數(shù)學(xué)建模1997年零件的參數(shù)設(shè)計(jì)

1、 暑 期 培 訓(xùn)數(shù) 學(xué) 建 模 競(jìng) 賽（1997年）零件的參數(shù)設(shè)計(jì)一.問(wèn)題的提出 一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成,標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù).零件的參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分,進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí),標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值,容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍. 若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量,則標(biāo)定值代表期望值,在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí),容差通常規(guī)定為均方差的3倍. 進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì),就是要確定標(biāo)定值和容差,這時(shí)要考慮兩方面因素:一、 是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí),如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,就會(huì)造成質(zhì)量損失,偏離越大,損失越大.二、 是零件容差的大小決定了其制造成本,容差設(shè)計(jì)得越小

2、,成本越高. 試通過(guò)如下的具體問(wèn)題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法. 粒子分離器某參數(shù)(記作Y)由7個(gè)零件參數(shù)(記作: )決定. 經(jīng)驗(yàn)公式為: Y=目標(biāo)值(記作 )為1.50 當(dāng)Y偏離 0.1時(shí),產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失為1000元, 當(dāng)Y偏離 0.3時(shí),產(chǎn)品為廢品,損失為9000元. 零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍,容差分 為 A,B,C 三個(gè)等級(jí),用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示值: A等為1,B等為5,C等為10 7個(gè)零件參考標(biāo)定值的容許范圍,及不同容差等級(jí) 零件的成本(元)如下表: (符號(hào)/表示無(wú)此等級(jí)零件)標(biāo)定值允許范圍C等B等A等0.075 , 0.125 /25(元) /0.225 , 0.3

3、75 20 50 /0.075 , 0.125 20 50 2000.075 , 0.125 50 100 5001.125 ,1.875 50 / /12 , 20 10 25 1000.5625 , 0.935 / 25 100 現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn),每批產(chǎn)量1,000個(gè),在原設(shè)計(jì)中,7個(gè) 零件參數(shù)的標(biāo)定值為: 容差均取最便宜的等級(jí). 請(qǐng)你綜合考慮 y 偏離 造成的損失和零件成本,重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)(包括標(biāo)定值和容差),并與原設(shè)計(jì)比較,計(jì)算出總費(fèi)降低了多少?二.名詞的符號(hào)說(shuō)明:1. 標(biāo)定值標(biāo)志產(chǎn)品性能的一批零件參數(shù)的平均值.2. 容差參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍.3. 質(zhì)量損失產(chǎn)品組裝時(shí),產(chǎn)品參數(shù)偏

4、離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,所形成的次品,廢品損失.4. 容差等級(jí)容差分為A.B.C三個(gè)等級(jí),用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示 . A等:0.01, B等:0.05, C等:0.1,不同等級(jí)的零件成本不同. 零件參數(shù)(隨機(jī)變量).6 . 零件參數(shù)的標(biāo)定值7. 零件參數(shù)的均方差 零件參數(shù)的絕對(duì)容差： 零件參數(shù)的相對(duì)容差: 10. 產(chǎn)品的質(zhì)量損失.11. C 產(chǎn)品成本, 7個(gè)零件成本 12. Y 產(chǎn)品參數(shù)（用來(lái)表明產(chǎn)品的質(zhì)量特性）13. 產(chǎn)品質(zhì)量特性的目標(biāo)值. =1.5014. 產(chǎn)品參數(shù)y的均方差 三.問(wèn)題分析與要求 1.)本問(wèn)題是一個(gè)有條件約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題, 問(wèn)題的約束條件由零件參數(shù)(標(biāo)定值,容差)的變化范圍

5、所確定, 參數(shù)標(biāo)定值的有效取值范圍及容差等級(jí)構(gòu)成問(wèn)題解的可行域, 問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為由產(chǎn)品參數(shù)偏離目標(biāo)值引起的質(zhì)量損失費(fèi)用和產(chǎn)品的成本費(fèi)用構(gòu)成的總費(fèi)用(平均每件產(chǎn)品). 在原設(shè)計(jì)中,7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值為標(biāo)定值允許范圍的中點(diǎn),容差均取最便宜的等級(jí). 2.) 由于將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量,參數(shù)的取值具有隨機(jī)性,所以應(yīng)考慮用概率論的方法來(lái)生成目標(biāo)函數(shù),質(zhì)量損失與產(chǎn)品參數(shù)有關(guān),指成批生產(chǎn)時(shí),平均每件產(chǎn)品由于產(chǎn)品參數(shù)偏離目標(biāo)值所形成 的次品,廢品損失. 不考慮生產(chǎn)過(guò)程中由于工藝失誤造成的產(chǎn)品的損壞.3.) 零件成本與零件的容差等級(jí)有關(guān),容差等級(jí)確 定后,零件成本為一定值,容差等級(jí)由零件容差 與標(biāo)定值的相對(duì)

