普通物理學課件：第四章 剛體的定軸轉動

1、第四章 剛體的定軸轉動實際物體都是有形狀、大小的。當需要研究物體的自身運動時，物體不能被看作質(zhì)點。但很多情況下，可忽略物體在運動過程中的形變。剛體：物體內(nèi)任意兩點間的距離在運動中保持不變。研究方法：視剛體為無窮多質(zhì)點組成的質(zhì)點系。每一質(zhì)點的運動服從牛頓定律。而整個剛體的運動規(guī)律是所有質(zhì)點運動規(guī)律的疊加。剛體的一般運動平動（可看作質(zhì)點）轉動定軸轉動非定軸轉動（2）剛體的角動量、轉動慣量；（3）剛體的定軸轉動定理及其應用；（4）剛體的角動量定理和角動量守恒定律；（5）力矩的功、轉動動能、剛體的動能定理。主要內(nèi)容：（1）質(zhì)點的角動量和角動量守恒定律；4-1 剛體的運動定軸轉動：剛體上所有質(zhì)點均繞一固

2、定直線作圓周運動，該直線稱為轉軸。非定軸轉動：剛體上所有質(zhì)點繞一直線作圓周運動，該軸也在空間運動.平動：剛體內(nèi)任意兩點連線的方向在運動中保持不變。AAABBBpv本章主要討論剛體的定軸轉動4-2 質(zhì)點的角動量和角動量守恒定律（課本2-7 ）1、質(zhì)點的角動量：質(zhì)量為m的質(zhì)點以速度 在空間運動，某時刻對點O的位矢為 ，則質(zhì)點對的角動量為： 的方向符合右手法則大小：角動量單位：kgm2s-12、質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律：質(zhì)點的角動量定理：作用于質(zhì)點的合外力對參考點 O 的力矩，等于質(zhì)點對該點 O 的角動量變化率.質(zhì)點的角動量定理：對同一參考點O，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量。 恒矢量

3、 質(zhì)點的角動量守恒定律沖量矩：4-3 質(zhì)心、質(zhì)心運動定理（課本2-1 ）在討論質(zhì)點系的運動時，引入質(zhì)心（或質(zhì)心參照系）的概念，?？珊喕嬎?。設質(zhì)點系各質(zhì)點質(zhì)量m1、 m2、 mi、 mn，它們的位矢r1、 r2、 ri、 rn 。則質(zhì)心的位矢定義為：對質(zhì)量連續(xù)分布的物體：或：xyzomiC為質(zhì)點系總質(zhì)量。其中：質(zhì)心相對于質(zhì)點系中各質(zhì)點的位置是確定的，該位置不因坐標系的不同選擇而不同。例：質(zhì)量均勻的細桿，坐標原點選在一端。CoxdxL/2xM, L例：質(zhì)量均勻的細桿，坐標原點選在桿中央。CoxdxxM, L對質(zhì)量分布均勻，形狀對稱的物體，質(zhì)心就在其幾何中心。質(zhì)心、重心是兩個不同的概念，但物體不太

4、大時，質(zhì)心和重心位置重合。當以質(zhì)心為參照系時，質(zhì)點系總動量為零。質(zhì)心運動定理：由質(zhì)點系的動量定理：可見：一個質(zhì)點系質(zhì)心的運動，就好象一個質(zhì)點的運動。該質(zhì)點的質(zhì)量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量，而該質(zhì)點所受的力等于整個質(zhì)點系所受外力之和。即：稱為質(zhì)心運動定理。4-4 剛體的角動量、轉動慣量1、剛體定軸轉動的角量描述：角位移矢量：dt時間內(nèi)位矢轉過的角度。方向沿轉軸角速度矢量：角位移的時間變化率。定軸轉動剛體上任一質(zhì)元的線速度和角速度的關系為：p角加速度矢量：角速度的時間變化率。剛體定軸轉動時轉軸固定不動，所以各角量可用 標量表示。剛體定軸轉動時，各質(zhì)元角量 均相同，但 各質(zhì)元線量 均不同。 角量與線量的關系

