物理實(shí)驗(yàn)緒論lun公開課一等獎(jiǎng)優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、1 大學(xué)物理試驗(yàn)課程 緒論北京化工大學(xué)國家級(jí)工科物理試驗(yàn)教學(xué)基地 2月第1頁2緒論課主要內(nèi)容1.物理試驗(yàn)地位和作用2.物理試驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)3.誤差基礎(chǔ)知識(shí)4.有效數(shù)字及數(shù)據(jù)處理方法5.物理試驗(yàn)課詳細(xì)要求6.物理試驗(yàn)課成績?cè)u(píng)定第2頁31. 物理試驗(yàn)地位和作用 物理學(xué)是研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)普通規(guī)律及物質(zhì)基本結(jié)構(gòu)科學(xué)，是自然科學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科,是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)和工程技術(shù)基礎(chǔ)。 物理學(xué)是一門試驗(yàn)科學(xué)，物理試驗(yàn)在物理學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中起著主要作用。第3頁4伽利略把試驗(yàn)和邏輯引入物理學(xué),使物理學(xué)最終成為一門科學(xué)。經(jīng)典物理學(xué)規(guī)律是從試驗(yàn)事實(shí)中總結(jié)出來。近代物理學(xué)是從試驗(yàn)事實(shí)與經(jīng)典物理學(xué)矛盾中發(fā)展起來。很多技術(shù)科

2、學(xué)是從物理學(xué)分支中獨(dú)立出去。第4頁5 力學(xué)方面，牛頓三定律和萬有引力定律是牛頓在大量試驗(yàn)基礎(chǔ)上總結(jié)出來；電磁學(xué)發(fā)展則離不開兩個(gè)主要試驗(yàn)，一是奧斯特經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)覺電流磁效應(yīng)，二是法拉第經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)覺磁也能夠產(chǎn)生電；一樣，楊氏雙縫試驗(yàn)和光電效應(yīng)試驗(yàn)也對(duì)應(yīng)推進(jìn)了光學(xué)發(fā)展。當(dāng)代科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展是離不開物理學(xué)理論和試驗(yàn)構(gòu)思和方法。物理試驗(yàn)一些試驗(yàn)理論、方法已經(jīng)廣泛滲透到了自然科學(xué)各個(gè)學(xué)科和工程技術(shù)領(lǐng)域。比如，聲波測井、物質(zhì)化學(xué)成份與光譜結(jié)構(gòu)分析等，都不過是一些專業(yè)物理試驗(yàn)而已。第5頁6以諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)為例：80%以上諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)給了試驗(yàn)物理學(xué)家。 20%獎(jiǎng)中很多是試驗(yàn)和理論物理學(xué)家分享。試驗(yàn)結(jié)果能夠很快得

3、獎(jiǎng)，而理論結(jié)果要經(jīng)過最少兩個(gè)試驗(yàn)檢驗(yàn)。有建立在共同試驗(yàn)基礎(chǔ)上結(jié)果能夠連續(xù)幾次獲獎(jiǎng)。第6頁7（3）要知道怎樣估算誤差、不確定度，判斷所得規(guī)律與結(jié)論可靠性等。各位同學(xué)畢業(yè)后，從事生產(chǎn)或生產(chǎn)技術(shù)研究工作，要處理生產(chǎn)或科研中碰到實(shí)際問題。而這些問題往往要經(jīng)過試驗(yàn)來處理。這就需要我們必須具備一定試驗(yàn)?zāi)芰?。?）要熟悉并會(huì)利用必要試驗(yàn)儀器（如游標(biāo)卡尺、螺旋測微器怎樣讀數(shù)；邁克爾遜干涉儀調(diào)整；分光儀調(diào)整等）物理試驗(yàn)就是培養(yǎng)大家這些試驗(yàn)?zāi)芰Γ?）要知道怎樣對(duì)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行總結(jié)歸納（作圖法、逐差法、線性回歸法等）第7頁8 2. 物理試驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)和任務(wù) 學(xué)習(xí)試驗(yàn)知識(shí)培養(yǎng)試驗(yàn)?zāi)芰μ嵘囼?yàn)素養(yǎng)第8頁9 學(xué)習(xí)試驗(yàn)知識(shí)