6、值表示：即 所以產(chǎn)品的質(zhì)量損失與零件成本相互聯(lián)系,相互影響,在求最小費(fèi)用時(shí)需綜合考慮 y 偏離造成的質(zhì)量損失和零件成本 即要求：根據(jù)題目給定的零件參數(shù) 標(biāo)定值的容許變化范圍及容差等級(jí)，設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），使產(chǎn)品的總費(fèi)用最少將優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果與原設(shè)計(jì)結(jié)果比較，計(jì)算總費(fèi)用降低了多少？ 4.)求解這個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，我們可以分兩 步來(lái)考慮，固定各零件容差等級(jí),（對(duì)應(yīng)固 定 零件參數(shù)的方差和成本）選擇零件參數(shù)標(biāo)定值 使得質(zhì)量損失最小，在此基礎(chǔ)上，固 定零件 參數(shù)標(biāo)定值，在所有容差等級(jí)選取方 法 （108 種)中選取使得成本最小的配置注：這種分兩步走的方法雖然并不完全等價(jià) 于 原來(lái)的非線性規(guī)

7、劃，但它卻可以使問(wèn)題大 大簡(jiǎn)化，實(shí)際上，這也是工業(yè)上采用的零件 參數(shù)設(shè) 計(jì)的一般方法5.)根據(jù)大數(shù)定律（成批生產(chǎn)），可以確定 7個(gè)零件參數(shù)是相互獨(dú)立的正態(tài) 分 布隨機(jī)變量，產(chǎn)品的性能參數(shù) y由這些零件參 數(shù)所決定,（隨機(jī)變量的函數(shù)）但由于 y 的經(jīng)驗(yàn)公式很復(fù)雜，無(wú)法解析地給出 y 的具體分布一種處理方法是采用蒙特卡羅方法，通過(guò) 計(jì)算機(jī)模擬來(lái)獲得 y 的分布，另一種方法，也可通過(guò)對(duì) y 的經(jīng)驗(yàn)公式作某種近似（如線性化）以期能解析地給出 y 的近似分布四.假設(shè) 組成產(chǎn)品的各個(gè)零件在生產(chǎn)過(guò)程中互不影響, 而且這些零件可以無(wú)困難地組裝成一 件產(chǎn)品.即若視各零件參數(shù)為隨機(jī)變量時(shí),這些隨機(jī)變 量相互獨(dú)立.

8、2. 零件參數(shù)的標(biāo)定值為零件參數(shù)的數(shù)學(xué)期望,且有一定的容許變化范圍,零件參數(shù)在其容許范 圍內(nèi)可連續(xù)變化.產(chǎn)品質(zhì)量可根據(jù)產(chǎn)品性能參數(shù)分為三個(gè)等級(jí): 正品: 無(wú)質(zhì)量損失, 次品: 質(zhì)量損失1000元, 廢品: 質(zhì)量損失為9000元. 生產(chǎn)過(guò)程中無(wú)其它由于工藝失誤造成的產(chǎn)品 損失.4. 零件容差分為A,B,C三個(gè)等級(jí),用與標(biāo)定值的相 對(duì)值表示: A等:1, B等:5, C等:10. 一般情況下,容差規(guī)定為均方差的3倍.在大批量生產(chǎn)中,整批零件都處在同一等級(jí),即每件產(chǎn)品都使用相同等級(jí)的零件. 五.模型的建立及求解 1.質(zhì)量損失函數(shù) 注: 在本問(wèn)題中,總費(fèi)用由產(chǎn)品參數(shù)偏離目標(biāo)值引 起的質(zhì)量損失費(fèi)用和產(chǎn)品

9、成本費(fèi)用兩部分組成,可用兩種不同形式來(lái)表示其目標(biāo)函數(shù). .質(zhì)量損失是對(duì)整個(gè)社會(huì)而言的,題目說(shuō):如果產(chǎn) 品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,就會(huì)造成質(zhì)量損失,偏離越大,損失越大,這意味著只要 不 等于零(y：產(chǎn)品參數(shù)， ：其目標(biāo)值）就有損失，于是質(zhì)量損失函數(shù)(y)應(yīng)該是的連 續(xù)函數(shù) 考慮到題目所給條件： 損失1000元, 時(shí)損失9000元, 可合理地假設(shè)質(zhì)量損失函數(shù)為 的二次函數(shù):. 質(zhì)量損失僅對(duì)工廠而言 由題目所給條件,y 偏離 時(shí)產(chǎn)品為次品,偏離 時(shí)產(chǎn)品為廢品,這里認(rèn)為產(chǎn)品就是工 廠出售的最終產(chǎn)品,于是正品沒(méi)有損失,只要是次品,損失都一樣(1000元),廢品損失也一樣(9000元). 所以設(shè)質(zhì)量損失

