數(shù)學建模培訓市公開課金獎市賽課一等獎課件

1、 數(shù)學建模培訓10/10/1第1頁引 言10/10/2第2頁 參加數(shù)學建模競賽主要目標自然是取得好成績。 影響建模競賽成績原因眾多，本人將其總結為以下四個方面： 知識，技能，經(jīng)驗，運氣。1. 知識 開展大學生數(shù)學建模競賽初衷是培養(yǎng)、提升大學生利用數(shù)學知識和10/10/3第3頁計算機技術處理實際問題能力。這里所說“知識”就是指參加數(shù)學建模競賽所需應用數(shù)學知識和方法。 試想，假如連基本數(shù)學建模方法都不熟悉，那參加數(shù)學建模競賽只能完全靠“忽悠”。 對于這一點，經(jīng)歷過數(shù)學建模網(wǎng)絡挑戰(zhàn)賽學生應該深有體會。10/10/4第4頁 在十五天暑期培訓中，主要介紹各類數(shù)學建模基本方法，即主要處理“知識”問題。2.

2、 技能 即使掌握了數(shù)學建?；痉椒ㄒ膊蛔阋源_保能在競賽中取得好成績，數(shù)學建模競賽還對參賽者提出了很高技能要求。10/10/5第5頁 這里所說“技能”主要包含編程能力，使用相關應用軟件(主要是數(shù)學軟件)能力, 論文寫作和編輯能力，網(wǎng)上資料搜集能力等。 本人認為，從數(shù)學建模競賽發(fā)展趨勢看，“技能”越來越比“知識”主要，理由以下： (1) 近年來數(shù)學建模競賽題目(10/10/6第6頁尤其是碩士建模題目)關鍵點和難點往往在于編程。比如，B題“創(chuàng)意折疊桌”問題并不需要什么經(jīng)典數(shù)學建模方法，只要能編程計算出合理結果就能取得好成績； A題“儲油罐標定”和B題“太陽能小屋設計”也屬這類問題。 (2) “知識”

3、培訓和掌握相對來10/10/7第7頁說并不太難，而“技能”提升則需要一個過程，還需要一點天賦，短期培訓極難取得顯著效果。 在培訓中，會適當介紹一些數(shù)學軟件使用、編程和寫作，希望對提升大家技能有所幫助。3. 經(jīng)驗 經(jīng)驗對于做任何事情都是非常重10/10/8第8頁要。 這里所說“經(jīng)驗”主要表現(xiàn)在以下方面： (1) 怎樣選擇題目？ (2) 怎樣搜集相關資料、數(shù)據(jù)？ (3) 怎樣進行組員分工, 怎樣把握“做”與“寫”進度？ (4) 怎樣對一些疑難問題進行“忽10/10/9第9頁悠”，忽悠到什么程度？ (5) 論文寫作時怎樣揚長避短？ (6) 怎樣準備復評？ 經(jīng)驗靠積累。讓基本不掌握數(shù)學建模方法學生直接

4、參加網(wǎng)絡挑戰(zhàn)賽作法看似荒謬，但參賽學生最少從頭到尾經(jīng)歷了一次完整競賽，積累了寶貴經(jīng)驗，是有意義。10/10/10第10頁4. 運氣 做事不能只靠運氣。但不可否定,運氣偶然確能左右事情結局。 在數(shù)學建模競賽中，運氣好壞也可能影響競賽成績。比如，能否遇見踏實能干隊友、認真負責指導老師、心態(tài)正常評委等。10/10/11第11頁 最終，送給各位本人總結四句名言：知識靠學；技能靠練；經(jīng)驗靠賽；運氣靠碰。10/10/12第12頁培訓內(nèi)容與方式10/10/13第13頁培訓內(nèi)容1. 插值與擬合；2. 灰色關聯(lián)分析與灰色預測；3. 層次分析法；4. 含糊綜合評價；5. 均值比較與方差分析；6. 相關分析與回歸分

5、析；7. 時間序列分析(一)；10/10/14第14頁8. 時間序列分析(二)；9. 綜合預測實例；10. 主成份分析與因子分析；11. 聚類分析與判別分析；12. 綜合評價實例；13. 數(shù)學建模論文寫作與編輯；14. 圖論模型及其Matlab程序；15. 數(shù)學規(guī)劃與Lingo。10/10/15第15頁 培訓內(nèi)容覆蓋了數(shù)學建模中大部分慣用數(shù)學方法。經(jīng)過刻苦鉆研，努力學習，掌握了上述方法后，必將大大提升應用數(shù)學知識和計算機處理實際問題綜合能力，也一定會在全國建模大賽中取得很好成績。10/10/16第16頁培訓方式 因為培訓內(nèi)容眾多且有相當難度,而培訓時間又較短，所以假如學生不事先認真預習相關內(nèi)容

