相似三角形培優(yōu)訓(xùn)練含問題詳解

1、精選文檔精選文檔PAGEPAGE32精選文檔PAGE適用文檔相像三角形分類提升訓(xùn)練一、相像三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題1.如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1AC動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)D作DHAB于H，過點(diǎn)E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連結(jié)DG設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒1）當(dāng)t為什么值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長度；2）當(dāng)DEG與ACB相像時(shí)，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C挪動(dòng)同

2、時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B挪動(dòng)當(dāng)此中有一點(diǎn)抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止挪動(dòng)設(shè)挪動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時(shí)，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）對于時(shí)間t（秒）的函數(shù)分析式；（2）在P，Q挪動(dòng)的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE均分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N1）當(dāng)ADCD時(shí)，求證：DEAC；2）研究：AD為什么值時(shí)，BME與CNE相像？4.以下圖，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

3、；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)抵達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x1）當(dāng)x為什么值時(shí)，PQBC？2）APQ與CQB可否相像？若能，求出AP的長；若不可以說明原因標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度挪動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度挪動(dòng)假如P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示挪動(dòng)的時(shí)間（0t6）。1）當(dāng)t為什么值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？2）當(dāng)t為什么值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為極點(diǎn)的三角形與ABC相像？二、結(jié)構(gòu)相像協(xié)助線雙垂直模型6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A

4、的坐標(biāo)為(2，1)，正比率函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45，求這個(gè)正比率函數(shù)的表達(dá)式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，使得點(diǎn)C恰巧落在邊AB上的P點(diǎn)求證：MC：NC=AP：PB標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的地點(diǎn)，且AD交y軸于點(diǎn)E那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.10.已知，如圖，直線y=

5、2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。三、結(jié)構(gòu)相像協(xié)助線A、X字型如圖：ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比率中項(xiàng)，且AC均分DAB。求證：在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的隨意一點(diǎn)，EFAB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2)當(dāng)時(shí)，EF=；(3)當(dāng)時(shí)，EF=當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔已知：如圖，在ABC中

6、，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BEEFFC。求BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形極點(diǎn)到重心的距離等于該極點(diǎn)對邊上中線長的（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）（2）角均分線定理：三角形一個(gè)角的均分線分對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對應(yīng)成比率四、相像類定值問題16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上隨意一點(diǎn)，BD、CD的延伸線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F求證：已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH

7、的四個(gè)極點(diǎn)分別在ABC上。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長為a求證：五、相像之共線線段的比率問題20.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對角線BD上，向來線過點(diǎn)P分別交BA，BC的延伸線于點(diǎn)Q，S，交于點(diǎn)求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對角線或的延伸線上時(shí)，能否仍舊建立？若建立，試給出證明；若不可立，試說明原因（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明）；標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔21.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CFAB，延伸2BP交AC于E，交CF于F求證：BPPEPF22.如圖，已知ABC中，AD，BF分別為BC，AC

8、邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延伸線于H。求證：2DE=EG?EH23.已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，過P的直線與AD、BC、CD的延伸線、AB的延伸線分別訂交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：24.已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）；在AD上有一點(diǎn)P，2且BPC為直角求證：PDADDH。標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔六、相像之等積式種類綜合25.已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延伸線交CA于F。求證：26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DHBM且與AC的延伸線交于點(diǎn)E.求

9、證：（1）AEDCBM（；2）27.如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延伸線與CB的延伸線交于點(diǎn)F.（1）求證：.（2）若G是BC的中點(diǎn)，連結(jié)GD，GD與EF垂直嗎？并說明原因.28.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連結(jié)AE、CG,AE與CG訂交于點(diǎn)M，CG與AD訂交于點(diǎn)N求證：標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔29.如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延伸線于2F、H。求證：（1）DGBGCG；（2）BGCGGFGH七、相像基本模型應(yīng)用30.ABC和DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，A=D=90，DEF的極點(diǎn)E位于邊BC

10、的中點(diǎn)上1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：BEMCNE；2）如圖2，將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延伸線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對相像三角形外，可否再找出一對相像三角形并證明你的結(jié)論31.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q（1）請寫出圖中各對相像三角形（相像比為1除外）；2）求BP：PQ：QR標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔32.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=

11、1，此時(shí)CE=3，DE=3+3-5=12）如圖當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E左邊，即：0t時(shí)，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG與ACB相像，有兩種狀況：DEGACB，此時(shí)，即：，求得：t=；DEGBCA，此時(shí)，即：，求得：t=；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E右邊，即：t時(shí)，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG與ACB相像，有兩種狀況：DEGACB，此時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔即：，求得：t=；DEGBCA，此時(shí)，即：，求得：t=綜上，t的值為或或或3.答案：解：（1）證明：AD=CDA=ACDDE均分CDB交邊BC于點(diǎn)ECDE=BDECDB為CDB的一個(gè)外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDE

12、ACD=CDEDEAC2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如圖NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如圖NCE=MEBEMCDCDAB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔AB=10A=A，ADC=ACBACDABC綜上：AD=5或時(shí)，BME與CNE相像4.答案：解（1）由題意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，當(dāng)PQBC時(shí)，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQCBQ，則，

13、即解得：或（舍）此時(shí)：AP=cmAPQCQB，則，即解得：（切合題意）此時(shí)：AP=cm故AP=cm或20cm時(shí)，APQ與CQB能相像5.答案：解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t1）若QAP為等腰直角三角形，則AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（切合題意）t=2時(shí)，QAP為等腰直角三角形2）B=QAP=90當(dāng)QAPABC時(shí)，即：，解得：（切合題意）；當(dāng)PAQABC時(shí)，即：，解得：（切合題意）當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為極點(diǎn)的三角形與ABC相像6.答案：解：分兩種狀況第一種狀況，圖象經(jīng)過第一、三象限標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔過點(diǎn)A作ABOA，交待求直線于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作平

14、行于y軸的直線交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BDAC則由上可知：90由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）此時(shí)正比率函數(shù)表達(dá)式為：y3x第二種狀況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點(diǎn)A作ABOA，交待求直線于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BDAC則由上可知：90由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）此時(shí)正比率函數(shù)表達(dá)式為：yx7.答案：解：情況一：標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔情況二：情況三：標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔8.答案：

15、證明：方法一：連結(jié)PC，過點(diǎn)P作PDAC于D，則PD/BC依據(jù)折疊可知MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如圖，過M作MDAB于D，過N作NEAB于E由雙垂直模型，能夠推知PMDNPE，則，依據(jù)等比性質(zhì)可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：A標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔解題思路：如圖過點(diǎn)D作AB的平行線交BC的延伸線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則M=DNA=90，因?yàn)檎郫B，能夠獲得ABCADC，又

16、由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=901+2=90DNA=903+2=901=3DMCAND，設(shè)CM=x，則DN=3x，AN=1x，DM3x3x，則。答案為A10.答案：解：過點(diǎn)C作x軸的平行線交y軸于G，過點(diǎn)D作y軸的平行線交x軸于F，交GC的延伸線于E。直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90CBG=BAO又CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=5

17、D（5,2）11.答案：證明：（方法一）如圖延伸AE到M使得EM=AE，連結(jié)CMBE=CE，AEB=MECBEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）過D作DGBC交AE于G則ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE12.答案：證明：過點(diǎn)D作DFAB交AC的延伸線于點(diǎn)F，則2=3標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔AC均分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC為AB、AD的比率中項(xiàng)即又1=2ACDABC13.答案：解：證明：過點(diǎn)E作PQBC分別交BA延伸線和DC于點(diǎn)P和點(diǎn)QABCD，PQBC四邊形PQC

18、B和四邊形EQCF是平行四邊形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔14.答案：解：連結(jié)MFM是AC的中點(diǎn)，EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1設(shè)NEx，則MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:215.答案：證明：（1）如圖1，AD、BE為ABC的中線，且AD、BE交于點(diǎn)O過點(diǎn)C作CFBE，交AD的延伸線于點(diǎn)FCFBE且E為AC中點(diǎn)AEOACF，OBDFCD，AC2AE

19、EAOCAFAEOACFD為BC的中點(diǎn)，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可證此外兩條中線三角形極點(diǎn)到重心的距離等于該極點(diǎn)對邊上中線長的標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔2）如圖2，AD為ABC的角均分線過點(diǎn)C作AB的平行線CE交AD的延伸線于E則BAD=EAD為ABC的角均分線BAD=CADE=CADACCECEABBADCED16.答案：證明：如圖，作DPAB，DQAC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且DPQ是等邊三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔17.答案：

20、證明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，18.答案：證明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH19.答案：證明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa20.答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同原因ABCD可證PTDPQB（2）證明：建立，原因以下：標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔在平行四邊形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同原因ABCD可證PTDPQB21.答案：證明:ABAC，AD是中線，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F又

21、EPC=CPFEPCCPFBP2PEPF即證所求22.答案：證明：DEAB9090ADEDBEDE2=BFAC9090且BEGHEA標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔DE2=EGEH23.答案：證明：四邊形ABCD為平行四邊形ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：證明：如圖，連結(jié)BH交AC于點(diǎn)E，H為垂心BEACEBC+BCA=90ADBC于DDAC+BCA=90EBC=DAC又BDH=ADC=90BDHADC，即BPC為直角，ADBCPD2BDDCPD2ADDH25.答案：證明：CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)CE=EB=DE標(biāo)準(zhǔn)文案適用文檔B=BDE=FDAB+CAB=90，ACD+CAB=90B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90，B=ACDACDCBD即26.答案：證明：（1）ACBADC90AACD90BCMACD90ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90MBDADEADCMDH90MDHADECMBAEDCBM（2）由上問可知：，即故只要證明