10、函數(shù)為以下分段函數(shù) 2.基本模型 該問(wèn)題為一非線性規(guī)劃問(wèn)題,其數(shù)學(xué)模型由 于質(zhì)量損失函數(shù)的不同可歸結(jié)為以下兩種形式: 模型 (1). 質(zhì)量損失函數(shù): 目標(biāo)函數(shù): s,t 其中：L(y)表示大量生產(chǎn)時(shí)，平均每件 產(chǎn)品的質(zhì)量損失費(fèi)用 為第 i 種零件的成本 由于： 其中: 為了得到Ey 和 的簡(jiǎn)單表達(dá)式,在處,對(duì) y= 作Taylar展開(kāi)，并略去二 階及二階以上諸項(xiàng). 模型(1).為: 目標(biāo)函數(shù): s.t. 注: 在以上推導(dǎo)過(guò)程中只用到隨機(jī)變量 的期望和方差,與y的概率分布無(wú)關(guān),這里的誤差來(lái)源于y的Taylar展開(kāi)式中忽略的高階項(xiàng).模型(2). 質(zhì)量損失函數(shù): 注: 由于零件參數(shù) 是隨機(jī)變量 的標(biāo)

11、定值,即 ,所以,當(dāng)進(jìn)行大批量生產(chǎn)時(shí), 根據(jù)概率論中的大數(shù)定律,就有 , ,由假設(shè) 為相互獨(dú)立的隨機(jī) 變量, 由于: 、 、 b.)次品的概率: c.廢品的概率: 模型(2)為 目標(biāo)函數(shù) S.T. 3.基本解法 注:在求解過(guò)程中存在兩種錯(cuò)誤的求解思路. 想法1: 認(rèn)為要使 最小,首先必須選 ,滿 足 然后再確定容差. 這種想法是不對(duì)的,因?yàn)檫@樣固然可以使 中的第一項(xiàng)(質(zhì)量損失)消失, 但是第二 項(xiàng)(產(chǎn)品成本 , 其中: ) 也與 有關(guān),滿足 的 不一定能使 兩項(xiàng)之和(總費(fèi)用)最小. 想法2: 認(rèn)為可選 ,使之滿足 , 如取 然后再對(duì)于這樣一些 確定容差,經(jīng)過(guò)比較得到最終的解. 這樣做雖然可得到

12、相當(dāng)不錯(cuò)的數(shù)字結(jié)果,但從理論上說(shuō)是有缺陷的,因?yàn)闈M足 的 位于一個(gè)非常復(fù)雜的多維區(qū)域內(nèi),不可能對(duì)所有的 進(jìn)行比較. (1).模型1的解法: 由于模型中目標(biāo)函數(shù)的決策變量 是連續(xù)的. 是離散的,而且 t 的不同取值有1233132= 108種,求解可采用兩步走的策略,將該問(wèn)題分解為以下兩個(gè)子問(wèn)題. 其中 為子問(wèn)題 當(dāng) t 取定一 組值時(shí)的最優(yōu)解 注: 求 可用手算或用mathematica軟件計(jì)算,然后轉(zhuǎn)換 語(yǔ)言可以認(rèn)可的形式,直接用c語(yǔ)函數(shù)求得精度較高的值,子問(wèn)題 是非線性規(guī)劃模型,可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件包(如 lingo)求解. (2).模型2的解法. : 目標(biāo)函數(shù) min s.t 目標(biāo)函數(shù) s

13、.t 其中: 可用mathematica軟件計(jì)算數(shù)值積分, 或由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查出. 注: 在編過(guò)程中,可設(shè)計(jì)某種減少子問(wèn)題數(shù)目的程序. 例如:1.) 按照c(t)的數(shù)值由小到大排序,依次計(jì)算,每解出一個(gè)子問(wèn)題,立即由 算出當(dāng)前的最優(yōu)值: 對(duì)下一次待求解的子問(wèn)題 ,先判斷 是否成立,若成立,則該子問(wèn)題不必再解. 2.) 設(shè)計(jì)一種迭代程序, 和 t一個(gè)固定,另一個(gè)優(yōu)選,反復(fù)進(jìn)行直到它們不再變化為止. 3.) 考察子問(wèn)題 的最優(yōu)值可發(fā)現(xiàn), 其對(duì)應(yīng)的 的值都在1.50.3之間,因此,在解子問(wèn)題 之前先檢驗(yàn) 的值,對(duì)超過(guò)這個(gè)范圍的初值,該子問(wèn)題可以不解. 4.計(jì)算結(jié)果 (1.)對(duì)于模型1. 參數(shù)標(biāo)定值

14、 : =(0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5625)容差等級(jí): =(B,B,B,C,C,B,B)平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失=473.7 (元)產(chǎn)品成本 C=275 (元)總費(fèi)用 (元) 原設(shè)計(jì): 參數(shù)標(biāo)定值 =(0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75) 容差等級(jí) t =(B,C,C,C,C,C,B) 平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失 =6307 (元) 產(chǎn)品成本 C=200 (元) 總費(fèi)用 =6507 (元) 與原設(shè)計(jì)相比,總費(fèi)用降低了 6507-748.7=5758.3 (元) (2.)對(duì)于模型2.=(0.075,0.345,0.123,0.115,1.273,12,0.771)