高中數(shù)學(xué)課件拋物線

1、第 二 章圓錐曲線與方程本章內(nèi)容2.1 曲線與方程2.2 橢圓2.3 雙曲線2.4 拋物線第二章 小結(jié)2.4 拋物線2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)(第一課時)2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)(第二課時)復(fù)習(xí)與提高2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程返回目錄1. 拋物線是什么樣的點(diǎn)的軌跡? 2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的? 開口方向不同時, 方程有什么變化? 3. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的字母常數(shù)的幾何意義是什么?學(xué)習(xí)要點(diǎn) 問題 1. 我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線, 它的幾何特征是什么? 它是什么樣的點(diǎn)的軌跡? 我們用細(xì)繩畫了橢圓和雙曲線, 你知道用細(xì)繩怎樣畫拋物線嗎?定義:

2、 我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn) F 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. 點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn), 直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線.如圖:Fl根據(jù)定義我們用細(xì)繩畫拋物線.MD|MF| = |MD| (1) 拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離; (2) 拋物線的頂點(diǎn)在焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的垂線段的中點(diǎn).【拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 問題2. 根據(jù)拋物線的定義, 你能求出拋物線的方程嗎? 你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系恰當(dāng)?設(shè)焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的距離為 p (p0), 以過點(diǎn) F, 且垂直于 l 的直線為 x 軸, F 到 l 的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn), 建立直角坐標(biāo)系(如圖).xyo則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為直線

3、 l 的方程為根據(jù)定義得 |MF| = d,設(shè)點(diǎn) M(x, y) 到直線 l 的距離為 d,d代入點(diǎn)的坐標(biāo)得p化簡方程得y2=2px.FlM拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 問題3. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中, p 的幾何意義是什么? 拋物線的頂點(diǎn)在什么位置? 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是多少?準(zhǔn)線的方程是怎樣的? 在 y2=8x 中, 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是多少? 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是多少?y2=2px (p0)xyodpFlMp: 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.頂點(diǎn): 原點(diǎn) (0, 0).焦點(diǎn):準(zhǔn)線:y2=8x 中:2p=8,焦點(diǎn)坐標(biāo): (2, 0).焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 p=4.準(zhǔn)線方程: x= -2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 問題4. 如果拋物線的開口向左,

4、 方程又是怎樣的呢? 如果開口向上、下, 焦點(diǎn)放在 y 軸上, 方程又會是怎樣?y2=2px (p0)xyodpFlMxyoFlxyoFl【幾種不同位置的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】圖 形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p 例1. (1) 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2=6x, 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2) 已知拋物線的焦點(diǎn)是 F(0, -2), 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:由方程知拋物線的焦點(diǎn)在2p=6, 拋物線的焦點(diǎn)是準(zhǔn)線方程是x 正半軸,(1) 例1. (1) 已知拋

5、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2=6x, 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2) 已知拋物線的焦點(diǎn)是 F(0, -2), 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在y 軸負(fù)半軸,則 2p=8, 拋物線的方程是x2 = -8y.(2) 問題1. 根據(jù)拋物線的定義, 拋物線上的點(diǎn)有什么特點(diǎn)? 已知拋物線 y2=2px (p0) 上一點(diǎn) P 的 x 坐標(biāo)為 a, 則這點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是多少? 拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等.xyoFlPDBP(x, y),|BP|=x=a,|PF| = |DP|=|DB|+|BP| 例(補(bǔ)充). 已知拋物線 y2=8x (p0)上一點(diǎn) M 與焦點(diǎn) F 的距離 | MF |

6、 = 6, 求點(diǎn) M 的坐標(biāo).解:如圖,又 |MD| = |MF| = 6,將 x 的值代入拋物線方程得 點(diǎn)M的坐標(biāo)為6FlxyoMD由方程得 xM=6-2=4,練習(xí): (課本67頁)第 1、2、3 題.練習(xí): (課本67頁)1. 根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1) 焦點(diǎn)是 F(3, 0); (2) 準(zhǔn)線方程是 (3) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 2.解:由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在 x 正半軸上, 且得 2p=12, 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x.(2)由準(zhǔn)線方程知且焦點(diǎn)在 x 正半軸上,得 2p=1, 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=x.(1)練習(xí): (課本67頁)1. 根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (

