湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊第5章二次根式課件

1、二次根式本章內(nèi)容第5章5.1.1二次根式（第1課時）5.1.2二次根式（第2課時）5.2.1二次根式的乘法和除法（第1課時） 5.2.2二次根式的乘法和除法（第2課時）5.3.1二次根式的加法和減法（第1課時）5.3.2二次根式的加法和減法（第2課時）二次根式本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容5.15.1.1 二次根式返回說一說 如果一個數(shù)的平方等于5，那么把這個數(shù)叫做5的一個平方根.1. 5的平方根是 ； 由于 ，而其他數(shù)的平方不會等于5，因此5的平方根有且只有兩個： . 0的平方根是 ；0 的平方根有且只有一個：0. 正實數(shù)a的平方根是 ；正實數(shù)a的平方根是負(fù)實數(shù)有沒有平方根？ 由于任何實數(shù)的平方都等于正數(shù)

2、或0，因此負(fù)實數(shù)沒有平方根. 可以說明：每一個正實數(shù)a有且只有兩個平方根，其中一個平方根是正實數(shù)，記做 ，稱它為a的算術(shù)平方根；另一個平方根是 我們把形如 的式子叫做二次根式，符號“ ”叫做二次根號，簡稱為根號，根號下的數(shù)叫做被開方數(shù). 0的平方根記做 由于在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)實數(shù)沒有平方根，因此只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)實數(shù)時，二次根式才在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. 舉例例1 當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，二次根式 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 解 由 x-10，解得 x 1.因此，當(dāng)x1時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. 在本套教材中，我們都是在實數(shù)范圍內(nèi)討論二次根式有沒有意義，今后不再每次寫出“在實數(shù)范圍內(nèi)”這幾個字.注意2417

3、0探究結(jié)論 對于非負(fù)實數(shù)a，由于 是a的一個平方根，因此舉例例2 計算： 在下面橫線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)：做一做21.2根據(jù)上述結(jié)果，當(dāng)a0時，你猜測 = .a(a0)結(jié)論由于a的平方等于a2，因此a是a2的一個平方根. 又由于已知a0，因此 由此得出：2根據(jù)上述結(jié)果，當(dāng)a0時，你猜測 = .-a(a0)-1.2舉例例2 計算： 結(jié)論由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一個平方根. 又由于已知a0，因此 由此得出：綜上可得：動腦筋2.從取值范圍來看: a0a取任何實數(shù)1.從運算順序來看:先開方,后平方先平方,后開方3.從運算結(jié)果來看: 1. 當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式 有意義？ 練習(xí)答案：

4、x1.5答案：x1 2. 計算： 答案：3 3. 計算： 答案：7答案：3答案：0.01小結(jié)與復(fù)習(xí)1. 定義： 我們把形如 的式子叫做二次根式，符號“ ”叫做二次根號，簡稱為根號，根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)，被開方數(shù)a0 . 2. 性質(zhì)：（1）（2） 中考 試題例 若二次根式 有意義，則x的取值范圍是_.答案：二次根式本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容5.15.1.2 二次根式的化簡返回動腦筋計算下列格式，觀察計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？=當(dāng)a0，b0時，由于結(jié)論 公式從左到右看，是積的算術(shù)平方根的性質(zhì). 利用積的算術(shù)平方根的這一性質(zhì)，可以化簡二次根式探究現(xiàn)在你能用上面的性質(zhì)說明 嗎？所以 類似 等這樣的二次根式還能化

5、簡.舉例例4 化簡下列二次根式： 注意：在化簡時，一定要把被開方式中所有平方因子全部移到根號外，否則未完成化簡。被開方數(shù)有什么特點的二次根式才能化簡呢？ 被開方數(shù)能寫成平方因子和其它因子相乘形式的二次根式 化簡二次根式時，可以直接把根號下的每一個平方因子去掉平方后移到根號外。（注意：移到根號外的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)）注意舉例例5 化簡下列二次根式：注意 觀察上面例4和例5可以看出：這些式子的最后結(jié)果，具有以下特點：（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母. 把滿足上述兩條件的二次根式，叫做最簡二次根式. 一般地，在二次根式的運算中，最后結(jié)果通常要求化成最簡二次根式. 1.