6、，那么在課堂上不可能完全聽懂老師所講內(nèi)容，大部分學生會云山霧罩，一頭霧水，從而使得培訓效果大打折扣。 綜上，強烈提議學生課前認真、10/10/17第17頁重復研讀講課PPT和其它相關資料，然后帶著疑問和興趣再聽老師講解，這么才能確保培訓效果。 培訓PPT及軟件、程序下載郵箱: MM: matlabmaple 培訓以講解為主，學生如有疑問, 可在下午上機輔導時向老師咨詢。10/10/18第18頁上機操作與練習10/10/19第19頁 眾所周知，在建模競賽中，能否熟練使用相關數(shù)學軟件是能否取得好成績關鍵之一。所以，數(shù)學軟件培訓應該是建模培訓主要內(nèi)容。 建模中慣用數(shù)學軟件有Matlab, SPSS,

7、 Lingo, Maple等。 因為培訓時間有限，在課堂上只能重點介紹SPSS，而Matlab等只能在10/10/20第20頁上機過程中穿插介紹。 幾乎全部數(shù)學方法最終都要用數(shù)學軟件和程序實現(xiàn)，所以上機練習也是比較主要培訓內(nèi)容。 上機訓練主要目標和內(nèi)容是經(jīng)過練習，掌握實現(xiàn)各類數(shù)學方法數(shù)學軟件和程序。 上機所用數(shù)學軟件和程序主要由10/10/21第21頁教師提供，學生只要會用即可。 但需要提醒同學們注意是，現(xiàn)成軟件和程序不可能處理建模中全部問題。經(jīng)過上機訓練，掌握一些基本編程和計算技能(如用Matlab做數(shù)據(jù)處理、畫圖, 用Maple做簡單解析計算)，對于參加建模競賽是絕對必要。10/10/22

8、第22頁 上機前，培訓老師會布置上機練習，提供相關軟件或程序，講解關鍵步驟和程序語句。上機過程中，輔導老師負責解答學生疑難問題。題外話 尤其要提醒大家是，國賽完全不一樣于網(wǎng)絡挑戰(zhàn)賽，題目標難度和開放性適中，有答題關鍵點、參考方法，10/10/23第23頁甚至有參考答案；初評評委大部分由指導教師擔任，評閱結果通常比較合理、靠譜。那種連基本建模方法都不懂竟然也能獲大獎現(xiàn)象在國賽中幾乎是不可能發(fā)生，全國一等獎論文必須模型、方法合理，結果基本可信、正確，寫作清楚、規(guī)范。 一句話，建模不能全靠忽悠。10/10/24第24頁第1講 插值與擬合10/10/25第25頁一、引 言10/10/26第26頁 插值

9、與擬合是數(shù)學建模中一個基本數(shù)據(jù)分析伎倆，被公認為建模中慣用算法之一。 在A“城市土壤污染分析”、A“車道被占對道路通行能力影響”、A“嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略”中均用到插值或擬合。10/10/27第27頁 本講第一部分首先介紹了插值問題、插值原理、高次插值Runge現(xiàn)象，然后講解了Matlab中一維和二維插值命令。 第二部分首先介紹了擬合問題、擬合原理與步驟, 然后介紹了Matlab和Origin擬累計算。 本講首先要了解插值問題和擬合10/10/28第28頁問題特點，其次要了解插值和擬合原理與方法，尤其要熟練掌握利用Matlab和Origin等軟件進行插值和擬合相關命令和技能，另外還

10、要掌握Matlab編程基本知識與技能。10/10/29第29頁二、插 值10/10/30第30頁1. 插值問題 例1 在一天二十四小時內(nèi)，從零點開始每間隔2小時測得環(huán)境溫度數(shù)據(jù)分別為12，9，9，10，18 ，24，28， 27，25，20，18，15，13，推測中午1點溫度，并做出二十四小時溫度改變曲線圖。10/10/31第31頁 例2 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)以下，畫出飛機下輪廓線。 機翼下輪廓線xy10/10/32第32頁 例3 測得平板表面3*5網(wǎng)格點處溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面溫度分布曲面z=f(

