從梯子的傾斜程度談起

1、課題：從梯子的傾斜程度談起【教材內(nèi)容分析】直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之，銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問題，一般來說，這些實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問題.本節(jié)首先從梯子的傾斜程度談起，引入了第個銳角三角函數(shù)正切.因?yàn)橄啾戎?，正切是生活?dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫物體的傾斜程度、山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角三角形邊角關(guān)系的過程中，理解正切的意義，并能夠舉例說明；能用tanA

2、表示直角三角形中兩直角邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.本節(jié)的重點(diǎn)就是理解tanA的數(shù)學(xué)含義，并能夠根據(jù)它的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行直角三角形邊角關(guān)系的計(jì)算.難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)情境中理解tanA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的問題情境，引出正切的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鼓勵他們有條理地進(jìn)行表達(dá)和思考，特別關(guān)注他們對概念的理解.【教學(xué)目標(biāo)】 (一)知識目標(biāo)1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能夠用正切進(jìn)行簡單的計(jì)算. (二)能力目標(biāo)1.經(jīng)歷觀察、猜想

3、等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實(shí)際問題的能力.3.體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神. (三)情感目標(biāo)1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度及獨(dú)立思考的習(xí)慣.【教學(xué)重點(diǎn)】1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.【教學(xué)難點(diǎn)】理解正切的意義，并用它來表示直角三角形中兩直角邊的比.【教學(xué)方法】引導(dǎo)探索法、講練結(jié)合.【教具準(zhǔn)備】多媒體.【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課（幻

4、燈片演示小游戲：“取寶物”） 問題1比賽規(guī)則如下：最快取到寶物的選手獲勝.如果你是參賽選手，你會選擇哪個梯子？為什么？ 問題2我們來觀察一下，你會發(fā)現(xiàn)兩個梯子的傾斜程度是不一樣的，哪個梯子更陡些？你是怎樣判斷的?我們今天的話題，就從梯子的傾斜程度談起.（板書課題1.1.1從梯子的傾斜程度談起）【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容“梯子的傾斜程度”有初步的了解.激發(fā)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.二、探究新知用多媒體演示如下內(nèi)容： 師梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷墓ぞ?我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是

5、用來描述梯子什么的? 生我們可以通過比較傾斜角的大小來比較兩個梯子哪個更陡. “比眼力，比速度”請同學(xué)們看圖，并回答下面的幾個問題: (1)在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?（鼓勵同學(xué)間小組合作交流，達(dá)成共識：在EDF中DF上截取DG=CA，構(gòu)造EDGBCA,進(jìn)而EGD=BAC,再利用外角知識，EGDBAC，梯子AB更陡一些.） (2)在下圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的? “在實(shí)踐中探索新知”梯子在上升變陡過程中，傾斜角、鉛直高度與水平寬度的比發(fā)生了什么變化？（幻燈片演示，梯子上升變陡過程中鉛直高度和水平寬度的變化，得出結(jié)論：傾斜角越大梯子陡；鉛直

6、高度與水平寬度的比越大梯子陡.）【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生熟悉的全等知識入手，由特殊到一般去探索新知識，使新知識順利納入舊知識結(jié)構(gòu)中，順利完成新舊知識的同化和順應(yīng).借助于幻燈片展示變化過程，形象直觀地展示一般的情況，使學(xué)生有一個感性的認(rèn)識. “理論應(yīng)用于實(shí)際”1.哪個梯子更陡？（學(xué)生應(yīng)用探索出的結(jié)論，用鉛直高度與水平寬度的比來得出梯子EF更陡.）2.你能證明為什么角度一定，對邊與鄰邊的比值一定嗎？若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳的距離B1C1,進(jìn)而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么錦囊妙計(jì)？ (學(xué)生提出想法，在AB1上選取可測量的點(diǎn)B2，過點(diǎn)B2作B2C2AC1，垂足為C2，在RT

7、AC2B2中用B2C2與AC2的比來反映梯子的傾斜程度.) 問題(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系? (2)有什么關(guān)系? (3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結(jié)論? 生在上圖中，我們可以知道RtAB1C1，和RtAB2C2是相似的.因?yàn)锽2C2AB1C1A90，B2AC2B1AC1，根據(jù)相似的條件，得RtAB1C1RtAB2C2. 生由圖還可知：B2C2AC2，B1C1AC1，得B2C2/B1C1，RtAB1C1RtAB2C2. 生相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得.如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到RtB2C2ARtRtB1C1A，仍能得到.因此，無論B

8、2在梯子什么位置(除A外)，總成立. “由感性到理性”(幻燈片演示B2在梯子上的不同位置時的情況)學(xué)生觀察分析后得出結(jié)論：直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.對于直角三角形中銳角A的對邊與鄰邊的比，我們有如下定義： (幻燈片演示)如圖，在RtABC中，如果銳角A確定，那么A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個比叫做A的正切(tangent)，記作tanA，即tanA=.（強(qiáng)調(diào)A的鄰邊為直角邊） “八仙過海,盡顯才能”1.思考如圖,梯子AB1的傾斜程度與tanA有關(guān)嗎?與A有關(guān)嗎? 生與tanA有關(guān):tanA的值越大,梯子AB1越陡；與A有關(guān):A越大,梯子AB1越陡.【設(shè)計(jì)意