4、 經(jīng)過對(duì)試驗(yàn)現(xiàn)象觀察、分析和對(duì)物理量測量，學(xué)習(xí)物理試驗(yàn)知識(shí)和設(shè)計(jì)思想，掌握和了解物理理論。第9頁10培養(yǎng)試驗(yàn)?zāi)芰柚滩幕騼x器說明書正確使用慣用儀器；利用物理學(xué)理論對(duì)試驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行初步分析判斷；正確統(tǒng)計(jì)和處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制試驗(yàn)曲線，說明試驗(yàn)結(jié)果，撰寫合格試驗(yàn)匯報(bào)；能夠依據(jù)試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)和儀器設(shè)計(jì)出合理試驗(yàn)。第10頁11提升試驗(yàn)素養(yǎng)培養(yǎng)理論聯(lián)絡(luò)實(shí)際和實(shí)事求是科學(xué)作風(fēng)；嚴(yán)厲認(rèn)真工作態(tài)度；主動(dòng)研究和創(chuàng)新探索精神；恪守紀(jì)律、團(tuán)結(jié)協(xié)作和愛護(hù)公共財(cái)產(chǎn)優(yōu)良品德。第11頁12 物理試驗(yàn)課程不一樣于普通探索性科學(xué)試驗(yàn)研究，每個(gè)試驗(yàn)題目都經(jīng)過精心設(shè)計(jì)、安排，可使同學(xué)取得基本試驗(yàn)知識(shí)，在試驗(yàn)方法和試驗(yàn)技能諸方面得到較為系統(tǒng)

5、、嚴(yán)格訓(xùn)練，是大學(xué)里從事科學(xué)試驗(yàn)起步，同時(shí)在培養(yǎng)科學(xué)工作者良好素質(zhì)及科學(xué)世界觀方面，物理試驗(yàn)課程也起著潛移默化作用。 第12頁13誤差定義及表示隨機(jī)誤差分布規(guī)律直接測量量隨機(jī)偏差估算間接測量量誤差傳輸公式 系統(tǒng)誤差 怎樣處理誤差 測量不確定度評(píng)定與表示 3.誤差基礎(chǔ)知識(shí)第13頁143.1 誤差定義及表示測量 真值 誤差 精度測量不確定度第14頁153.1.1 測量 物理試驗(yàn)以測量為基礎(chǔ)，所謂測量，就是用適當(dāng)工具或儀器，經(jīng)過科學(xué)方法，將反應(yīng)被測對(duì)象一些特征物理量（被測物理量）與選作標(biāo)準(zhǔn)單位同類物理量進(jìn)行比較過程，其比值即為被測物理量測量值。第15頁16直接測量：直接將待測物理量與選定同類物理量標(biāo)

6、準(zhǔn)單位相比較直接得到測量值；間接測量：利用直接測量量與被測量之間已知函數(shù)關(guān)系，求得該被測物理量。測量值 = 讀數(shù)值(有效數(shù)字)+單位比如，用單擺測重力加速度g，要先測出擺長L和周期T，再由公式 計(jì)算出g。g測量就稱為間接測量。比如，用米尺測量長度、用溫度計(jì)測量溫度、用電壓表測量電壓、用秒表測量時(shí)間等都屬于直接測量。第16頁173.1.2 真值 真值即真實(shí)值，是指在一定條件下，被測量客觀存在實(shí)際值。真值通常是個(gè)未知量， 普通所說真值是指理論真值、要求真值。第17頁18理論真值：又稱絕對(duì)真值，是指按一定理論，在嚴(yán)格條件下，按定義確定數(shù)值。要求真值：又稱約定真值，是指用約定方法來確定真值。比如，平面

7、三角形三內(nèi)角之和恒為1800。比如，1982年國際計(jì)量局召開米定義咨詢委員會(huì)提出米定義為“米等于光在真空中1/299 782 458秒時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑長度”。這個(gè)米基準(zhǔn)就稱為計(jì)量長度要求真值。第18頁193.1.3 誤差對(duì)一待測物理量 x 誤差 測量結(jié)果 x 真值x0 所謂誤差是指被測量測量值與被測量真值之差，即：依據(jù)誤差表示方法不一樣，有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。第19頁20絕對(duì)誤差:指被測量測量值和真值之差，通常簡稱為誤差。絕對(duì)誤差可能是正值，也可能是負(fù)值。相對(duì)誤差:指絕對(duì)誤差與被測量真值之比值，慣用百分比（%）表示。對(duì)于相同被測量，絕對(duì)誤差能夠評(píng)定其測量精度高低，但對(duì)于不一樣被測量以及不一樣

8、物理量，絕對(duì)誤差就難以評(píng)定其測量精度高低，而采取相對(duì)誤差來評(píng)定較為確切。第20頁21比如，用兩種方法來測量L1=100mm尺寸，其測量誤差分別為1=10m，2=8m。依據(jù)絕對(duì)誤差大小，可知后者測量精度高。但若用第三種方法測量L2=80mm尺寸，其測量誤差為3=7m，此時(shí)用絕對(duì)誤差就難以評(píng)定它與前兩種方法精度高低，必須采取相對(duì)誤差來評(píng)定。第一個(gè)方法相對(duì)誤差為：第二種方法相對(duì)誤差為：第三種方法相對(duì)誤差為：第21頁22測量誤差存在于一切測量過程中，能夠控制得越來越小，不可能為零。按照誤差特點(diǎn)與性質(zhì)，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。第22頁23定 義：在對(duì)同一被測量屢次測量過程中，絕對(duì)值和符號(hào)