6、 化簡下列二次根式： 練習(xí) 2. 化簡下列二次根式： 練習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 2、化簡時，被開方式一定要先分解成平方因子和其它因 子相乘的形式. 當(dāng)被開方式是多項式時一定要先因式 分解，化為積的形式后才能化簡.二次根式的化簡1、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)： 是化簡二次根式的依據(jù)之一.3、最簡二次根式滿足：（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母.4、二次根式的運算的最后結(jié)果要化成最簡二次根式.習(xí)題5.1組A1. 當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式有意義？ 為任意實數(shù)2. 計算 習(xí)題5.13. 計算 習(xí)題5.14. 化簡下列二次根式習(xí)題5.15. 化簡下列二次根式習(xí)題5.16. 一個

7、底面是40cm45cm的長方體玻璃容器裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個底面為正方形、高為10cm的陶瓷容器中.當(dāng)陶瓷容器裝滿水時，玻璃容器中的水面下降了20cm，求陶瓷容器的底面邊長；解：（舍負(fù)）答：求陶瓷容器的底面邊長為60cm；習(xí)題5.17. 在比薩斜塔上做自由落體實驗得知：物體的下落距離h(m)與下落時間t(s)之間的關(guān)系約為 ，當(dāng)物體從39.2m的高度下落時，求該物體到達地面所需的時間；解：令t0，答：物體到達地面所需時間為 s.習(xí)題5.1組B8. 化簡下列二次根式：習(xí)題5.19. 在實數(shù)范圍內(nèi)，把下列多項式因式分解； 習(xí)題5.110. 若 是整數(shù)，求自然數(shù)n的值.解：令習(xí)題5.1 二次根

8、式的乘法和除法本課內(nèi)容5.21.二次根式的乘法返回積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是什么？思考：把上述公式從右到左看得到什么？說一說把上述公式從右到左看，可以得到：思考：這個公式有什么用？可以進行二次根式的乘法運算.例1 計算： 舉例 做一做二次根式的運算結(jié)果，一定要進行化簡. 在化簡二次根式時，通常是先把根號下的每個數(shù)分 解因數(shù)，然后把每一個平方因子去掉平方號后根號外.例2 計算： 舉例做一做如果根號前有系數(shù)，就把系數(shù)相乘，仍舊作為二次根號前的系數(shù)。例3 已知一張長方形圖片的長和寬分別是 和 ，求這張長方形圖片的面積.答： 這張長方形圖片的面積為21做一做你能總結(jié)以上例題的解題規(guī)律嗎？（1）二次根式相乘

9、，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。（2）如果積含有能開得盡方的因數(shù)或因式一定要移到根號外。（3）當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式和單項式相乘的法則，即系數(shù)與系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘作為積的被開方數(shù)。 1. 計算： 練習(xí)2.計算： 3.已知三角形的一條邊為 ，這條邊上的高為 ，求該三角形的面積.中考 試題1.計算： 2.2.二次根式的除法本課內(nèi)容5.2二次根式的乘法和除法返回計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？探究一般地，如果a0，則因此設(shè)a0，b0則注意字母的取值條件了嗎？ 公式從左到右看，是商的算術(shù)平方根性質(zhì)，利用這一性質(zhì)，可以進行二

10、次根式的化簡.這個等式成立嗎？結(jié)論舉例例4 計算： 做一做 公式從左到右看，可以進行二次根式的除法運算.注意字母的取值條件了嗎？結(jié)論舉例例5 計算： 做一做例6 電視塔越高,從塔頂發(fā)射出的電磁波傳播得越遠(yuǎn),從而能接收到電視節(jié)目信號的區(qū)域就越廣.已知電視塔高 與電視節(jié)目信號的傳播半徑 之間滿足 (其中是 地球半徑).現(xiàn)有兩座高分別 的電視塔,問它們的傳播半徑之比等于多少?解 設(shè)兩座電視塔的傳播半徑分別為 .你能總結(jié)以上例題的解題規(guī)律嗎？（1）二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.（2）如果商含有能開得盡方的因數(shù)或因式一定要移到根號外.（3）當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式和單項式相除的法

11、則，即系數(shù)與系數(shù)相除作為商的系數(shù)，被開方數(shù)與被開方數(shù)相除作為商的被開方數(shù). 你知道怎樣化去分母中的根號？通常的方法 （1）將式子的分子、分母同時乘以一個“適當(dāng)”的因式，就可以化去分母中的根號.如何選擇這個因式呢？一般來說這個因式就是原式分母中的那個二次根式.（2）采用約分的辦法有時也可以起到化去分母中根號的作用. 在二次根式的運算中，最后結(jié)果一般要 求分母中不含二次根式.1.化簡下列二次根式：練習(xí)2.計算：如果根號前有系數(shù)，就把系數(shù)相除，仍舊作為二次根號前的系數(shù).3.已知 長方形的面積是 ，寬為 ，求長方形的長. 1. 計算： 習(xí)題5.2 2. 化簡下列二次根式: 3. 計算： 4.若以個長方

