三角函數(shù)競(jìng)賽輔導(dǎo)

1、第一講：三角恒等關(guān)系一、引入：三角恒等式的變形方法和技巧，包含三角恒等式的證明，條件恒等式的證明、化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題等.（一）、解題中關(guān)注的三大變化，這是翻開(kāi)解決問(wèn)題之門(mén)的鑰匙：角的變化；結(jié)構(gòu)的變化；三角函數(shù)名稱(chēng)的變化.sin22cossin（二）、引例：求證：sinsin剖析：從“角”看：出現(xiàn)四種角：2,，一種比較好的聯(lián)系方式是：2,，形式比較對(duì)稱(chēng)；從“結(jié)構(gòu)”看：通分應(yīng)當(dāng)是理智的選擇；從“名稱(chēng)”看為正弦、余弦形式，比較基本，證明方法能夠綜合法或剖析法sin22cossin22sincossinsin證明：sincoscossinsinsinsin（三）、復(fù)習(xí)各樣三角恒等關(guān)系式：1、同角三角函數(shù)間

2、的基本關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：sincsc1；cossec1；tancot1商數(shù)關(guān)系：tansin；cotcoscossin平方關(guān)系：sin2cos21；tan21sec2；1cot2csc2“sincos”,“sincos,”“sincos”的關(guān)系(sincos)212sincos；(sincos)212sincos(sincos)2(sincos)222、引誘公式：kkZ與關(guān)系：21ksink=-12sin,k偶k-1；2-12cos,k奇kcosk=-12cos,k偶k1；2-12sin,k奇tank=tan,k偶2cot,k奇3、兩角和與差的三角函數(shù)：sin()sincoscossin；cos

3、()coscossinsintan()tantan1tantan4、“和角公式”的派生公式sin()sin()sin2sin2；cos()cos()cos2sin2tantantan()(1tantan)5、協(xié)助角公式：asinxbcosxa2b2sin(x)此中tanb；且由a，b所在的象限確a定.注:協(xié)助角公式主要解決一次齊次式的有關(guān)問(wèn)題.6、二倍角公式sin22sincos；cos221122sin22cos2sin=cos；tan22tan1tan27、降次公式sin2x1cosx；cos2x1cosx；tan2x1cosx222221cosx8、升次公式1cos2sin2；1cos2

4、cos222注：降次公式與升次公式都是從倍角公式推導(dǎo)出來(lái)的，在三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明方面有著很寬泛的應(yīng)用.9、切割化弦公式2（1）同角公式：tansin；cotcos；sec11sincos；csc（2）變角公式：cossintanxsinx1cosx；cotx1sinx1cosx21cosxsinx2cosxsinx10、半角公式:(1cos)；cos(1cos)sin22,22tan(1cos)sin(1cos).2(1cos)(1cos)sin11、和差化積公式:sin+sin=2sin2cos；sin-sin=2cossin,222cos+cos=2cos2cos；cos-cos=

5、-2sinsin,22212、積差化和公式sincos=12coscos=12：1sin(+)-sin(-),sin(+)+sin(-)；cossin=21cos(+)+cos(-)；sinsin=-cos(+)-cos(-).22tan1tan22tan13、全能公式:sin2；cos22；tan.1tan21tan21tan222214、三倍角公式：sin33sin4sin34sinsinsin；33cos34cos33cos4coscoscos；33tan3tantantan33二、典型例題：一、基本變形方法：例1、求證：sinsinsinsinsinsinsin0sinsin剖析：這是

6、一個(gè)輪換對(duì)稱(chēng)恒等式，能夠采納“各個(gè)擊破”的方法試一試.證明：sinsinsincoscossinsinsinsinsin2sinsinsin3同理：sincoscossin2sinsinsinsinsincoscossinsin2sinsinsin三式相加易證明.例2、求值：cot10o4cos10o.剖析：化為特別角的三角函數(shù)值oocos10oocos10o4sin10ocos10o解法1：cot104cos10o4cos10osin10sin10sin80o2sin20osin80osin20osin20o2cos50osin30osin20osin10osin10osin10osin40