9、圖】此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是為了突出概念的形成過程，幫助學(xué)生理解概念.通過讓學(xué)生參與、動手操作讓學(xué)生學(xué)會由“特殊到一般”、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.2.判斷對錯:如圖，（1）tanA=如圖， (2)tanA=（）(3)tanA=（）(4)tanA=0.7m（）(5)tanB=（）3.在RtABC中，三邊都同時擴(kuò)大10倍，則銳角A的正切值（）A.擴(kuò)大10倍B.縮小10倍C.不變D.不能確定4.填空：（1）tan_=,tan_=，tanAtanB=_；（2）如圖,ACB=90CDAB，則tanACD=_，tanB=_.【設(shè)計(jì)意圖】通過典型習(xí)題幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的定義，并初步探

10、索互為余角兩銳角的正切之間的關(guān)系，學(xué)生容易出錯的地方正是定義中需要強(qiáng)調(diào)的地方，這時候讓學(xué)生總結(jié)定義中需要注意的地方，就水到渠成了.定義的幾點(diǎn)說明：1.初中階段，正切是在直角三角形中定義的，A是一個銳角.2.tanA是一個完整的符號，它表示A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“”.但BAC的正切表示為tanBAC，1的正切表示為tan1.3.tanA0且沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中銳角A的對邊與鄰邊的比（注意順序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只與A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).三、例題講解 “行家看門道”下圖表示兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡

11、?分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tan、tan的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tan=.乙梯中，tan=.因?yàn)閠antan，所以乙梯更陡. 師生活中,常用一個銳角的正切表示梯子的傾斜程度. “用數(shù)學(xué)去解釋生活”如圖,正切也經(jīng)常用來描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tan)就是 師坡面與水平面的夾角稱為坡角,坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.四、隨堂練習(xí)1.某人沿一斜坡的底端B走了10米到達(dá)點(diǎn)A，此時點(diǎn)A到地面BC的垂直高度AC為6米，則斜坡AB的坡度為多少？ 分析求坡

12、度tanBRTABC:勾股定理求BC.（此處向?qū)W生滲透分析數(shù)學(xué)問題的一般思路逆推法.）2.在梯形ABCD中,AD/BC,AB=DC,AD=6,BC=14,S梯形ABCD=40,求tanB的值.（此題旨在提示學(xué)生：求銳角三角函數(shù)要處理好直角三角形這個前提.）3.一個直角三角形兩邊長分別為3、4，則較小的銳角的正切值是_.4.如圖，山坡AB的坡度為512，一輛汽車從山腳下A處出發(fā)，把貨物運(yùn)送到距山腳500m高的B處，求汽車從A到B所行駛的路程【設(shè)計(jì)意圖】通過不同層次的練習(xí)題的配備，使學(xué)生對概念進(jìn)一步深化理解.五、課時小結(jié) “回顧、反思、深化”1.正切的定義.2.梯子的傾斜程度與tanA的關(guān)系.（A

13、和tanA之間的關(guān)系）.3.數(shù)形結(jié)合的方法；構(gòu)造直角三角形的意識.4.“一般特殊一般”數(shù)學(xué)思想方法.六、課時作業(yè) “知識的升華”1.習(xí)題1.1第1、2題.2.觀察學(xué)校及附近商場的樓梯，哪個更陡？補(bǔ)充：（選做題） (2008泰安)直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE,則tanCBE的值是多少？板書1.1.1從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：在RtABC中，銳角A確定，那么A的對邊與鄰邊的比隨之確定，這個比叫做A的正切，記作tanA，即tanA.注：(1)tanA的值越大

14、，梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習(xí)5.課時小結(jié)從梯子的傾斜程度談起【說課】本節(jié)課是三角函數(shù)部分的第一節(jié)概念教學(xué)，教材內(nèi)容比較抽象，學(xué)生以前從沒接觸過三角函數(shù)，尤其是涉及到以角度為自變量這樣特殊的函數(shù)概念，學(xué)生不易理解.例如本課中梯子的傾斜程度由鉛直高度與水平寬度的比來反映這一知識點(diǎn)，不容易順利過渡.為此我設(shè)計(jì)了課前的“取寶物”游戲，以及判斷哪個梯子更陡的問題串，逐步引導(dǎo)學(xué)生得出正切定義，感覺銜接得較為順暢.根據(jù)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識是由感覺知覺表象概念的心理認(rèn)知過程，我在教學(xué)環(huán)節(jié)和內(nèi)容安排上，遵循了“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、訓(xùn)練為主線”的原則，能夠充分利用幻燈片這一直觀的教學(xué)手段，以突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).從課堂反饋上看，演示的變化過程對于學(xué)生分析和理解問題幫助很大.概