平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)

1、平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)第1頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 27.1 最小均方誤差預(yù)測(cè)考慮預(yù)測(cè)問題首先要確定衡量預(yù)測(cè)效果的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)很自然的思想就是預(yù)測(cè)值 與真值 的均方誤差達(dá)到最小，即設(shè) 預(yù)測(cè)值 與真值 的均方誤差 我們的工作就是尋找 ，使上式達(dá)到最小。下面我們證明最小均方誤差預(yù)測(cè)就是 第2頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 3條件無偏均方誤差最小預(yù)測(cè) 設(shè)隨機(jī)序列 ，滿足 ，則 如果隨機(jī)變量 使得 達(dá)到最小值，則如果隨機(jī)變量 使得 達(dá)到最小值，則 第3頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)

2、大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 4因?yàn)?可以看作為當(dāng)前樣本和歷史樣本 的函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當(dāng) 時(shí)， 使得 達(dá)到最小。對(duì)于ARMA模型，下列等式成立： 第4頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 5ARMA模型的預(yù)測(cè)方差和預(yù)測(cè)區(qū)間 如果ARMA模型滿足因果性，則有 所以，預(yù)測(cè)誤差為 第5頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 6由此，我們可以看到在預(yù)測(cè)方差最小的原則下， 是 當(dāng)前樣本 和歷史樣本 已知條件下得到的條件最小方差預(yù)測(cè)值。其預(yù)測(cè)方差只與預(yù)測(cè)步長(zhǎng) 有關(guān)，而與預(yù)測(cè)起始點(diǎn)t無關(guān)。當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng) 的值越大時(shí)，預(yù)測(cè)值的方差也越大，因此

3、為了預(yù)測(cè)精度，ARMA模型的預(yù)測(cè)步長(zhǎng) 不宜過大，也就是說使用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間序列分析只適合做短期預(yù)測(cè)。 第6頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 7進(jìn)一步地，在正態(tài)分布假定下，有 由此可以得到 預(yù)測(cè)值的95%的置信區(qū)間為 或者 第7頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 87.2 對(duì)AR模型的預(yù)測(cè)首先考慮AR(1)模型 當(dāng) 時(shí)，即當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測(cè)為 當(dāng) ，當(dāng)前時(shí)刻為t的 步預(yù)測(cè) 第8頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 9對(duì)于AR(p)模型 當(dāng) 時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測(cè)為

4、 當(dāng) ，當(dāng)前時(shí)刻為t的 步預(yù)測(cè) 第9頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 10例7.1 設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列 來自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信區(qū)間。 解： 第10頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 11根據(jù)第三章，可以計(jì)算模型的格林函數(shù)為 所以 的95%的置信區(qū)間為（1.076，3.236） 的95%的置信區(qū)間為 （2.296，3.952）第11頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 12例7.2 已知某商場(chǎng)月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月) 2006年第一

5、季度該商場(chǎng)月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場(chǎng)2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。 第12頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 13求第二季度的四月、五月、六月的預(yù)測(cè)值分別為 第13頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 14計(jì)算模型的格林函數(shù)為四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區(qū)間分別為 四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35）第14頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 15

6、7.3 MA模型的預(yù)測(cè)對(duì)于MA(q)模型 我們有 當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng) ， 可以分解為當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng) ， 可以分解為第15頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 16MA(q)模型預(yù)測(cè)方差為 第16頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 17例7.3 已知某地區(qū)每年常住人口數(shù)量近似的服從MA(3)模型（單位：萬人） 2002年2004年的常住人口數(shù)量及1步預(yù)測(cè)數(shù)量見表年份人口數(shù)量預(yù)測(cè)人口數(shù)量200220032004104108105110100109第17頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 18預(yù)

7、測(cè)未來5年該地區(qū)常住人口數(shù)量的95%的置信區(qū)間。第18頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 19預(yù)測(cè)年份95%的置信區(qū)間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第19頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 207.4 ARMA模型的預(yù)測(cè)關(guān)于ARMA模型 有 第20頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 21第21頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 22 例7.4 已知

8、ARMA(1, 1)模型為 且 ，預(yù)測(cè)未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。第22頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 23首先計(jì)算未來3期預(yù)測(cè)值 計(jì)算模型的格林函數(shù)為第23頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 24計(jì)算預(yù)測(cè)方差 計(jì)算 得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間 預(yù)測(cè)時(shí)期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第24頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 257.5 預(yù)測(cè)值的適時(shí)修正 對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)

9、測(cè)，實(shí)際就是利用已有的當(dāng)前信息和歷史信息對(duì)于序列未來某個(gè)時(shí)期 進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)的步長(zhǎng)值越大，預(yù)測(cè)精度越差。 隨著時(shí)間的向前推移，在原有時(shí)間序列觀測(cè)值的基礎(chǔ)上，我們會(huì)不斷獲得新的觀測(cè)值。顯然，如果把新的觀測(cè)值加入歷史數(shù)據(jù)，就能夠提高對(duì)的預(yù)測(cè)精度。所謂預(yù)測(cè)值的修正就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測(cè)值。 第25頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 26例7.2續(xù) 假設(shè)一個(gè)月后已知四月份的真實(shí)銷售額為100萬元，求第二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測(cè)值及95%的置信區(qū)間。 因?yàn)?根據(jù)上述公式可以計(jì)算五月、六月的修正預(yù)測(cè)值如下： 第26頁，共27頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 27修正預(yù)測(cè)方差為 步預(yù)測(cè)銷