黑龍江省大興安嶺漠河縣高級中學(xué)2023學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知是等差數(shù)列的前項和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為( )A2020B20l9C2018D20172歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)

2、大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于( )ABCD4若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（ ）ABCD5為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖（軸表示氣溫，軸表示銷售量），由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（ ）A正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為B負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為C負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為D正相關(guān)，相關(guān)負(fù)數(shù)的值為6把滿足條件（1），（2），使得的函數(shù)稱為“D

3、函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為（ ） A1個B2個C3個D4個7若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是( )ABCD8已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（ ）.AB9C5D9已知是第二象限的角，則( )ABCD10已知集合，則中元素的個數(shù)為( )A3B2C1D011已知函數(shù)，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD12已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開式中，的系數(shù)為_.14已知數(shù)列滿足，則_15已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，若，則_.16已知是定義在

4、上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為若時，則不等式的解集是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖， 在四棱錐中， 底面， ， ，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若為棱上一點(diǎn)， 滿足， 求二面角的余弦值.18（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.19（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.（）求角的大?。唬ǎ┤?，求面積的取值范圍.20（12分）已知拋物線：y22px（p0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋

5、物線的方程；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)A（3，2）的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)B（3，6）和M的直線與拋物線交于另一點(diǎn)L，問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由21（12分）如圖，在平面四邊形中，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.22（10分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2 -kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于12023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】根據(jù)題

6、意計算，計算，得到答案.【題目詳解】是等差數(shù)列的前項和，若，故，故，當(dāng)時，當(dāng)時，故前項和最大.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、A【答案解析】計算，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算， 意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.3、C【答案解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【題目詳解】因為,所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.4、C【答案解析】令，則，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后

7、，然后取絕對值作差比較可得【題目詳解】令，則，因此，.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題5、C【答案解析】根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷【題目詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)為負(fù)故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系，考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ)6、B【答案解析】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，分別對所給函數(shù)進(jìn)行驗證.【題目詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，不滿足（2）；不滿足（1）；不滿足（2）；均滿足（1）（2）.故選：B.【答案點(diǎn)睛

8、】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.7、C【答案解析】由題可知，設(shè)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】設(shè)函數(shù)，因為，所以，或，因為 時，或時，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，所以.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.8、A【答案解析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求

9、的最小值.【題目詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時取得最小值.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.9、D【答案解析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【題目詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,所以.故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.10、C【答案解析】集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù)，即為交集中元素的個數(shù)

10、.【題目詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.11、D【答案解析】先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【題目詳解】因為，故，當(dāng)時，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當(dāng)趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當(dāng)時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由

11、方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.12、B【答案解析】令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【題目詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點(diǎn)，要使關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設(shè)由根的分布可知，解得.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16【答案解析】要得到的系數(shù)，只要求出二項式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【題目詳解】的系數(shù)為.故答案為

12、：16【答案點(diǎn)睛】此題考查二項式的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】項和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【題目詳解】當(dāng)時，由已知，可得，故，由-得，顯然當(dāng)時不滿足上式，故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類討論的能力，屬于中檔題.15、127【答案解析】已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以，則有 ，通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【題目詳解】由.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.16、【答案解析】構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性

13、，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【題目詳解】令，則是上的偶函數(shù)，則在上遞減，于是在上遞增由得，即，于是，則，解得故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析 （2） （3）【答案解析】（1）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出，由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；（3）由點(diǎn)在棱上

14、，設(shè)，再由，結(jié)合，由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個平面夾角的余弦值，再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為棱 的中點(diǎn)，.（2）,設(shè)平面的法向量為.則，代入可得，令解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，由直線與平面夾角可知 所以直線與平面所成角的正弦值為.（3），由點(diǎn)在棱上，設(shè)，故，由，得，解得，即，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則取平面的法向量，則二面角的平面角滿足，由圖可知，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間向量

15、的綜合應(yīng)用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計算量較大，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析【答案解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求解；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【題目詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，至多一個零點(diǎn)，不符題意，當(dāng)時，因為有兩個零點(diǎn)，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，

16、所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以單調(diào)遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.【答案點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點(diǎn)相關(guān)的命題.19、（）；（）【答案解析】（）根據(jù)，利用二倍角公式得到，再由輔助角公式得到，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（）根據(jù)（）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【題目詳解】（）因為，所以，或，或，因為，所以所以；（）由余弦定理得： ，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等

17、號，又因為，所以，所以【答案點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）y24x；（2）直線NL恒過定點(diǎn)（3，0），理由見解析.【答案解析】（1）根據(jù)拋物線的方程，求得焦點(diǎn)F（，0），利用（2，2），表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因為A（3，2），B（3，6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y212，然后表示直線NL的方程為：yy1（x），代入化簡求解.【題目詳解】（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（，0），滿足（2，2）的P

18、的坐標(biāo)為（2，2），P在拋物線上，所以（2）22p（2），即p2+4p120，p0，解得p2，所以拋物線的方程為：y24x；（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y124x1，y224x2，直線MN的斜率kMN，則直線MN的方程為：yy0（x），即y，同理可得直線ML的方程整理可得y，將A（3，2），B（3，6）分別代入，的方程可得，消y0可得y1y212，易知直線kNL，則直線NL的方程為：yy1（x），即yx，故yx，所以y（x+3），因此直線NL恒過定點(diǎn)（3，0）【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思

19、想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）【答案解析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得，結(jié)合正弦和角公式求得，即可求得，進(jìn)而由三角函數(shù)（2）設(shè)根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【題目詳解】（1），則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，則 ，則，所以.（2）設(shè)在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由三角形面積公式可得，所以四邊形面積的最大值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了正弦和角公式化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.22、（1）；（2）見解析【答案解析】（1）求出，記