7、osin20o2cos30osin10o3.sin10osin10ooooooosin140sin202sin20解法2：cot10o4cos10o2sin80cos602sin20sin10osin10osin140osin20o2cos80osin60o3sin10osin10o解法3：cot10o4cos10osin80o2sin80o60osin80o2sin80ocos60ocos80osin60osin10osin10o2cos80osin60o3sin10o評(píng)注：運(yùn)用和角公式配湊，試問(wèn)題回到基本公式上來(lái).例3、求證：tan2xcot2x23cos4x1cos4x剖析：從等式左右角

8、的差別考慮下手，思路為從左側(cè)的角x化到右側(cè)的角4x也可倒過(guò)來(lái)辦理.證明：4以下來(lái)議論一些條件不恒等式的證明，變形仍著重三個(gè)變化.例4、已知sinAsin,A1,sin.求證：tan+cosA剖析：條件中的角：,；結(jié)論中的角：,做聯(lián)系：=-獲得一致“名稱(chēng)“與結(jié)構(gòu)，條件為”整式”情況，結(jié)論為“分式”情況，這與“名稱(chēng)”轉(zhuǎn)變?yōu)檎邪闩?也可從A下手.證明1：證明2：5例5、已知cos3sin31,求cos-sincos+sin+1的值.cossincossincossin剖析：察看條件，利用sin2cos21，sin2cos21改寫(xiě)“1”，可將條件式子化為奇次式.cos3sin3sin22,cos3c

9、os2cossin2sinsin2cossincoscossin(1)分析1：cos3sin3cos3cos3sin3sin3sin2cos2(2)cossincossincos2coscoscos2sin2sinsinsin2cos2sin21coscos2sinsin21(2)可得：coscos2sinsin(1)cos2sincossin0cossincossincos-sincos+sin+10cossincossin分析2：利用柯西不等式解，考慮取等條件，找條件的等價(jià)式.(李昭奕供給)1cos3sin3cos3sin3cos2cossincossin2yacos22,求證：x2y22

10、a2.例6、已知xcosysina,xasina剖析：企圖很顯然，消去.6證明：sinxsiny2ab22例7、已知cosxcosy2b,求證：abacca2tanxtany2c剖析：基本思路是消去x，y.msinxnsinypcosxy，若mn，則又可用和差化一般的對(duì)于條件ncosy，往常采納平方和求mcosxqxy積公式求tan.證明：7變題：（1998年新加坡）設(shè)A,B,C同時(shí)知足sinAsinBsinCcosAcosBcosC0.求證：cos2Acos2Bcos2C為定值.(高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽講義P113-46題)以下介紹幾個(gè)三角恒等變形中的技巧運(yùn)用：二、技巧運(yùn)用一-用好對(duì)偶式和配對(duì)原理.例

11、8、求值：cos6ocos42ocos66ocos78o;sin18o;（奧博P81）sin18osin54o;sin36osin72o8評(píng)注：在本題基礎(chǔ)上，注意利用引誘公式及積化和差公式產(chǎn)生的式子，表現(xiàn)其靈巧性.(1)cos72osin18o51;4(2)sin18osin54ocos36ocos72osin18ocos36osin54ocos72osinsin3coscos2sincossin3cos21;1010551051054(3)sin36osin72ocos18ocos54osin36ocos18ocos54osin72osinsin2coscos3cossincos3sin25

