可以表達為幕級數(shù)(2科2%*精編文檔第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以采用算術幾何平均值計算特殊值K(O)=K(l) = oo噌)-K7) - 2小3期閨3K(+)= 2T3 扛信y第一類完全橢圓積分的導數(shù)第二類完全橢圓積分第二類完全橢圓積分E可以定義為E(k) I J1 W siir 0 dJO或者它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：E(k) = Ek)=Ek2)精編文檔它可以用幕級數(shù)表達也就是用高斯超幾何函數(shù)表示的話，第二類完全橢圓積分可以寫作特殊值7T E(0)=1 E(l) = 1第二類完全橢圓積分的導數(shù)d研的E(k) -dk 一 k第三類完全橢圓積分第三輪完全橢圓積分n可以定義為精編文檔nS/）=（一2注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的n,也即h （1 + n s