排列組合、二項(xiàng)式定理與概率及統(tǒng)計(jì)頁

1、14/14主講人：黃岡中學(xué)高級(jí)教師湯彩仙一、復(fù)習(xí)策略排列與組合是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個(gè)組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，該部分內(nèi)容，不論其思想方法和解題都有專門性，概念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，解題過程極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤，同時(shí)結(jié)果數(shù)目較大，無法一一檢驗(yàn)，因此給考生帶來一定困難解決問題的關(guān)鍵是加深對(duì)概念的理解，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)不，科學(xué)周全的考慮、分析問題二項(xiàng)式定理是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，把握二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng)公式的相互聯(lián)系和應(yīng)用是重點(diǎn)概率則是概率論入門，目前的概率知識(shí)只是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計(jì)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊學(xué)習(xí)中要注意差不多概念的理

2、解，要注意與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，要通過一些典型問題的分析，總結(jié)運(yùn)用知識(shí)解決問題的思維規(guī)律縱觀近幾年高考，排列、組合、二項(xiàng)式定理幾乎每年必考，考題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題小而靈活，涉及知識(shí)點(diǎn)都在兩三個(gè)左右，綜合運(yùn)用排列組合知識(shí)，分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理；二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)計(jì)算或論證一些較簡單而有味的小題也在高考題中常見，概率及概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，從近幾年新課程卷高考來看，每年都有一道解答題，占12分左右排列與組合的應(yīng)用題，是高考常見題型，其中要緊考查有附加條件的應(yīng)用問題.解決這類問題通常有三種途徑:(1)以元素為主，應(yīng)先滿足專門元素的要求，再考慮其他元素.(2)以位置為主考慮，即先滿足專門

3、位置的要求，再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).（4）某些元素要求必須相鄰時(shí)，能夠先將這些元素看作一個(gè)元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；（5）某些元素不相鄰排列時(shí)，能夠先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)注意：(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理依舊分步計(jì)數(shù)原理；(3)分析題目條件，幸免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；(4)列出式子計(jì)算和作答二、典例剖析題型一：排列組合應(yīng)用題解決此類問題的方法是：直接法，先

4、考慮專門元素（或?qū)ｉT位置），再考慮其他元素（或位置）；間接法，所有排法中減去不合要求的排法數(shù)；關(guān)于復(fù)雜的應(yīng)用題，要合理設(shè)計(jì)解題步驟，一般是先分組，后分步，要求不重不漏，符合條件例1、（08安徽理12）12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）ABCD解：從后排8人中選2人共種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為；綜上知選C例2、（08湖北理6）將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至

5、少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（）A540B300C180D150解：將5分成滿足題意的3份有1，1，3與2，2，1兩種，因此共有種方案，故D正確例3、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險(xiǎn)的，沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（）A96B48C24D0解：由題意分析，如圖，先把標(biāo)號(hào)為1，2，3，4號(hào)化工產(chǎn)品分不放入4個(gè)倉庫內(nèi)共有種放法；再把標(biāo)號(hào)為5，6，7，8號(hào)化工產(chǎn)品對(duì)應(yīng)按要求安全存放：7放入，8放入，5放入，6放入；或者6放入，7放入，8放入，5放

6、入；兩種放法綜上所述：共有種放法故選B例4、在正方體中，過任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線中成異面直線的有_對(duì)解法一：連成兩條異面直線需要4個(gè)點(diǎn)，因此在正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有種取法每4個(gè)點(diǎn)可分共面和不共面兩種情況，共面的不符合條件得去掉.因?yàn)樵?個(gè)表面和6個(gè)體對(duì)角面中都有四點(diǎn)共面，故有種但不共面的4點(diǎn)可構(gòu)成四面體，而每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線，故共有對(duì)解法二：一個(gè)正方體共有12條棱、12條面對(duì)角線、4條體對(duì)角線，計(jì)28條，任取兩條有種情況，除去其中共面的情況：（1）6個(gè)表面，每個(gè)面上有6條線共面，共有條；（2）6個(gè)體對(duì)角面，每個(gè)面上也有6條線共面，共有條；（3）從同一頂點(diǎn)動(dòng)身有3條面對(duì)角線，任意兩條線都

7、共面，共有，故共有異面直線=174對(duì)題型二：求展開式中的系數(shù)例5、（08廣東理10）已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則_解：按二項(xiàng)式定理展開的通項(xiàng)為，我們明白的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1例6、若多項(xiàng)式，則a9等于（）A9B10C9D10解：=例7、展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)解：，依題意有，n=8則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則有則系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)為例8、求證：證：（法一）倒序相加：設(shè)又，由得：，即（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為，（法三）：題型三：求復(fù)雜事件的概率例9、（08福建理5

