理論力學(xué)空間力系

1、理論力學(xué)空間力系第1頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四工程實(shí)際中的空間力系問(wèn)題第2頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四工程實(shí)際中的空間力系問(wèn)題第3頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四實(shí)際工程中，絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)所受力系的作用線往往不在同一平面內(nèi)，構(gòu)成了空間力系，空間力系是最一般的力系。第4頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.1 空間力的投影及其分解若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角, 則用直接投影法(一次投影法)yxzFFxFyFzikjO第5頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四當(dāng)力與坐標(biāo)

2、軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時(shí), 可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上, 得到力矢量Fxy, 然后再把這個(gè)力投影到x 、y軸上, 這叫間接投影法(二次投影法)。yxzFFxFyFzgO第6頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四空間力的分解yxzFFxFyFzikjO第7頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.2 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩3.2.1 力矩矢rxyzOFA(x,y,z)B空間力對(duì)點(diǎn)的矩要考慮三個(gè)方面: 力矩的大小、指向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量MO(F)表示。其模表示力矩的大小(Fh); 指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法

3、則); 方位表示力矩作用面的法線。MO(F)h以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑第8頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢這樣,在圖示坐標(biāo)系中有xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik第9頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik第10頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四FzFxFy3.2.2 力對(duì)軸的矩第11頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.2.2 力對(duì)軸的

4、矩力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)的矩。即:第12頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四符號(hào)規(guī)定：從z軸正向往負(fù)向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。第13頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四由定義可知：當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。 當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，它對(duì)于軸的矩不變。第14頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.2.3 力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyF

5、xyabxy設(shè)力F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為Fx, Fy, Fz, 力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z), 則同理可得其它兩式。故有第15頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式得即: 力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。3.2.4 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系第16頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四例3-1 求力F 在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解: yxzFjqbcaFxyFxFyFz第17頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.3 空間力偶系FFABdOrBrArBA3.3.1 力

6、偶矩矢力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng), 可用力偶矩矢來(lái)度量, 即用力偶中兩個(gè)力對(duì)空間某點(diǎn)之矩的矢量和來(lái)度量。表明力偶對(duì)空間任意點(diǎn)的矩與矩心位置無(wú)關(guān), 以記號(hào)M(F, F)或M表示力偶矩矢, 則第18頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四力偶矩矢為一自由矢量。FF3.3 空間力偶系MFABdOrBrArBAdBACF第19頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.3 空間力偶系3.3.2 空間力偶等效定理FFFF空間力偶的等效條件是: 兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等。力偶由一個(gè)平面平行移至剛體另一個(gè)平行平面不影響它對(duì)剛體的作用效果。第20頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，1

7、7點(diǎn)3分，星期四力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系?？臻g力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶, 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即: 3.3 空間力偶系3.3.3 空間力偶系的合成證明: 略第21頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四根據(jù)合矢量投影定理: 于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定: 3.3 空間力偶系第22頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四空間力偶系可以合成一合力偶, 所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是: 合力偶矩矢等于零。即: 因?yàn)? 所以: 上式即為空間力偶系的平衡方程。3.3 空間力偶系3.3.4 空間力偶系的平衡第23頁(yè)，

8、共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四空間力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化可得到一空間匯交力系和一空間力偶系, 如圖。FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz3.4.1 空間任意力系的簡(jiǎn)化3.4 空間任意力系的簡(jiǎn)化第24頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四空間匯交力系可合成一合力FR: 力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。3.4.1 空間任意力系的簡(jiǎn)化MOFROxyz空間力偶系可合成為一合力偶, 其矩矢MO: 力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩矢的矢量和稱為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。第25頁(yè)，共59頁(yè)，2022

9、年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四主矢的大小和方向?yàn)? 或第26頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四根據(jù)合力矩定理,得到主矩在三個(gè)方向的投影為: 于是主矩的大小和方向可由下式確定: 3.4 空間任意力系的簡(jiǎn)化第27頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析空間任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況: (1) FR0, MO0 ; (2) FR 0, MO 0 ; (3) FR 0, MO0 ; (4) FR0, MO 0 第28頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四 1) 空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶的

10、情形FR0, MO0簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)與原力系等效的合力偶, 其合力偶矩矢等于對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。此時(shí)力偶矩矢與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān)。 FR 0, MO 0這時(shí)得一與原力系等效的合力, 合力的作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心O, 其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2) 空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力的情形第29頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四 這時(shí)亦得一與原力系等效的合力, 其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析 FR 0, MO0 , 且FR MOMOFROFRFRFROOdFROO第30頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分