5、：可見：研究剛體定軸轉動時用角量描述比用線量描述 方便得多。2、剛體的角動量：剛體定軸轉動不能用動量進行描述，而要用角動量進行描述。定義：剛體上任一質(zhì)元對轉軸的角動量：整個剛體對轉軸的角動量為：定義：剛體繞某定軸的轉動慣量：單位：kgm2所以，剛體對某轉軸的角動量：p3、轉動慣量的計算：轉動慣量是剛體轉動時慣性大小的量度，它的大小取決于：(1) 剛體質(zhì)量； (2) 質(zhì)量的分布； (3) 轉軸的位置。對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量體分布時：質(zhì)量面分布時：質(zhì)量線分布時：應用以下兩個定理，往往可簡化轉動慣量的計算：(1) 平行軸定理：(2) 正交軸定理：設zc為通過剛體質(zhì)心的轉軸，z為與zc平行的另一轉

6、軸。兩轉軸相距d，則：其中：md2相當于質(zhì)量全部集中于c時，對z軸的轉動慣量。 剛體對通過質(zhì)心轉軸的轉動慣量最小。薄板形剛體對板內(nèi)兩正交軸的轉動慣量之和等于剛體對過兩軸交點并垂直于板面的轉軸的轉動慣量。Czzcdyozx作業(yè)：證明這一定理作業(yè)：證明這一定理例題1： 求質(zhì)量為M、長為 L 的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量： （1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直； （2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直； （3）轉軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直。（1）棒上任取線元dx，其質(zhì)量為dm。L、MxdxC該線元對轉軸的轉動慣量為：整根棒對轉軸的轉動慣量為：L、MxdxL、MhCzzc（2）當轉軸取在棒的一端

7、時：（3）當轉軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直時：由平行軸定理：當h=L/2時，與(1)的情況相同，由上式：例題2： 求密度均勻的圓盤對通過中心并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。設圓盤的半徑為R，質(zhì)量為M。在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)，環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量為：轉動慣量：prdrM4-5 剛體的轉動定理外力對剛體定軸轉動的影響，與力的大小、方向、作用點的位置都有關。但外力在平行于轉軸方向的分力對剛體定軸轉動不起作用，所以只需考慮外力在垂直于軸的平面內(nèi)的分力。1、力矩：pfcosdof sin定義：外力相對于某固定軸的力矩為：力矩的大小：其中：稱為外力對轉軸的力臂。力矩的大小也可

8、以寫作：當有幾個外力同時作用于剛體時，合外力矩等于各外力力矩的矢量和：可見：只有垂直于位矢方向的分力 f sin 才對剛體定軸轉 動起作用。但對于作定軸轉動的剛體，合外力矩可用代數(shù)和表示： 剛體所受合外力為零時，合外力矩不一定為零，反之亦然。2、剛體的轉動定理：剛體中第i個質(zhì)元對轉軸的角動量為：對時間求導：其中：為第i個質(zhì)元所受的作用力；為fi對轉軸的力矩。對整個剛體：為所有質(zhì)元所受外力矩和內(nèi)力矩的矢量和：因為剛體內(nèi)每一對內(nèi)力的力矩均等值、反向，所以內(nèi)力矩對定軸轉動剛體的運動無影響。設 為剛體所受的合外力矩，則：剛體的轉動定理：剛體所受的合外力矩等于剛體對同一轉軸 角動量的時間變化率。非相對論

9、情況下，轉動慣量J為常量：所以，經(jīng)典力學中剛體的轉動定理可表示為：當外力矩一定時，轉動慣量越大，則角加速度越小。說明 轉動慣量J是剛體轉動慣性大小的量度。例題3 (課本P117:例題3-3)設 m1 m2，定滑輪可看作勻質(zhì)圓盤，其質(zhì)量為M而半徑為r 。繩的質(zhì)量不計且與滑輪無相對滑動，滑輪軸的摩擦力不計。求： m1 、 m2的加速度及繩中的張力。隔離滑輪及重物，畫受力分析圖。因繩的質(zhì)量不計，所以：T 1= T 1 ， T 2= T 2 。m1m2Mm2 gMroT2T1m1 gT2T1aa解方程：若滑輪質(zhì)量不計，即M=0，則：4-6 剛體的角動量定理和角動量守恒定律外力矩持續(xù)作用一段時間后，剛體

