空間向量及其加減數(shù)乘運算

1、空間向量及其加減數(shù)乘運算第1頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五復(fù)習(xí)回顧：平面向量1、定義：既有大小又有方向的量。幾何表示法:用有向線段表示字母表示法：用小寫字母表示，或者用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。相等向量：長度相等且方向相同的向量ABCD第2頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五2、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算向量加法的三角形法則ab向量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空間向量的數(shù)乘空間向量的加減法第12頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五A

2、BCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的軌跡所形成的幾何體.a記做ABCD-A1B1C1D1第13頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五平面向量概念加法減法運算運算律減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量及其加減運算空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結(jié)合律加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結(jié)合律成立嗎？具有大小和方向的量數(shù)乘分配律加法交換律數(shù)乘分配律第14頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五加法結(jié)合律：abcab+c+()OABCab+abc

3、ab+c+()OABCbc+第15頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量；（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量。第16頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五做一做、想一想ABCDA1B1C1D1第17頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五變式一ABCDA1B1C1D1第18頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五變式二ABCDA1B1C1D1EO第19頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例1

4、：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1第20頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1GM 始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量第21頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第22頁，共51頁，2022年，5

5、月20日，12點25分，星期五例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第23頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第24頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1第25頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五ABMCGD練習(xí)1在空間四邊形ABCD中,點M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡第26頁，

6、共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五ABMCGD(2)原式練習(xí)1在空間四邊形ABCD中,點M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡第27頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五ABCDDCBA練習(xí)2在立方體AC1中,點E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.E第28頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五ABCDDCBA練習(xí)2E在立方體AC1中,點E是面AC的中心,求下列各式中的x,y.第29頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五ABCDDCBA練習(xí)2E在立方體AC1中,點E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.第30頁

7、，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五平面向量概念加法減法數(shù)乘運算運算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律小結(jié)加法交換律數(shù)乘分配律加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零第31頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五作業(yè)第32頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五3.1.2空間向量的數(shù)乘運算第33頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五一、空間向量的數(shù)乘： 2、空間向量的數(shù)乘的性質(zhì)（

8、1）當(dāng)時，與同向（2）當(dāng)時，與反向1、定義：實數(shù) 與空間向量 的乘積 仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘（3）當(dāng)時，第34頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五2、空間向量的數(shù)乘的運算律（3）數(shù)乘結(jié)合律：（1）數(shù)乘分配律1：（2）數(shù)乘分配律2：第35頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五1、定義：如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合， 則這些向量叫做共線向量二、空間中的共線向量 （或平行向量）第36頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五2、空間中共線向量的性質(zhì) （1）共線（2）非零共線向量的傳遞性：（3）零向量與任一向量共

9、線，第37頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五（4）空間共線向量定理：對空間任意兩個向量有且只有一個實數(shù) ，使思考1：為什么要強(qiáng)調(diào)思考2：這個定理有什么作用？1、判定兩個向量是否共線2、判定三點是否共線第38頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五OABPa若P為A,B中點, 則向量參數(shù)表示式推論:如果 為經(jīng)過已知點A且平行已知非零向量 的直線,那么對任一點O,點P在直線 上的充要條件是存在實數(shù)t,滿足等式 其中向量 叫做直線 的方向向量.若 則A、B、P三點共線。第39頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五空間向量的基本定理共面向量

10、定理共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面的了。312第40頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五 1、如果向量e1和e2是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么，該平面內(nèi)的任一向量a與 e1, e2有什么關(guān)系? 如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么，該平面內(nèi)的任一向量a，存在惟一的一對實數(shù)a1，a2，使 a a1 e1 a2 e22、平面向量基本定理復(fù)習(xí)：第41頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五 （1）必要性：如果向量c與向量a，b共面，則通過平移一定可以使他們位于同一

11、平面內(nèi)，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的實數(shù)對x，y，使cx ay b3、共面向量定理： 如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b 共面的充要條件是，存在唯一的一對實數(shù) x，y，使 cx ay b證明：（2）充分性：如果c 滿足關(guān)系式cxayb，則可選定一點O，作OAxa，OBACyb，于是OCOAACxaybc，顯然OA，OB，OC，都在平面OAB內(nèi)，故c，a，b共面BACOc第42頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五共面向量定理的剖析 如果兩個向量 a，b 不共線, 向量c與向量a，b共面存在唯一的一對實數(shù)x，y，使 cxayb cxayb向量c與向量a，

12、b共面(性質(zhì))(判定)第43頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五第44頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五得證.為什么?第45頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五判定空間中三點A、B、C共線的常用方法：（1）只需得到存在實數(shù) ，使（2）對空間任意點O，存在實數(shù)t,使特別地，當(dāng)t=1/2時，此時，點C恰為線段AB的中點第46頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例1、已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，確定在下列條件下，M是否與A，B，C三點共面：第47頁，共51頁，2022年，5月20日，12

13、點25分，星期五例2(課本例)如圖，已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O引向量 , , , ,求證：四點E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.第48頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五例2 (課本例)已知 ABCD ，從平面AC外一點O引向量 求證：四點E、F、G、H共面；平面AC/平面EG.證明：四邊形ABCD為（）（）代入所以 E、F、G、H共面。第49頁，共51頁，2022年，5月20日，12點25分，星期五1.對于空間任意一點O，下列命題正確的是：(A)若 ，則P、A、B共線(B)若 ，則P是AB的中點(C)若 ，則P、A、B不共線(D)若 ，則P、A、B共線2.已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O， , 則x的值為( )第50頁，共51頁，2022年，5月20日