11、，星期四FR 0, MO0 , 且FR MOMOFROOFR3) 空間任意力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析此時(shí)無(wú)法進(jìn)一步合成, 這就是簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。FR與MO同方向時(shí), 稱為右手螺旋; FR與MO反向時(shí), 稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。第31頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四第32頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四FR 0, MO0 , 同時(shí)兩者既不平行, 又不垂直, 此時(shí)可將MO分解為兩個(gè)分力偶MO和MO, 它們分別垂直于FR和平行于FR, 則MO和FR可用作用于點(diǎn)O的力FR來(lái)

12、代替, 最終得一通過(guò)點(diǎn)O的力螺旋。MOFRqOMOFROMOFROOMO3.4.2 空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析第33頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四FR0, MO 0 =空間任意力系平衡的必要與充分條件為: 力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零, 且各力對(duì)三個(gè)軸之矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。3.5 空間任意力系的平衡第34頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四不失一般性，假定取z 軸與各力平行，如右圖所示，則空間任意力系的6個(gè)平衡方程中有3個(gè)恒為零，即因而空間平行力系的平衡方程只有下面的3個(gè)xyzOF1F2F3Fn分析:空

13、間平行力系的平衡方程第35頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四空間約束類型第36頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四第37頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四例3-2 扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在點(diǎn)A用球鉸約束，G、A、H在地面上，臂桿的D端懸吊的重物重P=20 kN。求兩繩的拉力和支座A的約束力。第38頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)系。列平衡方程如下：第39頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四聯(lián)立求解得：第4

14、0頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四例題3-3 如圖所示三輪小車，自重P= 8 kN，作用于點(diǎn)E，載荷F1 = 10 kN，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。第41頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四以小車為研究對(duì)象，主動(dòng)力和約束力組成空間平行力系，受力分析如圖。列平衡方程解：第42頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四解方程得第43頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四例3-4 一車床的主軸如圖所示, 齒輪C半徑為100 mm, 卡盤D夾住一半徑為50 mm的工件, A為向心推力軸承, B為向心軸承。切削

15、時(shí)工件等速轉(zhuǎn)動(dòng), 車刀給工件的力Fx466 N、Fy352 N、Fz1400 N, 齒輪C在嚙合處受力為Q, 作用在齒輪C的最低點(diǎn)，壓力角a20。不考慮主軸及其附件的質(zhì)量, 試求Q的大小及A、B處的約束力。 FxFzFy第44頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100解: 取主軸及工件為研究對(duì)象。向心軸承B的約束反力為FBx和FBz, 止推軸承A處約束反力有FAx、FAy、FAz, 其中FAy 起止推作用。主軸共受九個(gè)力作用, 是空間一般力系。Q第45頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四AFA

16、xFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q第46頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q第47頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.4.1 平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過(guò)的一個(gè)點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān), 而與各平行力的方向無(wú)關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。3.4 重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2第48頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四由合力矩定理：如果令F0是力作用線方向的單位矢量則將

17、上式代入（1）式得（1）F1FRF2yzxOACBr1rCr2第49頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四通常采用投影式求出直角坐標(biāo)分量去掉F 0 這個(gè)單位矢量F1FRF2yzxOACBr1rCr2第50頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力, 如果將物體看作由無(wú)數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成, 則重力便構(gòu)成空間匯交力系。3.4.2 重心由于物體的尺寸比地球小得多, 因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系, 這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置, 其重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn), 這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心。第51頁(yè)，共59頁(yè)，2022

18、年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿, 其重心坐標(biāo)分別為: 3.4.2 重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心, 即形心。均質(zhì)物體均質(zhì)板均質(zhì)桿第52頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四3.4.3 確定物體重心的方法1 簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心 如果均質(zhì)物體有對(duì)稱面, 或?qū)ΨQ軸, 或?qū)ΨQ中心, 則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面、或?qū)ΨQ軸、或?qū)ΨQ中心上。簡(jiǎn)單形狀物體的重心可從相應(yīng)工程手冊(cè)上查到。第53頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四2 分割法 如果一個(gè)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的物體組合而成, 而這些簡(jiǎn)單物體的重心是已知的, 那么整個(gè)物體的重心可由下式求出。3 負(fù)面積法 若在物體或薄板內(nèi)切去一部分(例如有空穴或孔的物體), 則這類物體的重心, 仍可應(yīng)用與分割法相同的公式求得, 只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。第54頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)3分，星期四例: 求圖示均質(zhì)板重心的位置。解一 分割法aaaa