11、x,y)圖形及等溫線，并求出溫度最高和最低點。 10/10/33第33頁 上述問題可歸結為“已知函數(shù)在某區(qū)間(域)內(nèi)若干點處值, 求函數(shù)在該區(qū)間(域)內(nèi)其它點處值”，這種問題適宜用插值方法處理。 一維插值問題可描述為：已知函數(shù)在x0, x1, , xn處值y0, y1, yn，求簡單函數(shù) p(x)，使 p(xi) = yi。 p(xi) = yi稱為插值條件。10/10/34第34頁 通常取 p(x)為多項式。 能夠用范德蒙行列式和克萊姆法則證實(習題集第一章最終一題)： 在x0, x1, , xn處取值y0, y1, , yn多項式存在且唯一，即插值問題解唯一存在。 慣用插值方法有Lagra

12、nge插值法和Newton插值法。10/10/35第35頁2. 高次插值Runge現(xiàn)象 在研究插值問題早期，全部些人都想當然地認為插值多項式次數(shù)越高，插值精度越高。 Runge 經(jīng)過對一個例子研究發(fā)覺，上述結論僅僅在插值多項式次數(shù)不超出七時成立；插值多項式次數(shù)超出七時，插值多項式會出現(xiàn)嚴重10/10/36第36頁振蕩現(xiàn)象，稱之為Runge現(xiàn)象。10/10/37第37頁 所以，在實際中不應使用七次以上插值。 防止Runge現(xiàn)象慣用方法是：將插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在小區(qū)間內(nèi)用低次(二次，三次)插值，即分段低次插值，如樣條函數(shù)插值。10/10/38第38頁樣條插值結果10/10/39第39頁三、M

13、atlab插值10/10/40第40頁 Maple和Matlab都能夠進行插值計算，Maple一維插值計算較為便捷，而Matlab二維插值功效較強,還能進行散亂點插值。 本節(jié)主要介紹Matlab一維和二維插值命令，大家務必要經(jīng)過上機操作熟悉這些命令，同時還要初步掌握Matlab基礎知識與技能。10/10/41第41頁1. 一維插值 一維插值命令是interp1, 其基本格式為yi=interp1(x,y,xi, method)。 x,y為插值點，xi,yi為被插值點和插值結果，x,y和xi,yi通常為向量；method表示插值方法：nearest最鄰近插值，linear線性插值， spline

14、三次樣條插值，cubic立10/10/42第42頁方插值，缺省為線性插值。例1Matlab程序 x=0:2:24; y=12 991018 2428272520 18 15 13; x1=13; y1=interp1(x,y,x1,spline) xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, spline); plot(x,y, *,xi,yi)10/10/43第43頁 請了解掌握程序中每個語句，并改變插值方法，觀察圖形改變。10/10/44第44頁例2Matlab程序function planex0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2

15、 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y1=lagrange(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,spline);subplot(3,1,1);10/10/45第45頁plot(x0,y0,k+,x,y1,r);grid;title(lagrange);subplot(3,1,2);plot(x0,y0,k+,x,y2,r);grid;title(piecewise linear);subplot(3,1,3);plot(x0,y0,k+,x,y3,r);10/10/46第46頁gr

16、id;title(spline);function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; 10/10/47第47頁 for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end10/10/48第48頁10/10/49第49頁 例2程序較復雜，說明以下: (1) 程序依次用Lagrange、分段線性和三次樣條三種插值方法進行了計算，其中Lagrange高次插值顯著出現(xiàn)

17、了Runge現(xiàn)象； (2) 因為Matlab沒有Lagrange高次插值功效，所以程序中單獨編寫了高次插值函數(shù)lagrange，然后調(diào)用；10/10/50第50頁 (3) 程序包括到了數(shù)組、循環(huán)和條件語句、子函數(shù)定義與調(diào)用以及一些繪圖命令(subplot,grid,title)等。 請大家經(jīng)過上機了解、掌握上述命令，尤其是函數(shù)定義及調(diào)用。 Matlab中提供了專門用于樣條函數(shù)插值及相關計算工具箱Spline Toolbox，有興趣同學能夠查閱。10/10/51第51頁2. 二維插值 二維插值命令是interp2, 基本格式為zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)。 二維插