7、1) 焦點(diǎn)是 F(3, 0); (2) 準(zhǔn)線方程是 (3) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 2.解:由題設(shè)知 p=2,則 2p=4,焦點(diǎn)在 x 軸正負(fù)半軸時, 方程分別為y2=4x,焦點(diǎn)在 y 軸正負(fù)半軸時, 方程分別為x2=4y.(3)2. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) y2=20 x; (2) x2= y; (3) 2y2+5x=0; (4) x2+8y=0.解:焦點(diǎn)在 x 正半軸, 2p=20, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (5, 0),準(zhǔn)線方程為x = -5.焦點(diǎn)在 y 軸正半軸, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為(2)(1)2. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) y2=20 x; (2) x2= y

8、; (3) 2y2+5x=0; (4) x2+8y=0.解:(3)焦點(diǎn)在 x 軸負(fù)半軸上, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式2. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) y2=20 x; (2) x2= y; (3) 2y2+5x=0; (4) x2+8y=0.解:(4)2p=8,焦點(diǎn)在 y 軸 負(fù)半軸上, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, -2),準(zhǔn)線方程為y = 2.方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式 x2=-8y,3. 填空: (1) 拋物線 y2=2px (p0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是 a (a ), 則點(diǎn) M 到準(zhǔn)線的距離是 , 點(diǎn) M的橫坐標(biāo)是 ; (2) 拋物線 y2=12x上與焦點(diǎn)的距離等于 9 的點(diǎn)的

9、 坐標(biāo)是 .a2p=12,=9-3=6,解:如圖,(2)xM = |MN|-3= |MF|-3將 x 坐標(biāo)代入拋物線方程解得(1)aFxyoMN|MN| = |MF| = a.有兩點(diǎn) M, 坐標(biāo)為【課時小結(jié)】1. 拋物線的定義 平面內(nèi)到定點(diǎn) F 和到定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. 點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn), 直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線.Fl【課時小結(jié)】2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px (p0)xyodpFlMp: 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.頂點(diǎn): 原點(diǎn) (0, 0).焦點(diǎn):準(zhǔn)線:【課時小結(jié)】3. 不同開口方向的拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(

10、p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程標(biāo)準(zhǔn)方程習(xí)題 2.4A 組第 1、2 題.1. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:2p=2,焦點(diǎn)在 y 軸正半軸, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為(1)習(xí)題 2.4A 組1. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:焦點(diǎn)在 y 軸負(fù)半軸上, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為(2)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式習(xí)題 2.4A 組1. 求下列拋物

11、線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:(3)焦點(diǎn)在 x 軸負(fù)半軸上, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式習(xí)題 2.4A 組1. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:(4)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為 y2=6x,2p=6,焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為習(xí)題 2.4A 組2. 填空題. (1) 準(zhǔn)線方程為 x=2 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ; (2) 拋物線 y2=8x 上到焦點(diǎn)的距離等于 6 的點(diǎn)

12、的坐標(biāo)是 .解:(1)由準(zhǔn)線方程知焦點(diǎn)在 x 軸負(fù)半軸.由 得 2p=8,所以拋物線方程為 y2= -8x.y2= -8x(2)由拋物線方程得準(zhǔn)線方程 x= -2,拋物線上到焦點(diǎn)為 6 的點(diǎn), 到準(zhǔn)線的距離也為 6,即 x-(-2)=6,得 x=4,代入拋物線方程得2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第一課時返回目錄1. 拋物線有哪些幾何性質(zhì)? 2. 拋物線的離心率是怎樣定義的? 與橢圓和雙曲線比較有什么不同? 3. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的字母常數(shù) p 的大小變化使拋物線的形狀發(fā)生什么樣的變化?學(xué)習(xí)要點(diǎn)由定義和方程, 可以得到拋物線的簡單幾何性質(zhì).Fxyoly2 = 2px (p0)1. 范圍x0, y