12、;5510101051054(4)coscos21,coscos35;552552(5)cos3cos215;552(6)cos15259例9、求值：(1)sin1osin3osin5oLsin87osin89o;(2)sin1osin2osin3oLsin88osin89o;剖析：利用配對(duì)原理解題;不停使用公式：sin34sinsinsin來(lái)減少角.33例10、求值：cos4cos43cos45Lcos4151616161610剖析：本題使用配對(duì)原理例11、求值：coscos3913cos1313剖析：本題中配對(duì)式子與例6不一樣，也可用結(jié)構(gòu)方法，實(shí)質(zhì)運(yùn)用中有時(shí)其實(shí)不簡(jiǎn)單.11三、技巧運(yùn)用二：

13、裂項(xiàng)技巧：例12、（第8屆IMO試題）求證對(duì)每一個(gè)nN和每一個(gè)實(shí)數(shù)xnk(k0,1,2,Ln;n為隨意整數(shù)）有：21111Lcotxcot2nx.（奧博P86）sin2xsin4xsin8xsin2nx剖析：本題左側(cè)為n項(xiàng)和，右側(cè)為2項(xiàng)之差，故試試左側(cè)“裂項(xiàng)”，希望消去多項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)證明.證明：12cos2xcos2x2cos2xcos2xcotxcot2x,sin2xsin2x2sinxcosxsin2x同理1cot2xcot4xsin4x1cot2n1xcot2nxsin2nx評(píng)注：“裂項(xiàng)相消法”運(yùn)用寬泛，在解題中擁有廣泛性，近似可證以下各題：12（）tan2tan2tan31tan（）+2t

14、an22222tantan2（3）sinsinsin11(4)cos1ocos2ocos0ocos1o證明：Ltann1tanntann；tannL2ntan2ncot2n1cot2n1；sinnsinn12Lsinn22sin2L1cos1ocot1ocos88ocos89o（參照專(zhuān)題講座-三角函數(shù)P5）對(duì)于乞降（求積）而言，能裂項(xiàng)相消再好可是，看看很多平庸的式子都擁有裂項(xiàng)相消的功能，舉例說(shuō)13明：1、考慮遞推形式的等式：sincosk=1kk2sin(+)-sin(-),kN出發(fā)點(diǎn)：積化和差公式：sincos=1sin(+)+sin(-)=1sin(+)-sin(-)22商討：將看做一個(gè)對(duì)

15、于n的函數(shù)，即有：sincosn1nn=sin(+)-sin(-)2sincosn+1=1sin(n+1+)-sin(n+1-)2再令-=+，即n+1=+2，n+1nn結(jié)論：這樣積化和差公式就有了裂項(xiàng)相消的功能了，即取n=1+（n-1）2，則：cos1cosLcossinnsin12n2sin同理類(lèi)比：sinsin=1cos(-)-cos(+)2取n=1+（n-1）2,則：sin1sin2Lsincos1cosnn2sin2、考慮遞推形式的等式：1cot2k1xcot2kx,kNsin2kx出發(fā)點(diǎn)：cotxcot2x1sin2x證明：12cos2xcos2x2cos2xcos2xcotxcot

16、2xsin2x2sinxcosx2sinxcosxsin2xcotxcot2x1sin2x商討：cot2xcot4x11111nLsin4xsin2xsin4xcotxcot2xLLsin8xsin2nx1cot2n1xcot2nxsin2nx3、考慮遞推形式的等式：1x1cotx1tanx,kN2k1tan2k12k12k12kk2出發(fā)點(diǎn)：2cotxcotxtanx22141tanx1cotxcotx22221tanx1cotx1cotx商討：2222222222kNLL1ntanxn1ncotxn21n1tannx1,22222結(jié)論：1tanx12tanx213tanx3L1ntanxn1

17、ncotxncotx22222222224、考慮遞推形式的等式：3ksin3k13k1sink3ksin3k1,kN343出發(fā)點(diǎn)：sin33sin4sin3；商討：sin33sin4sin3sin313sinsin34sin313sinsin343sin3132sin3sin3k,kN寫(xiě)出遞推裂項(xiàng)式：343LL3nsin3n13n1sinn3nsinn13433結(jié)論：sin33sin3L3nsin3n13n1sinnsin333435、考慮遞推形式的等式：cos2k1sin2k1,kN2sin2k出發(fā)點(diǎn)：sin22sincos商討：sin22sincoscos1sin2，將之寫(xiě)成遞推裂項(xiàng)式：c