8、）某一批花生種子，假如每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）ABCD解：由例10、甲、乙兩個(gè)圍棋隊(duì)各5名隊(duì)員按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，雙方1號(hào)隊(duì)員先賽，負(fù)者被淘汰，然后負(fù)方的隊(duì)員2號(hào)再與對(duì)方的獲勝隊(duì)員再賽，負(fù)者又被淘汰，一直如此進(jìn)行下去，直到有一方隊(duì)員全被淘汰時(shí)，另一方獲勝，假設(shè)每個(gè)隊(duì)員的實(shí)力相當(dāng)，則甲方有4名隊(duì)員被淘汰，且最后戰(zhàn)勝乙方的概率是多少？解：依照競賽規(guī)則可知，一共競賽了9場(chǎng)，同時(shí)最后一場(chǎng)是甲方的5號(hào)隊(duì)員戰(zhàn)勝乙方的5號(hào)隊(duì)員，而甲方的前4名隊(duì)員在前8場(chǎng)競賽中被淘汰，也確實(shí)是在8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中該事件恰好發(fā)生4次的概率，可得，又第9場(chǎng)甲方的5號(hào)隊(duì)員戰(zhàn)勝乙方的5號(hào)隊(duì)

9、員的概率為，因此所求的概率為題型四：求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，預(yù)備開車到單位B處上班. 若該地各路段發(fā)生堵車事件差不多上相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖（例如：ACD算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最?。唬?）若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件差不多上獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，因此路線ACDB中遇到堵車的概率P1

10、為=11P（AC）1P（CD）1P（DB）=1；同理：路線ACFB中遇到堵車的概率P2為1P（小于）路線AEFB中遇到堵車的概率P3為1P（小于）顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小只可能在以上三條路線中選擇因此選擇路線ACFB，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最?。?）路線ACFB中遇到堵車次數(shù)可取值為0，1，2，3答：路線ACFB中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為例12、如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分不位于一個(gè)單位正方體的點(diǎn)和點(diǎn)，每只小螞蟻都能夠從每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地沿各條棱向各個(gè)方向移動(dòng)，但不能按原線路返回比如，甲在處時(shí)能夠沿、三個(gè)方向移動(dòng)，概率差不多上；到達(dá)點(diǎn)時(shí)，可能沿、兩個(gè)方向移動(dòng)，

11、概率差不多上，已知小螞蟻每秒鐘移動(dòng)的距離為1個(gè)單位()若甲、乙兩只小螞蟻都移動(dòng)1秒鐘，則它們所走的路線是異面直線的概率是多少？它們之間的距離為的概率是多少？()若乙螞蟻不動(dòng)，甲螞蟻移動(dòng)3秒鐘后，甲、乙兩只小螞蟻之間的距離的期望值是多少？解：()甲螞蟻移動(dòng)1秒能夠有三種的走法：即沿、三個(gè)方向，當(dāng)沿方向時(shí)，要使所走的路線成異面直線，乙螞蟻只能沿、C1C方向走，概率為，同理當(dāng)甲螞蟻沿方向走時(shí)，乙螞蟻?zhàn)?、C1C，概率為，甲螞蟻沿時(shí)，乙螞蟻?zhàn)?、，概率為，因此他們所走路線為異面直線的概率為；甲螞蟻移動(dòng)1秒能夠有三種走法：即沿、三個(gè)方向，當(dāng)甲沿方向時(shí)，要使他們之間的距離為，則乙應(yīng)走，現(xiàn)在的概率為，同理，甲螞

12、蟻沿方向走時(shí)、甲螞蟻沿方向走時(shí)，概率都為，因此距離為的概率為()若乙螞蟻不動(dòng)，甲螞蟻移動(dòng)3秒后，甲乙兩個(gè)螞蟻之間距離的取值有且只有兩個(gè)：和，當(dāng)時(shí)，甲是按以下路線中的一個(gè)走的：、，因此其概率為，當(dāng)時(shí)，甲是按以下路線中的一個(gè)走的：、因此其概率為，因此三秒后距離期望值為例13、（08湖北理17）袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)（n=1，2，3，4）.現(xiàn)從袋中任取一球表示所取球的標(biāo)號(hào)（）求的分布列，期望和方差；（）若=ab，E=1，D=11，試求a，b的值解：（1）的分布列為：01234因此（2）由，得，即，又，因此當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，或，即為所求題型五：統(tǒng)計(jì)

13、知識(shí)例14、（08廣東）某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)女生373男生377370A24B18C16D12解：依題意我們明白二年級(jí)的女生有380人，那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是500，即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為答案：C例15、在某校進(jìn)行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布已知成績?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名（）試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？（）若該校打算獎(jiǎng)勵(lì)競

14、賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.901