13、R.2. 對稱性以 -y 代 y, 方程不變,拋物線關(guān)于 x 軸對稱,3. 頂點(diǎn)拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn),4. 離心率 拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比叫拋物線的離心率, 離心率 e=1.拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.頂點(diǎn)坐標(biāo) (0, 0). 問題1. 雙曲線的離心率的大小能引起開口大小的變化, 拋物線的率心率有這個特性嗎? 引起拋物線開口大小變化的是拋物線方程中的什么數(shù)?拋物線的離心率是個定值, e=1, 沒有變化.我們觀察幾條拋物線(練習(xí)第2題):y2=xy2=2xy2=4xxy444424x41oy2-2-44-11y2=xy2=2xy2=4xx 的系數(shù)大, 拋物線開

14、口大.xyop 拋物線 y2=2px (p0), p 逐漸增大, 拋物線的開口逐漸增大.Fl 例3. 已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱, 它的頂點(diǎn)在原點(diǎn), 并且經(jīng)過點(diǎn) M(2, ), 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.xoyM2解:如圖,由點(diǎn) M 的位置知拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸正半軸點(diǎn)上, 可設(shè)拋物線的方程為y2=2px (p0), 拋物線經(jīng)過點(diǎn)M, 所以有解得 p=2, 拋物線的方程為y2=4x. 例 2. 一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示, 衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線, 經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處. 已知接收天線的口徑 (直徑) 為 4.8 m, 深度為 0.5 m, 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)

15、.xyOABF解:因?yàn)檩S截面是拋物線,如圖, 以拋物線的軸為 x 軸, 拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.則A點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(0.5, 2.4).設(shè)拋物線的方程為 y2=2px.將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程解得p=5.76,拋物線的方程為y2=11.52x,焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2.88, 0).練習(xí): (課本72頁)第 1 題.練習(xí): (課本72頁)1. 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 關(guān)于 x 軸對稱, 并且經(jīng)過點(diǎn) M(5, -4); (2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)是 F(0, 5); (3) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 準(zhǔn)線是 x = 4; (4) 焦點(diǎn)是 F(0, -8), 準(zhǔn)線是 y =

16、8.解:由M的位置知, 焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上,設(shè)拋物線方程為y2=2px (p0),將點(diǎn) M(5, -4) 代入方程得16=2p5, 拋物線的方程為(1)練習(xí): (課本72頁)1. 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 關(guān)于 x 軸對稱, 并且經(jīng)過點(diǎn) M(5, -4); (2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)是 F(0, 5); (3) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 準(zhǔn)線是 x = 4; (4) 焦點(diǎn)是 F(0, -8), 準(zhǔn)線是 y = 8.解:(2)由焦點(diǎn)坐標(biāo)知焦點(diǎn)在 y 軸正半軸上, 拋物線的方程為得 2p=20,x2=20y.練習(xí): (課本72頁)1. 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (

17、1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 關(guān)于 x 軸對稱, 并且經(jīng)過點(diǎn) M(5, -4); (2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)是 F(0, 5); (3) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 準(zhǔn)線是 x = 4; (4) 焦點(diǎn)是 F(0, -8), 準(zhǔn)線是 y = 8.解:(3)由準(zhǔn)線方程知焦點(diǎn)在 x 軸負(fù)半軸上, 拋物線的方程為得 2p=16,y2 = -16x.練習(xí): (課本72頁)1. 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 關(guān)于 x 軸對稱, 并且經(jīng)過點(diǎn) M(5, -4); (2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)是 F(0, 5); (3) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 準(zhǔn)線是 x = 4; (4) 焦點(diǎn)是 F(0, -8), 準(zhǔn)線是 y =

18、8.解:(4)焦點(diǎn)在 y 軸負(fù)半軸上, 拋物線的方程為得 2p=32,x2 = -32y.由焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),【課時小結(jié)】1. 拋物線的幾何性質(zhì)y2 = 2px (p0), x0, yR.(1) 范圍y2 = -2px (p0), x0, yR.x2 = 2py (p0), y0, xR.x2 = -2py (p0), y0, xR.【課時小結(jié)】1. 拋物線的幾何性質(zhì)(2) 對稱性y2 = 2px (p0),拋物線關(guān)于 x 軸對稱.x2 = 2py (p0),拋物線關(guān)于 y 軸對稱.拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.【課時小結(jié)】1. 拋物線的幾何性質(zhì)(3) 頂點(diǎn)拋物線與它的軸的交

