高等數(shù)學答案(北大版)李忠周建瑩第五章總練習題

1、 2 2 2 2 第章練題1.設a 為兩個非零向量 指下列等式成的充分必要條 : (1)| a + | a + a |;(3) a + b與 共線解(1)| a + b a + | | b | b b = 0 a, 正交.(2) + a | + | a | |2 b | | b | a b b | | b cos a, b共線且方向相反. + b與 共線 ( + b ) a = , 共線.2.設a,b,c 為非向量, 判斷下列等式是否成 : b ( c);(2)( a b2= a2b2;(3) ( ) a 解(不成.例如( i i ( j .(2)不成立例 : i j )2= 0 2j2成立a

2、 ( b 和 a ) 都是a 的有體積 且定向相同.設a,b為非零量,7 與 正,與 與7 正,求 2 解(7a ) ( b) 0,( ) (7a ) 0. b (2)(1) 161(a) 利向運算 證明下列幾何命 : 射定考慮直角角形ABC 中為直 是邊的, D AB BD AC 證 AB DB DC AB AD ) ( ) AD DC DC DB DC DC BD DC ( 同) AD BD BD CD ) BD ).AC BD CD CD ( ) 知點A , 的標別為(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1).若CDBD是平行四形求 點D的坐.解A B C C (0,1,1), AB

3、 (0,1,0), OD AD (1,0,0) (0,2,1) 點D的坐標 1 1 2 1 2 1 1 2 |1 1 1 2 1 2 1 1 2 |1 6.設 為零量證( = 2 b 證( )a | b |2sin b | b , b a | b a | b 2 b ba )7.設有兩直線L :平方程x y z x y z , : 平于 , L 且與它們等的 1 i j 解n 求面點 2,1/ 所平:-5( 2) y 2) z 2) x y 設直線通點P 且其方向向量為 , 證外0 P P |一點P的距離d可表為 0 1 v P0vL證平行四邊形 的積0 1 v 0 1P1設兩直線L , L

4、分通過點PP ,它們的方向向量 , v 證明L 與L 共面的充分1 2 2 1 2必要條件為 ( v ) 1 2 證 與L 共面 共面 ( ) 0.1 2 1 2 設兩直L L 分別通過點P P 且它們的向向量為v , v L L 之間的距離定1 2 1 2 1 1 2 義為 | Q Q 證明(1)當L L 平行時 們之間的距離可表示為 1 Q v Q PP ( v ) (2)當L 與L 為異面直線時,它們之間的距離可表為 d 2 v |1 證 (當 L 行時,它們之間的距離為 上任意一點到L 的距,由8題, 1 2 d 2 v 1 ( v )1 ( v ) P 在L 與L 的公垂線方向的單位

5、向量上的投,1 1 1 1 故其長度 ( v ) 1 ( ) |1 是異面直線L 與L 之間的距離 v |1 設直線L方程為:A D 1 1 1A B z D 2 證 : 對于任意兩個不全為零的常數(shù) 方程1 2 x y ) A z D ) 1 1 1 2 2 2表示一個通過直線L平面(2)任意給定一通過直線L的平面必存在兩個不全為零的實數(shù) 使平面1 2的方程為 x y z ) A x B z D ) 1 1 1 1 1 2 2證 (向量( A B C )與( B , C )不共 故對于兩個不全為零的常數(shù) , 1 2 2 x y ) A z D ) 的主系數(shù)1 1 1 2 2 2 B , C +

6、 A ) 是一個平面的方程,并且 L點的坐標 1 1 2 2 2( x , )足A D 1 1 1A B z D 2 2, 故滿足 x y ) A z D ) 0.1 1 1 2 2 2(2)設平過直線L, 其方程為( ) ( y y ) ( z ) By D 0.0 ( x y z )在三個向量( , , ) ( , B C )與 A 均垂直于的方向向量 0 0 2故共面 又 , B , C )與( , , )都是非零向, 故存在兩個不全零的數(shù) ,1 1 1 2 2 2使得( A, , ) , C + A ).1 1 2 D + ) + ) ) z 0 0 1 2 1 1 2 1 2 2 B

7、 y ) A B y z ) 1 0 0 2 1 故示為 x y z ) A x B z D ) 0.1 1 1 1 1 2 2 20試求通過直 :1 y 且與直線 : x 平行的平面方程. 2解根1題的結(jié)論所求平面方程有形式 x y 0.1 2 1 2 1 2由于平面與L 平( (1,1,1) 2 2令 得所求平面方程2 x y 1 2 2 z 已知面的方程為 : 平面程為 2 x y 0. 求曲面的行于 平面方程;(2) 在面 上求到面為最及長, 求最短最的離 y解 (1)的法量( x, z ).4 x 0. ( ) Y ( Z ) 1 1 P A 2 2 P A 2 2 2 1 1 P

8、A 2 2 P A 2 2 2 已知曲面S的方程為S x2 平面程為 4 2求曲面的平行于平面方;(2) 在曲面S 求到平面離為最短及長的, 求最短及最長距離.解 的點記( x, z ).的法向量(2 22 x / 切平面與,則法向量對坐標成比例： .z x y .2 2與曲面方程聯(lián)立 x22 x21 , 2切平面方程 ( X ) (Y ( ) ，2 1利用曲面方程得 xX zZ 2. 2 2平面點A P 11 7點P P 2 2P到面離d 1 17( , 1 n 310 31 5點P , ,1,1), 2 25( ,1,1) (2,1,2)2 到平面離 n 323.1 1在曲面 到平面離最短及最長的點分別是 和 ,1,1),2 22 10并求最短及最長的距離分別 和 3 3 y z14.線 繞z旋轉(zhuǎn)一, 所得 1