18、值命令使用較復雜。 x,y,z為插值點，z能夠了解為被插值函數(shù)在(x,y)處值；xi,yi為被插值點, zi為輸出插值結果，可了解為插值函數(shù)在(xi,yi)處值；x,y為向10/10/52第52頁量，xi,yi為向量或矩陣，而z和zi則為矩陣。 method表示插值方法：neares t最鄰近插值, linear雙線性插值, spline雙三次樣條插值，cubi c雙立方插值，黙認雙線性插值。10/10/53第53頁例3Matlab程序x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;figure(1);mesh(x,

19、y,temps);xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;10/10/54第54頁zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);figure(2);mesh(xi,yi,zi);figure(3);contour(xi,yi,zi,20,r);i,j=find(zi=min(min(zi);x=xi(j),y=yi(i),zmin=zi(i,j)i,j=find(zi=max(max(zi);x=xi(j),y=yi(i),zmax=zi(i,j)10/10/55第55頁 上述程序較復雜，說明以下： (1) interp2中xi為行向量, 而yi為列向量, 其實xi和

20、yi行列不一樣即可。 (2) plot3(空間曲線), mesh(空間曲面), surf (空間曲面), contour(等高線)是三維作圖中慣用命令。mesh和surf區(qū)分是：mesh畫是曲面網(wǎng)格圖，而surf畫是曲面表面圖。10/10/56第56頁 contour(x,y,z,n)功效是作出由點(x,y,z)插值而成曲面n條等高線。 用meshc和surfc可在曲面下方畫等高線。meshz和surfz是畫垂簾圖。 (3) 程序最終部分為求最高(低)點，請各位經(jīng)過上機琢磨min, max尤其是find功效。 (4) 將程序中 figure 語句去除，通10/10/57第57頁過觀察結果，體味

21、figure作用。 例4 在某山區(qū)測得一些地點高程以下表。平面區(qū)域為 0 x5600, 0y12時數(shù)據(jù)出現(xiàn)了巨大誤差。 樣條插值第一個圖表明樣條插值能夠很好地處理第一個問題，但第二個圖顯示，用樣條插值外推t12時數(shù)據(jù)也會產(chǎn)生較大誤差。 綜上，第2問不宜用插值方法。 處理第2問慣用方法是，依據(jù)110/10/83第83頁到12點間溫度數(shù)據(jù)求出溫度與時間之間近似函數(shù)關系f(t)，由f(t)推斷t =13.5時溫度。 這種依據(jù)離散數(shù)據(jù)求數(shù)據(jù)間近似函數(shù)關系問題稱為曲線擬合問題。 擬合問題與插值問題區(qū)分在于: (1) 插值函數(shù)過已知點，而擬合函數(shù)不一定過已知點；10/10/84第84頁 (2) 插值主要用

22、于求函數(shù)值，而擬合主要目標是求近似函數(shù)關系，從而進行預測等深入分析。 當然，一些特定問題既能夠用插值也能夠用擬合。 例7也屬經(jīng)典擬合問題。求出濃度y與時間x函數(shù)關系y=f(x)后，再求導數(shù)即得反應速度函數(shù)。10/10/85第85頁2. 擬合計算 曲線擬合需處理以下兩個問題： (1) 線型選擇；(2) 線型中參數(shù)計算。 線型選擇是擬累計算關鍵和難點。通常主要依據(jù)專業(yè)知識和散點圖確定線型。 線性擬合中參數(shù)計算可采取最10/10/86第86頁小二乘法，而非線性擬合參數(shù)計算則要應用Gauss-Newton迭代法。 許多軟件如Matlab等都能夠進行擬累計算，其中Origin最為專業(yè)。 Origin不但

23、能進行參數(shù)計算，還提供了大量線型供選擇，可方便地進行一維和二維擬合。 10/10/87第87頁3. Matlab擬合(1) 多項式擬合 Matlab多項式擬合命令格式為: a,S=polyfit(x,y,n)其中，x和y是被擬合數(shù)據(jù)自變量和因變量；n為擬合多項式次數(shù)；a為擬合多項式系數(shù)組成向量；S為分析擬合效果所需指標(可省略)。 10/10/88第88頁 例6最簡單Matlab程序為：x=1:12;y=5, 8, 9, 15, 25, 29, 31, 30, 22, 25, 27, 24;a=polyfit(x,y,9)xp=1:0.1:12;yp=polyval(a,xp);plot(x,