19、點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn),標(biāo)準(zhǔn)方程中, 拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn).(4) 離心率 拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比叫拋物線的離心率, 離心率 e=1.【課時小結(jié)】2. 拋物線方程的系數(shù) p(1) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于 p.(2) p 增大時, 拋物線開口增大;p 減小時, 拋物線開口減小.習(xí)題 2.4A 組第 3、4、5、7、8 題. 3. 拋物線 y2=2px (p0)上一點(diǎn) M 與焦點(diǎn) F 的距離 | MF | = 2p, 求點(diǎn) M 的坐標(biāo).解:2p2pFlxyoM如圖, | MF | =2p, xM =代入拋物線方程得解得 y = 點(diǎn)M的坐標(biāo)為習(xí)題 2.4A 組xoy-6 4. 根據(jù)下列條

20、件, 求拋物線的方程, 并畫出圖形: (1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 對稱軸是 x 軸, 并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于 6; (2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 對稱軸是 y 軸, 并經(jīng)過點(diǎn)P(-6, -3).解:由題設(shè)知, 焦點(diǎn)在 x 軸正半軸或負(fù)半軸上,則 2p=24, 拋物線的方程為y2 = 24x,或 y2 = -24x.6y2 = 24x,y2 = -24x,-1212前一條拋物線過點(diǎn)(6, 12) 與 (6, -12),后一條拋物線與前一條反方向.(1) 4. 根據(jù)下列條件, 求拋物線的方程, 并畫出圖形: (1) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 對稱軸是 x 軸, 并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于 6; (2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn), 對稱軸

21、是 y 軸, 并經(jīng)過點(diǎn)P(-6, -3).解:(2)由點(diǎn) P 的坐標(biāo)知, 焦點(diǎn)在 y 軸負(fù)半軸上, 拋物線方程可設(shè)為x2 = -2py,將點(diǎn) P 的坐標(biāo)代入方程得(-6)2 = -2p(-3),解得 p=6, 拋物線方程為x2 = -12y.xoy-3-6即得 2p=12, 5. 如圖, M是拋物線 y2 = 4x 上一點(diǎn), F是拋物線的焦點(diǎn), 以 Fx 為始邊, FM 為終邊的角xFM=60, 求 |FM|.FxyoMlKHB解:如圖, 作準(zhǔn)線 l 交 x 軸于K,由拋物線定義知|FM| = |MH|= |KB|= |KF| + |FB|= p + |FM|cosxFM,則 |FM|=2+|

22、FM|cos60, MBx 軸于B, MHl 于H,由題設(shè)得 p=2, xFM=60,解得 |FM|=4. 7. 如圖, 吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線, 寬 7 m, 高為 0.7 m, 求這條拋物線的方程.70.7AOBxy解:以拋物線的軸為 y 軸,以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,于是, 拋物線方程可為x2 = 2py,由題設(shè)知, 拋物線過點(diǎn)B(3.5, 0.7),代入方程得3.52=1.4p,解得 p = 8.75, 所求拋物線的方程為x2 = 17.5y (0y0.7). 8. 圖中是拋物線形拱橋, 當(dāng)水面在 l 時, 拱頂離水面 2 m, 水面寬 4 m, 水下降 1 m 后, 水面寬

23、多少?l24解:以拋物線的軸為 y 軸,以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.于是, 拋物線方程可為x2 = -2py,由題設(shè)知, 拋物線過點(diǎn) (2, -2),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程解得 p = 1,于是得拱橋拋物線的方程為x2 = -2y.xyo水面下降 1 m 時, y = -3,當(dāng) y= -3 時解得答: 水下降 1m后, 水面寬是這時, 水面的寬為2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第二課時返回目錄1. 拋物線與直線有些什么關(guān)系? 2. 過拋物線焦點(diǎn)的直線有什么特殊性? 常與拋物線的什么聯(lián)系解決這類問題?學(xué)習(xí)要點(diǎn) 例4. 斜率為 1 的直線 l 經(jīng)過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)F, 且與拋物線相交于A、B 兩點(diǎn)

