離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1、離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第1頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五一、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型(1)離散型 若隨機(jī)變量所有可能的取值為有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱其為離散型隨機(jī)變量. 觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量 X 的可能值是 :隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11, 2, 3, 4, 5, 6.非離散型其它第2頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五實(shí)例2 若隨機(jī)變量 X 記為 “連續(xù)射擊, 直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”, 則 X 的可能值是: 實(shí)例3 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量 X 記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”, 則 X 的所

2、有可能取值為:第3頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五實(shí)例2 隨機(jī)變量 X 為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)誤差”.則 X 的取值范圍為 (a, b) 內(nèi)的任一值.實(shí)例1 隨機(jī)變量 X 為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型 若隨機(jī)變量所有可能的取值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,則稱其為連續(xù)型隨機(jī)變量.則 X 的取值范圍為 第4頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五說明 定義第5頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為或第6頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五例1 設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈.每

3、盞燈以 的概率禁止汽車通過.以 表示汽車首次停下時(shí)已經(jīng)過的信號(hào)燈盞數(shù)（信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的），求 的分布律.第7頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其分布律之間的關(guān)系：也就是：第8頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布 設(shè)隨機(jī)變量 X 只取0與1兩個(gè)值 , 它的分布律為1.兩點(diǎn)分布則稱 X 服從 (0-1) 分布或兩點(diǎn)分布或伯努利分布.第9頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五 兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是

4、女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布.說明第10頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五2.二項(xiàng)分布若X的分布律為：稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為 ,其中q1p二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布第11頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五分析 這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例2第12頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五解第13頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五圖示概率分布第14頁，共32頁，2022年，5月20日，1

5、1點(diǎn)6分，星期五解因此例3第15頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五3. 泊松分布 第16頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放射出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608 次觀察(每次時(shí)間為7.5 秒)，發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布.第17頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五地震 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等都服從泊松分

6、布.火山爆發(fā)特大洪水第18頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù) 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.第19頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五泊松定理證明第20頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五第21頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五二項(xiàng)分布 泊松分布n很大, p 很小上面我們提到第22頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五 ：設(shè)1000

7、 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解例4 有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?第23頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五4. 幾何分布 若隨機(jī)變量 X 的分布律為則稱 X 服從幾何分布.實(shí)例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目 X 是一個(gè)隨機(jī)變量 , 求X 的分布律.第24頁，共32頁，2022年，

8、5月20日，11點(diǎn)6分，星期五所以 X 服從幾何分布.說明 幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn) “首次成功”的概率模型.解第25頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五5.超幾何分布設(shè)X的分布律為 超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到.說明第26頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五1.常見離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布三、內(nèi)容小結(jié)超幾何分布第27頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五第28頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布第29頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，

9、星期五例1 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人 (工人配備多了就浪費(fèi) , 配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題備份題第30頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五由泊松定理得故有即個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備8第31頁，共32頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)6分，星期五例2 (人壽保險(xiǎn)問題) 有2500個(gè)同年齡同社會(huì)階層的人在保險(xiǎn)公司里參加了人壽保險(xiǎn),在每一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付1