24、y,.k,xp,yp,r);10/10/89第89頁9次多項式擬合結果10/10/90第90頁(2) 非線性擬合 Matlab非線性擬合命令格式為: b,r=nlinfit(x,y,fun,b0,option)其中，x和y是被擬合數(shù)據(jù)自變量和因變量；fun為擬合函數(shù)；b0為擬合參數(shù)初始迭代值；option為擬合選項；b為擬合參數(shù)；r為擬合殘差。 例7Matlab擬合程序為：10/10/91第91頁x=1:16;y=4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60;y1=

25、(b,t)b(1)*exp(-t/b(2)+b(3)*exp(-t/b(4) +b(5);b0=-1 1 -1 1 1;a=nlinfit(x,y,y1,b0)xp=1:0.1:16; yp=y1(a,xp);plot(x,y,.k,xp,yp,r);10/10/92第92頁非線性擬合結果10/10/93第93頁 用Matlab編程進行擬合有很多不方便。 (1) 需要編程。比如在例7程序中要用到匿名函數(shù)，這對初學者而言并不輕易。 (2) 擬合結果不完整。Matlab擬合命令普通只提供擬合系數(shù)等基本結果。若要獲取表示擬合優(yōu)劣統(tǒng)計量10/10/94第94頁有時需要另外計算。 (3) 不能確保非線性

26、擬合迭代收斂。因為非線性擬合初始迭代參數(shù)需要人為取定，所以不能確保迭代一定收斂。 有興趣學生能夠將例7程序中b0改為1 1 1 1 1一試。10/10/95第95頁4. Matlab擬合工具箱 為了更加好、更便捷地進行擬合，Matlab提供了擬合工具箱。(1) 工具箱開啟 在命令窗口鍵入 cftool 即可開啟擬合工具箱。(2) 數(shù)據(jù)錄入 在命令窗口錄入自變量x和函數(shù)y10/10/96第96頁數(shù)據(jù)，然后在Data菜單中即可選中上述數(shù)據(jù)，并產(chǎn)生Data sets。 此時工具箱會自動畫出散點圖。 (3) 擬合 點擊Fitting-New fit，能夠修改Fit name, 選擇Data sets(

27、自動)和Type of Fit。 Apply后即可完成擬合。10/10/97第97頁例6擬合結果f(x) = p1*x9 + p2*x8 + + p9*x + p10Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 7.539e-005 (-0.0003157, 0.0004665) p2 = -0.004425 (-0.02732, 0.01847) p9 = 492.8 (-1832, 2817) p10 = -195 (-1118, 728.2)Goodness of fit: SSE: 9.399 R-square: 0.9899 Adju

28、sted R-square: 0.9443 RMSE: 2.16810/10/98第98頁10/10/99第99頁例7擬合結果 f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x)Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 9.364 (9.148, 9.581) b = 0.008339 (0.006474, 0.0102) c = -9.814 (-10.32, -9.311) d = -0.5864 (-0.6399, -0.5328)Goodness of fit: SSE: 0.06191 R-square: 0.9987 A

29、djusted R-square: 0.9984 RMSE: 0.0718310/10/100第100頁10/10/101第101頁 若想選擇自定義函數(shù)，能夠選定Type of Fit中Custom Equations，然后定義新函數(shù)。10/10/102第102頁5. Origin介紹 Origin是美國MicroCal企業(yè)開發(fā)數(shù)據(jù)分析和繪圖軟件。 Origin能夠非常方便地進行各類二維和三維圖繪制，所繪圖形精美,可在Word, PPT中進行編輯、修改。 Origin數(shù)據(jù)分析功效包含插值,微積分, 簡單統(tǒng)計分析, Fourier變換,10/10/103第103頁濾波等，但最具特色是擬合功效。 Origin不但提供了數(shù)百種曲線和曲面供選擇，而且還允許自創(chuàng)曲線和曲面線型。 Origin操作較為簡單，基本上只需要經(jīng)過菜單即可完成全部操作。 Origin擬合過程以下： (1) 建立擬合數(shù)據(jù), 作出散點圖。10/10/104第104頁 擬合數(shù)據(jù)能夠在Origin輸入，也能夠直接調(diào)用Excel文件。 (2) 選定擬合線型。 打開AnalysisFitting菜單，可直接選擇Linear, Polynomial或Nonli near Fit，在NLFit對話框中，依據(jù)散點圖形狀，選擇適當線型。 (3) 點Fit