24、, 求線段 AB 的長.FxyoBA分析:如果求得 A, B 兩點(diǎn)的坐標(biāo),即可求線段AB的長.求曲線交點(diǎn)的坐標(biāo), 需解方程組.求得直線AB的方程為 y=x-1,解方程組 得再由兩點(diǎn)間的距離公式即可求得.然而, 此題根據(jù)拋物線的定義求較為簡便.解:拋物線的焦點(diǎn)是 F(1, 0),由點(diǎn)斜式得直線AB的方程為y = x-1,x2-6x+1=0,|AB| = |AA| + |BB|= x1+1 + x2+1= x1+x2+2= 6+2= 8.如圖, 由拋物線知定義得解方程組 得FxyoBAAB 例4. 斜率為 1 的直線 l 經(jīng)過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)F, 且與拋物線相交于A、B 兩點(diǎn), 求線段

25、AB 的長.(應(yīng)用了拋物線的定義和二次方程根與系數(shù)的關(guān)系) 練習(xí)(補(bǔ)充). 一直線過拋物線 y2=2px (p0) 的焦點(diǎn), 與拋物線交于 A, B 兩點(diǎn), 根據(jù)下列情況求弦長 |AB|. (1) AB 垂直于軸; (2) AB 不垂直軸.FxyoBAAB解:(1)如圖, 當(dāng)AB垂直軸時,分別過 A, B 作準(zhǔn)線的垂線 AA, BB.則 |AB|=|AA|+|BB|=p+p=2p. 練習(xí)(補(bǔ)充). 一直線過拋物線 y2=2px (p0) 的焦點(diǎn), 與拋物線交于 A, B 兩點(diǎn), 根據(jù)下列情況求弦長 |AB|. (1) AB 垂直于軸; (2) AB 不垂直軸.FxyoBAAB解:(2)當(dāng)AB不

26、垂直軸時,分別過 A, B 作準(zhǔn)線的垂線 AA, BB.則 |AB|=|AA|+|BB|設(shè) AB 的方程為代入拋物線方程整理得|AB|= 練習(xí)(補(bǔ)充). 一直線過拋物線 y2=2px (p0) 的焦點(diǎn), 與拋物線交于 A, B 兩點(diǎn), 根據(jù)下列情況求弦長 |AB|. (1) AB 垂直于軸; (2) AB 不垂直軸.FxyoBAAB過焦點(diǎn)的弦叫焦點(diǎn)弦.垂直于軸的焦點(diǎn)弦叫通徑.用拋物線定義求焦點(diǎn)弦長.焦點(diǎn)弦長 |AB|=xA+xB+p. 例5. 過拋物線焦點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A, B 兩點(diǎn), 通過點(diǎn) A 和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) D, 求證: 直線 DB 平行于拋物線的對稱軸.

27、xoyFA DB思路:要使命題成立, 需B、D的y 坐標(biāo)相等.由直線AO交準(zhǔn)線得點(diǎn)D的 y 坐標(biāo);由直線AF交拋物線得點(diǎn)B的 y 坐標(biāo).這些坐標(biāo)都由點(diǎn)A的坐標(biāo)確定.又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,所以點(diǎn)A的 x 坐標(biāo)可由 y 坐標(biāo)確定. 例5. 過拋物線焦點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A, B 兩點(diǎn), 通過點(diǎn) A 和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) D, 求證: 直線 DB 平行于拋物線的對稱軸.xoyFA DB證明:設(shè)拋物線的方程為 y2=2px,則可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為于是可寫出AO的方程由直線AO與準(zhǔn)線 相交于D得設(shè)過 的直線AB為將拋物線方程 代入直線AB的方程并整理得xoyFA DB 例5. 過拋物線