12、體的長為 ,寬為 ,高為 ,求它的體積.5.在下面的方格中，若要使橫、豎、斜的對角的所有3個實數(shù)相乘得到同樣的結(jié)果，則3個空格中的實數(shù)之積為多少？ 6. 求下列各式當(dāng)a=3，b=4時的值： 7.解一元二次方程組：8.站在海拔高度為 的地方可看見的水平距離 ，它們兩者之間的關(guān)系近似為 .某一登山者從海拔 處登上海拔 的山頂，那么他看到的水平距離是原來的多少倍？結(jié) 束 二 次 根 式二次根式第5章5.3 二次根式的加、減法返回 依據(jù)上述材料，同學(xué)們能做出什么化簡變形呢？ 做一做返回試問：這樣化簡變形的依據(jù)是什么？上式中第一個等號成立的理由是：實數(shù)的運算滿足乘法對加法的分配律做一做圖5-1 是由面積

13、分別為8 和18 的正方形 和正方形 拼成求 的長.動腦筋分析問題：解決問題：需要條件？二次根式做加法時先 ，再將被開方數(shù)相同的二次根式 ，被開方數(shù)不變.化為最簡二次根式系數(shù)相加動腦筋舉例例 1舉例例 1舉例例 1 通過例1我們發(fā)現(xiàn)，二次根式的加減法和我們能夠聯(lián)想到前學(xué)習(xí)過的哪一種運算呢？但是有什么不同呢？ 注意 的系數(shù)是1(這是因為 )， 的系數(shù)是-1(這是因為 ). 二次根式的加減類似于合并同類項的運算.結(jié)論 由此看出，二次根式的加、減運算，首先要把每個根式化簡，然后再把被開方數(shù)相同的二次根式的系數(shù)相加、減，被開方數(shù)不變.例 2 圖5-2是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個相同圓心的圓構(gòu)成.已

14、知大圓和小圓的面積分別為763.02m2和150.72m2. 求圓環(huán)的寬度 ( 取3.14). 舉例分析問題：解決問題：需要條件：解：設(shè)大圓和小圓的半徑分別為 ，面積分別為 ，由 可知 .舉例 1. 計算： 練習(xí)練習(xí) 2. 計算： 中考 試題例 計算 答案： 小結(jié)與復(fù)習(xí)1.二次根式加減的步驟是什么？2.二次根式加減的運算依據(jù)是什么？首先要把每個根式化簡，然后再把被開方數(shù)相同的二次根式的系數(shù)相加、減，被開方數(shù)不變.實數(shù)的運算滿足乘法對加法的分配律二次根式的加、減法本課內(nèi)容5.35.3.2 二次根式的混合運算5.3返回動腦筋 甲、乙兩個城市間計劃修建一條城際鐵路，其中有一段路基的橫斷面設(shè)計為上底寬

15、 下底寬 高 的梯形，這段路基長 那么這段路基的土石方為多少立方米呢？（路基的土石方即等于路基的體積）？動腦筋結(jié)論 二次根式的混合運算是根據(jù)實數(shù)的運算律進行的.舉例例3 計算: 從例3可以看到，二次根式相乘，與多項式的乘法相類似. 我們可以利用多項式的乘法公式，對某些二次根式的乘法進行簡便運算.例4 計算：舉例從例4的第(1)小題的結(jié)果受到啟發(fā)，把分子與分母都乘以 ，就可以使分母變成1.動腦筋 如何計算 ？例5 計算：舉例 1. 計算： 練習(xí) 2. 計算： 3. 計算： 習(xí)題5.3組A 1. 計算： 2. 計算： 3. 計算： 4. 計算： 組B5. 一個長方形的窗戶,如果使得它的寬與高的比值

16、等于 ,那么看上去就比較美觀.若它的高為 ,求它的寬. 小結(jié)與復(fù)習(xí)3.舉例說明什么叫最簡二次根式,試寫出一個二次根式并將它進行化簡.2.二次根式有哪些性質(zhì)?4.如何進行二次根式加、減、乘、除運算?回顧 1.二次根式 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是什么?小結(jié)與復(fù)習(xí)本章知識結(jié)構(gòu) 小結(jié)與復(fù)習(xí)2.學(xué)習(xí)了二次根式以后,代數(shù)式可看成是把數(shù)和表示數(shù)的字母用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)連接而成的式子. 3.積與商的算術(shù)平方根性質(zhì)公式從右至左地使用,可以進行二次根式的乘、除運算. 4.實數(shù)的運算律在二次根式加、減、乘、除運算中仍然成立.注意 1.二次根式 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須滿足復(fù)習(xí)題5組A 1. 當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式有意義？ 2. 計算： 3. 計算： 4. 計算： 5. 計算： 6. 計算下列各式,根據(jù)它們的運算結(jié)果與表盤的相應(yīng)刻度位置進行連線. 7. 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章一書中,