18、os2k1sin2k1,kN2sin2sin2k結(jié)論：coscos2cos4Lcos2n1sin2n1.2sin6、考慮遞推形式的等式：k12cos2k11,kN2cos22cos2k1出發(fā)點(diǎn)：cos2212cos商討：cos2212cos21212cos12cos12cos212cos4cos2cos1，2cos115將之寫(xiě)成遞推裂項(xiàng)式：2cos2k12cos2k11,kN2cos2k1結(jié)論：2cos12cos212cos41L2cos2n12cos2n1.2cos17、引申：對(duì)擁有裂項(xiàng)相消功能的式子變形，從而結(jié)構(gòu)恒等式或不等式.otannosinn1tann1cosn1osinnosinn

19、1ocosnocosn1osinnosin1oocosno這樣ocosnocosn1cosn1ocosno能夠結(jié)構(gòu)：1111tann1oL0n88,nNcos0ocos1ocos1ocos2ocos2ocos3ocosnocosn1osin1o特其他，取n=44，88，可得：1111L1csc1ocos0ocos1ocos1ocos2ocos2ocos3ocos44ocos45o2111L1cos1ocos0ocos1ocos1ocos2ocos2ocos3osin21ocos88ocos89o例13、已知costan,costan,costan,則16sin2sin2sin2cos4cos4

20、cos44sin218o（參照專(zhuān)題講座三角函數(shù)70）剖析：利用三角公式將三角恒等式轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程來(lái)解，有利于從復(fù)雜的公式變形中抓住代數(shù)實(shí)質(zhì)，從而簡(jiǎn)化證明.證明：sin4xcos4x1,求證：sin4nxcos4nx1例14、已知：baba2n1b2n12n1,nN.aab（參照專(zhuān)題講座三角函數(shù)70沈躍虎）證明1：17證明2：利用不等式的方法來(lái)證明等式，有時(shí)是逼不得已，有時(shí)是聲東擊西.2三角形中的恒等關(guān)系（以下參照高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座三角函數(shù)沈躍虎編著）以下介紹三角形內(nèi)的常有恒等關(guān)系.這是三角形中的一些基本的數(shù)目關(guān)系，從各方面刻畫(huà)三角形中的各種不變量.堅(jiān)固掌握這些恒等關(guān)系，將有利于我們看出問(wèn)題實(shí)質(zhì)，

21、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的源泉.一、基本恒等式：1、ABC,A且A,B,C0,剖析：這是三角形中最最基本的恒等關(guān)系，恒等變形中不停被利用.對(duì)此可進(jìn)一步限制：當(dāng)VABC為銳角三角形時(shí)，A,B,C0,；2當(dāng)VABC為直角三角形時(shí)，A,B,C當(dāng)VABC為鈍角三角形時(shí)，A,B,C中恰有一個(gè)角是直角；中恰有一個(gè)角是鈍角.a=bc2、正弦定理：=2R（R為ABC外接圓半徑）sinAsinBsinC注：從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：18兩角和隨意一邊，求其余兩邊和一角；兩邊和此中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而可求其余的邊和角?？捎霉絘2R求三角形外接圓的半徑；sinA注意正弦定理與等比性質(zhì)的綜合應(yīng)用；abcaabc等如

22、sinBsinC,sinAsinAsinAsinBsinC可用角的正弦值表示邊：aksinA,bksinB,cksinC(k0)可用邊表示角的正弦值：sinAta,sinBtb,sinCtct0b2a2c22accosB；3、余弦定理：a2b2c22bccosA；c2a2b22abcosC注：熟習(xí)定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等當(dāng)夾角為90時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）變形cosAb2c2a2a2c2b2a2b2c22bccosB2accosC2ab利用余弦定理能夠解決的問(wèn)題：已知三邊，求三角；已知兩邊一角，求第三邊4、射影定理：abcosCccosB;bacosCc