28、焦點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A, B 兩點(diǎn), 通過點(diǎn) A 和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) D, 求證: 直線 DB 平行于拋物線的對稱軸.證明:設(shè)拋物線的方程為 y2=2px,則可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為于是可寫出AO的方程由直線AO與準(zhǔn)線 相交于D得設(shè)過 的直線AB為將拋物線方程 代入直線AB的方程并整理得ky2-2py-kp2=0,則 yAyB= -p2,由得 yD=yB,DB 平行于拋物線的對稱軸. 例6. 已知拋物線的方程為 y2=4x, 直線 l 過定點(diǎn)P(-2, 1), 斜率為 k. 當(dāng) k 為何值時, 直線 l 與拋物線y2=4x: 只有一個公共點(diǎn); 有兩個公共點(diǎn); 沒有公共點(diǎn)?解:

29、由點(diǎn)斜式得直線 l 的方程為y-1=k(x+2).解方程組將 代入 y-1=k(x+2) 得ky2-4y+8k+4=0.(1) 當(dāng) k=0 時, 方程 為一次方程, y 只有一解,此時 l 平行于 x 軸, 與拋物線只有一個公共點(diǎn).(2) 當(dāng) k0 時, 方程 為二次方程,=-16(2k-1)(k+1). 例6. 已知拋物線的方程為 y2=4x, 直線 l 過定點(diǎn)P(-2, 1), 斜率為 k. 當(dāng) k 為何值時, 直線 l 與拋物線y2=4x: 只有一個公共點(diǎn); 有兩個公共點(diǎn); 沒有公共點(diǎn)?解:由點(diǎn)斜式得直線 l 的方程為y-1=k(x+2).解方程組將 代入 y-1=k(x+2) 得ky2

30、-4y+8k+4=0.(1) 當(dāng) k=0 時, 方程 為一次方程, y 只有一解,此時 l 平行于 x 軸, 與拋物線只有一個公共點(diǎn).(2) 當(dāng) k0 時, 方程 為二次方程,=-16(2k-1)(k+1).當(dāng)=0 時, 方程 只有一根, 直線與拋物線解得 或 k=-1.(3) 當(dāng)0 時, 方程 有兩不等實(shí)根, 直線與相切.拋物線有兩交點(diǎn).解得(4) 當(dāng)0)上各點(diǎn)向 x 軸作垂線段, 求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程, 并說明它是什么曲線.MFA解:如圖,設(shè) A(x0, y0) 是拋物線上任一點(diǎn),M(x, y)是垂線段AB的中點(diǎn),則 x = x0,即 x0=x,y0=2y,代入拋物線方程得(2y)2=2

31、px,即得BB 組 2. 正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn), 另外兩個頂點(diǎn)在拋物線 y2=2px (p0)上, 求這個正三角形的邊長.xyoAB解:如圖, AOB是正三角形,因?yàn)閽佄锞€關(guān)于 x 軸對稱,所以 AB 被 x 軸垂直平分,yA= |OA|sin30則 xA= |OA|cos30代入拋物線方程得解得這個正三角形的邊長為 3. 已知點(diǎn) A, B 的坐標(biāo)分別是 (-1, 0), (1, 0), 直線 AM, BM 相交于點(diǎn) M, 且直線 AM 的斜率與直線 BM 的斜率的差是 2, 求點(diǎn) M 的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),由題設(shè)得 kAM-kBM=2,用坐標(biāo)表示上式得整

32、理得 x2= -(y-1).MxyoAB1-1M當(dāng) x=1 時 y=0,點(diǎn) M 與 A, B 重合, 不合題意.點(diǎn) M 的軌跡方程是x2= -(y-1) (x1).軌跡是去掉 A, B 兩點(diǎn)的一條拋物線, 頂點(diǎn)是(0, 1).1復(fù)習(xí)與提高復(fù)習(xí)與提高返回目錄知識要點(diǎn)1. 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 到定點(diǎn)與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡. 定點(diǎn) F 叫焦點(diǎn), 定直線叫準(zhǔn)線.標(biāo)準(zhǔn)方程: y2=2px (p0)p: 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.頂點(diǎn): 原點(diǎn) (0, 0).焦點(diǎn):準(zhǔn)線:xyoDpFlM|MF| = |MD|.知識要點(diǎn)2. 不同開口方向的拋物線圖 形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(p0

