標尺刻度的設計

1、標尺刻度的設計1第1頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四 由于經(jīng)常注油和取油，有時很難知道油罐中剩油的數(shù)量。這給現(xiàn)有儲油量的統(tǒng)計帶來很大的麻煩。顯然，將剩油取出計量是不現(xiàn)實的。因此，希望能設計一個精細的標尺：工人只需將該尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據(jù)標尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。這是一個來自油田的問題。 2第2頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四13.3 數(shù)學模型 設圓柱的底面半徑為R，長度為L；而圓錐的底面半徑也是R，高為A。若標尺被油浸濕位置的高度為H，而此時罐內(nèi)的油量為V。那么我們的問題歸結(jié)為求出函數(shù)換言之，要求油量函數(shù)的反函

2、數(shù)。 3第3頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四由于對稱性，我們只要研究的情形就行了。13.4 問題的解法求油量函數(shù)的解析方法其中和分別為相應圓柱和圓錐（一側(cè)部分）中的儲油量。先求。 4第4頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四 設圓柱體截面中儲油部分對應的弓形區(qū)域面積為S(H)，弓形對應的圓心角的一半為 那么易得利用三角函數(shù)表達式，就有5第5頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四6第6頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四再求 設與圓錐體底面平行且距底面x處的截面上表示儲油部分的弓形區(qū)域面積為Q，那么和前面S不同的是：

3、Q不僅與H有關(guān)，而且與x有關(guān)。設該弓形的半徑為r高為h， 由幾何關(guān)系（見圖13.3）不難看出： 從而得到7第7頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四于是類似于S的求法，有通過作變換8第8頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四 這個積分雖然比較復雜，但還是可以積出來，建議讀者自己進行計算，也可以借助數(shù)學軟件。具體結(jié)果為從而可知9第9頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四綜合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有10第10頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四刻度位置函數(shù)的求法 顯然，要由油量函數(shù)的解析表達式（1

4、3.12）來解析地求出反函數(shù)H(V)的顯式表示是不可能的。 介紹兩種近似方法。1插值法將區(qū)間0，R作如上等分： 那么由式（13.12）可以求得V在各分點的值： 現(xiàn)在的問題是：如果給出油量V*，如何確定（求出）相應的標尺刻度位置H*？ 而這實際上是求方程的根。11第11頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四（1）線性插值 設，在此區(qū)間上用線性函數(shù)近似H(V)，則有（2）二次插值 先找出最接近的V*的用二次函數(shù)近似H(V)，則有，然后在插值方法還有多種，這里介紹的是最簡單的。 12第12頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四2二分法綜上所述，可以將標尺刻度設計的

5、過程歸納為：步驟一 把區(qū)間0，R依精度需要分成n等份， 得剖分點 ；其中利用公式（13.12）算出刻度位置處相應的油量。 步驟二 根據(jù)所需的各油量讀數(shù)所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過插值或二分逼近法獲得相應的刻度位置值。 13第13頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四五、數(shù)值實例現(xiàn)在我們以（單位：m）為例進行實際計算。（1）求油量函數(shù)的值 取，由油量表達式（16.12）可得計算結(jié)果如表13.1所示。 00.00.000 00.000 00.000 010.10.293 60.002 30.298 220.20.817 50.012 80.843 130.31.477 50

6、.034 31.546 140.42.236 50.068 22.372 950.53.070 90.115 33.301 560.63.963 40.175 44.314 270.74.899 60.248 15.395 880.85.867 40.332 06.531 490.96.855 70.424 97.705 5101.07.854 00.523 68.901 214第14頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四（2）用插值法求刻度位置的值 這里我們僅求對應的H*的值。 由式（13.14）得線性插值近似值為而由式（13.15）得二次插值近似值為 兩種插值得到的結(jié)果有相同的兩位有效數(shù)字，說明線性插值在此已有了相當?shù)木取?5第15頁，共16頁，2022年，5月20日，5點15分，星期四（3）用二分法求