10、的角速度才會改變。1、剛體的角動量定理：由轉動定理：式中稱為合外力矩在 t = t2-t1內(nèi)的沖量矩(N m s)。角動量定理：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在同一 時間內(nèi)角動量的增量。角動量定理對非剛體也成立，此時：2、角動量守恒定律：當物體所受合外力矩為零時，有：即：當物體所受合外力矩為零時，物體的角動量保持不變。角動量守恒的兩種情況：(1) 轉動慣量和角速度都不變；(2) 轉動慣量和角速度都改變，但兩者的乘積保持不變。例題4質(zhì)量為 M，半徑為R的轉臺，可繞垂直中心軸無摩擦地轉動，質(zhì)量為m的人站在臺邊。開始時，人與轉臺都靜止。若人沿臺邊走動一周。求：轉臺和人相對地面各轉動了多少角度？設人

11、對地角速度 ，轉臺對地角速度 ，人對轉臺角速度rel ，則：人與轉臺系統(tǒng)地角動量守恒：得：所以人對地轉過的角度：（設T為人沿轉臺走一周所需時間）轉臺對地轉過的角度：負號表示人與轉臺的轉動方向相反。4-7 剛體的動能定理1、力矩的功：剛體定軸轉動時，剛體內(nèi)每一對質(zhì)元間內(nèi)力的合力矩為零，所以研究剛體定軸轉動時只需考慮外力矩的作用。podsd設剛體在外力作用下產(chǎn)生元位移ds，則外力對剛體所作的元功為：式中：為外力對轉軸的力矩。所以：當剛體在外力矩作用下由角位置0轉到時，外力矩作功：外力矩的功率為：可見：功率一定時，轉速越低則外力矩越大。2、剛體的轉動動能：剛體定軸轉動時，某質(zhì)元mi的動能為：整個剛體

12、的動能為：即：轉動動能是剛體轉動時動能的角量表示，而不是區(qū)別于 平動動能的另一種形式的能量。3、剛體定軸轉動的動能定理：由轉動定理：得：即：合外力矩對定軸轉動剛體所作的功等于剛體轉動 動能的增量。4、剛體的重力勢能：hcCEp=0將剛體的全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時，該質(zhì)心所擁有的重力勢能，即為整個剛體的重力勢能。若轉軸通過質(zhì)心，則剛體的重力勢能在剛體轉動時保持不變。勻變速直線運動勻變速轉動運動學牛頓第二定律轉動定律動量定理角動量定理動量守恒角動量守恒動能定理動能定理動力學質(zhì)點直線運動（剛體平動）剛體定軸轉動 質(zhì)量為 m，長為l的均勻細桿，可繞水平轉軸在豎直平面內(nèi)無摩擦轉動。轉軸離桿一端l/3，設桿由

13、水平位置自由轉下，求：(1)桿在水平位置時的角加速度；(2)桿在豎直位置時的角速度和角加速度；(3)桿在豎直位置時對轉軸的作用力。例題5oCmgABl/3(1)重力的作用點在質(zhì)心C。由轉動定理：得：(2)由機械能守恒：得：(3)由質(zhì)心運動定理：oCmgN所以：而桿對轉軸的作用力大小等于N，但方向向下。例題6一磨輪半徑0.10m，質(zhì)量25kg，以50r/s的轉速轉動.用工具以200N的正壓力作用在輪邊緣，使它在10s內(nèi)停止轉動，求工具與磨輪之間的磨擦因數(shù)。f=FFMo磨擦阻力矩：磨輪轉動慣量：由轉動定理：為常量，所以磨輪作勻變速轉動：得：例題7一滑輪半徑R = 0.10m，質(zhì)量M=15kg，一細繩跨過滑輪，可帶動滑輪繞水平軸轉動，重物m1=50kg，m2=200kg。不考慮磨擦，求重物加速度和細繩的張力。RMm1m2隔離物體、畫出受力圖、分析運動情況。由牛頓第二定律和轉動定理列方程：解得：m2 gm2T2T2T1T1RMaam1例題8課本P141習題3-22長l = 0.40m的勻質(zhì)木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸o在豎直平面內(nèi)無摩擦轉動，開始時棒處于豎直位置，現(xiàn)有質(zhì)量m=8g，v=200m/s的子彈從A點射入棒中。 AO=3l/4