33、)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程標(biāo)準(zhǔn)方程知識要點(diǎn)3. 拋物線的幾何性質(zhì)y2 = 2px (p0), x0, yR.(1) 范圍y2 = -2px (p0), x0, yR.x2 = 2py (p0), y0, xR.x2 = -2py (p0), y0, xR.知識要點(diǎn)3. 拋物線的幾何性質(zhì)(2) 對稱性y2 = 2px (p0),拋物線關(guān)于 x 軸對稱.x2 = 2py (p0),拋物線關(guān)于 y 軸對稱.拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.知識要點(diǎn)3. 拋物線的幾何性質(zhì)(3) 頂點(diǎn)拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn),標(biāo)準(zhǔn)方程中, 拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn).

34、知識要點(diǎn)3. 拋物線的幾何性質(zhì)(4) 離心率 拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比叫拋物線的離心率, 離心率 e=1.知識要點(diǎn)3. 拋物線的幾何性質(zhì)(5) 開口大小 p 增大時, 拋物線開口增大;p 減小時, 拋物線開口減小.由方程中 p 的大小確定開口大小:知識要點(diǎn)4. 過拋物線焦點(diǎn)的直線直線被拋物線截得的線段叫拋物線的弦.過焦點(diǎn)的弦叫焦點(diǎn)弦.垂直于軸的焦點(diǎn)弦叫通徑.用拋物線定義求焦點(diǎn)弦長.焦點(diǎn)弦長 |AB|=xA+xB+p.通徑的長等于 2p.知識要點(diǎn)5. 直線與拋物線直線方程與拋物線方程聯(lián)列方程組:(1) 方程組無解時,(2) 方程組只有一解時,直線與拋物線相離.直線平行拋物線的

35、軸, 或與拋物線相切.(3) 方程組有兩解時,直線與拋物線相交得兩個交點(diǎn).例題選講返回目錄 例1. 已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱, 它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn), 并且經(jīng)過 M(2, y0), 若點(diǎn) M 到該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3, 則 |OM|= ( ) (A) (B) (C) 4 (D)分析:由點(diǎn) M 知拋物線的開口向右.求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)即可得 |OM|.MxyOF2由 |MF|=3 得 p=2.則拋物線方程為y2=4x.當(dāng) x=2 時, y=即得B(拋物線定義求得 p) 例2. 已知直線 l1: 4x-3y+6=0, 和直線 l2: x= -1, 拋物線 y2=4x 上一動點(diǎn) P 到直線 l1 和

36、直線 l2 的距離之和的最小值是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) (D)xyOF-1Pl1l2AB分析:如圖,兩距離為 |PA|, |PB|.若 A, P, B 共線, 則|PA|+|PB| 最小.考慮轉(zhuǎn)換線段:|PB|=|PF|.則 |PA|+|PB|=|PA|+|PF|.過點(diǎn) F 作 l1 的垂線段 PA 交拋物線于 P,垂線段 FA 的長即為 |PA|+|PB| 的最小值.AP由點(diǎn)到直線的距離得=2.A (構(gòu)造共線線段, 和最小)B 例3. 設(shè)拋物線 y2=2x 的焦點(diǎn)為 F, 過點(diǎn) M( 0)的直線與拋物線相交于 A, B 兩點(diǎn), 與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn) C, |BF|=2,

37、則BCF與ACF的面積之比 等于 ( ) (A) (B) (C) (D)MxyOFCBA分析:以 F 到直線 AB 的距離 h為兩三角形的高, 轉(zhuǎn)換面積的比:=2,則得由 B, M 兩點(diǎn)得直線 AB 的方程: 例3. 設(shè)拋物線 y2=2x 的焦點(diǎn)為 F, 過點(diǎn) M( 0)的直線與拋物線相交于 A, B 兩點(diǎn), 與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn) C, |BF|=2, 則BCF與ACF的面積之比 等于 ( ) (A) (B) (C) (D)MxyOFCBA分析:以 F 到直線 AB 的距離 h為兩三角形的高, 轉(zhuǎn)換面積的比:=2,則得由 B, M 兩點(diǎn)得直線 AB 的方程:與拋物線聯(lián)列解方程組得A(2, -