23、cosA;cacosBbcosA以上三定理等價(jià)證明：（見(jiàn)高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座三角函數(shù)-沈躍虎P76）：正弦定理射影定理射影定理正弦定理19余弦定理射影定理射影定理余弦定理bctanBCcatanCAa+btanAB5、正切定理：2;2A;2bcBCcatanCabABtan22tan2證明：利用正弦定理，再由積化和差公式得之：abcbcsinBsinC2sinBCcosBCtanB2C2R22：sinAsinBsinCbcsinBsinCBCBCB2cosCsin2tan22ApbpcAppaApbpc6、半角公式：sin;cos2bc;tanppa2bc2說(shuō)明：利用半角公式及余弦定理可得，注意此

24、處p1abc220abcosABabsinAB227、模爾外德公式：cC;Ccsincos22AB證明：由正切定理a+btan2AabBtan2abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC由正弦定理：bsinAsinB2sinABsinABa22csinC2sinCCcos22相乘，相除可得之：注：該公式中包含了三邊，a,b,c及三個(gè)角A,B,C,往常用來(lái)查驗(yàn)所解三角形能否正確.8、面積公式：11abcSABC=aha=absinC=（R是ABC外接圓的半徑）=pr224R（p=1（a+b+c），r是ABC內(nèi)切圓的半徑）2=2R2sinAsinBsinC12sinBsinC1a

25、b1a2b2c212b222c22=asinBC24a2b2=4a-ab24=12c222a+b-c2a-b4=1abcabcabcabc4p(pa)(pb)(pc)p1(abc)2=p2tanAtanBtanC222RrsinAsinBsinCa2b2c2cotAcotBcotC21注：三角形的面積公式表達(dá)式好多，此處不過(guò)小部分，主要使大家認(rèn)識(shí)三角形的面積是聯(lián)系很多關(guān)系的紐帶.9、幾個(gè)常用長(zhǎng)度的計(jì)算方法：R=abc,rs,ha2S,ma12b22c2a2,4Spa2ta2bccosA2bcppabcbc2bc注1：注2：注3：22二、三角形中常有恒等式ABC1、sinAsinBsinC4co

26、scoscos222證明：2、sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC3、sin3Asin3Bsin3C4cos3Acos3Bcos3C222234、sin4Asin4Bsin4C4sin2Asin2Bsin2C5、cosAcosBcosC14sinAsinBsinC2226、cos2Acos2Bcos2C14cosAcosBcosC3A3B3C7、cos3Acos3Bcos3C14sinsinsin222248、cos4Acos4Bcos4C14cos2Acos2Bcos2C9、tanAtanBtanCtanAtanBtanC證明：10、cotAcotBcotBcotCcot

27、CcotA111、tanAtanBtanBtanCtanCtanA12222222512、cotAcotBcotCcotAcotBcotC22222222213、sinAsinBsinC22cosAcosBcosC14、cos2Acos2Bcos2C12cosAcosBcosC15、sinAcosBcosCcosAsinBcosCcosAcosBsinCsinAsinBsinC證明1：26證明2：16、cosAsinBsinCsinAcosBsinCsinAsinBcosC1cosAcosBcosC17、acosAbcosBccosC4RsinAsinBsinC證明：18、p4RcosAcosBcosC222證明：ABCr19、tantantanp222證明：2720、sinAsinBsinCr2224R證明1：證明2：證明3：28Bpc21、tantan22p證明：acosAbcosBccosCr22、Rabcp23、sinAsinBsinC=R24、cosAcosBcosC=1+rR以上24個(gè)恒等式是三角形中的一些最基本，最常用的恒等式，此