38、2).(1) 面積比轉(zhuǎn)換為線段比; (2) 線段比轉(zhuǎn)換為相似比;(3) 相似比轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)比. 例4. 已知拋物線 C: y2=4x, 的焦點(diǎn)為 F, 過點(diǎn) K (-1, 0) 的直線 l 與 C 相交于 A, B 兩點(diǎn), 點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn) D. 求證: 點(diǎn) F 在直線 BD 上.BxyOFD-1KA思路: 寫出AB方程, 斜率 k 待定. 與拋物線解交點(diǎn). 得點(diǎn) D 的坐標(biāo). 寫出 BD 的方程. 檢驗(yàn) F 的坐標(biāo)滿足 BD 方程得證. 例4. 已知拋物線 C: y2=4x, 的焦點(diǎn)為 F, 過點(diǎn) K (-1, 0) 的直線 l 與 C 相交于 A, B 兩點(diǎn), 點(diǎn) A 關(guān)于

39、x 軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn) D. 求證: 點(diǎn) F 在直線 BD 上.BxyOFD-1KA證明:設(shè) AB 的方程為y=k(x+1).代入拋物線方程解交點(diǎn):(發(fā)現(xiàn)解交點(diǎn)計算量很大)(換個角度思考:不直接求根,考慮根與系數(shù)的關(guān)系)k2x2+(2k2-4)x+k2=0.y= 例4. 已知拋物線 C: y2=4x, 的焦點(diǎn)為 F, 過點(diǎn) K (-1, 0) 的直線 l 與 C 相交于 A, B 兩點(diǎn), 點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn) D. 求證: 點(diǎn) F 在直線 BD 上.BxyOFD-1KA證明:設(shè) AB 的方程為y=k(x+1).代入拋物線方程解交點(diǎn):k2x2+(2k2-4)x+k2=0.點(diǎn) D 的坐標(biāo)為

40、(xA, -yA).BD方程:即 例4. 已知拋物線 C: y2=4x, 的焦點(diǎn)為 F, 過點(diǎn) K (-1, 0) 的直線 l 與 C 相交于 A, B 兩點(diǎn), 點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn) D. 求證: 點(diǎn) F 在直線 BD 上.BxyOFD-1KA證明:設(shè) AB 的方程為y=k(x+1).代入拋物線方程解交點(diǎn):k2x2+(2k2-4)x+k2=0.點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(xA, -yA).BD方程:即y=0 時 BD 與 x 軸相交, 解 x:=1.即 BD 與 x 軸的交點(diǎn)為(1, 0).此點(diǎn)恰是焦點(diǎn) F 的坐標(biāo).點(diǎn) F 在直線 BD 上.(根與系數(shù)的關(guān)系是解直線與圓錐曲線的一種技法)練習(xí)

41、共 8 題返回目錄 1. 過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) F 的直線交該拋物線于 A, B 兩點(diǎn), |AF|=2, 則 |BF| = . 2. 過拋物線 x2=2py (p0) 的焦點(diǎn) F 作傾斜角為 30 的直線, 與拋物線分別交于 A, B 兩點(diǎn)(點(diǎn) A 在 y 軸左側(cè)), 則 3. 已知 F 為拋物線 C: y2=4x 的焦點(diǎn), 過 F 且斜率為 1 的直線交 C 于 A, B 兩點(diǎn), 設(shè) |FA|FB|, 則|FA| 與 |FB| 的比值等于 . 4. 圓 C 與圓 x2+(y-3)2=1 外切, 與直線 y=0 相切,則 C 的圓心軌跡為 ( ) (A) 拋物線 (B) 雙曲線 (C) 橢圓 (D) 圓 5. 已知拋物線 y2=2px (p0) 的準(zhǔn)線與圓 x2+y2-6x-7=0 相切, 則 p 的值為 ( ) (A) (B) 1 (C) 2 (D) 4 6. 已知點(diǎn) P 是拋物線 y2=2x 上的一個動點(diǎn), 則點(diǎn)P 到 (0, 2) 的距離與 P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為( ) (A) (B) 3 (C) (D) 7. 已知拋物線 y2=2px (p0), 過其交點(diǎn)且斜率為 1 的直線交拋物線于 A