9、保持恒定或隨測量條件改變而按確定規(guī)律改變。產(chǎn)生原因：因?yàn)闇y量儀器、測量方法、環(huán)境帶入。分類及處理方法：1 已定系統(tǒng)誤差：必須修正電表、螺旋測微計(jì)零位誤差；測電壓、電流時(shí)因?yàn)楹雎员韮?nèi)阻引發(fā)誤差。2 未定系統(tǒng)誤差：要預(yù)計(jì)出分布范圍如：螺旋測微計(jì)制造時(shí)螺紋公差等。系統(tǒng)誤差第23頁24（1）測量裝置方面原因：儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)原理上缺點(diǎn)，如齒輪杠桿測微儀直線位移和轉(zhuǎn)角不成百分比引發(fā)誤差；儀器零件制造和安裝不正確，如刻度盤和指針安裝偏心、天平臂長不等引發(fā)誤差；（2）環(huán)境方面原因：測量時(shí)實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度偏差、測量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律改變誤差。（3）測量方法原因：采取近似測量方法或近似計(jì)算公式等引發(fā)誤差

10、。（4）測量人員方面原因：因?yàn)闇y量者個(gè)人特點(diǎn)，在刻度上預(yù)計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一方向；動(dòng)態(tài)測量時(shí)，統(tǒng)計(jì)某一信號(hào)有滯后傾向等。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因第24頁25系統(tǒng)誤差分類系統(tǒng)誤差又可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。已定系統(tǒng)誤差：指誤差數(shù)值和符號(hào)已經(jīng)確定系統(tǒng)誤差；未定系統(tǒng)誤差：指誤差數(shù)值或符號(hào)改變不定或按一定規(guī)律改變誤差，未定系統(tǒng)誤差又稱為變值系統(tǒng)誤差。未定系統(tǒng)誤差依據(jù)它不一樣改變規(guī)律，有線形改變、周期性改變、以及按復(fù)雜規(guī)律改變，等等。系統(tǒng)誤差因?yàn)槠鋽?shù)值恒定或含有一定規(guī)律性，可經(jīng)過試驗(yàn)方法找出，并給予消除，或加修正值對(duì)測量結(jié)果給予修正。第25頁26定義：在對(duì)同一量屢次重復(fù)測量中絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知方式

11、改變測量誤差分量。產(chǎn)生原因：試驗(yàn)條件和環(huán)境原因無規(guī)則起伏改變，引發(fā)測量值圍繞真值發(fā)生漲落改變。比如：電表軸承摩擦力變動(dòng)螺旋測微計(jì)測力在一定范圍內(nèi)隨機(jī)改變操作讀數(shù)時(shí)視差影響隨機(jī)誤差第26頁27隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因隨機(jī)誤差是由許多暫時(shí)未能掌握或不便掌握微小原因造成，主要有以下幾方面：（1）測量裝置方面原因：零部件配合不穩(wěn)定性、零部件變形、零件表面油膜不均勻、摩擦等。（2）環(huán)境方面原因：溫度微小波動(dòng)、濕度與氣壓微量改變、光照強(qiáng)度改變、灰塵及電磁場改變等。（3）人員方面原因：測量者固有習(xí)慣、分辨能力限制、工作疲勞引發(fā)視覺器官生理改變等。如瞄準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。第27頁28粗大誤差 定義：又稱粗差，是指那些

12、誤差數(shù)值尤其大，超 出在要求條件下預(yù)計(jì)誤差。 產(chǎn)生原因：因?yàn)闇y量者粗心大意造成 如：在測量時(shí)，儀器操作錯(cuò)誤、讀數(shù)讀錯(cuò)或記數(shù)記錯(cuò)等。 粗大誤差因?yàn)檎`差數(shù)值尤其大，輕易從測量結(jié)果中發(fā)覺，一旦發(fā)覺有粗大誤差，可認(rèn)為該次測量無效，測量數(shù)據(jù)作廢，即可消除它對(duì)測量結(jié)果影響。 第28頁29 上面雖將誤差分為三類，但必須注意各類誤差之間在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化。對(duì)某項(xiàng)詳細(xì)誤差，在此條件下為系統(tǒng)誤差，而在另一條件下可為隨機(jī)誤差，反之亦然。 掌握誤差轉(zhuǎn)化特點(diǎn)，可將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差，用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理方法減小誤差影響；或?qū)㈦S機(jī)誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差，用修正方法減小其影響。第29頁303.1.4 精度精密度正確度準(zhǔn)確度

13、（準(zhǔn)確度）反應(yīng)測量結(jié)果與真值靠近程度量，稱為精度。它與誤差大小相對(duì)應(yīng)，所以可用誤差大小來表示精度高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。精度可分為：第30頁31精密度：反應(yīng)測量結(jié)果中隨機(jī)誤差影響程度。隨機(jī)誤差越小，精密度越高。正確度：反應(yīng)測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差影響程度。系統(tǒng)誤差越小，正確度越高。準(zhǔn)確度（準(zhǔn)確度）：反應(yīng)測量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差綜合影響程度。綜合誤差越小，準(zhǔn)確度越高。精度在數(shù)量上有時(shí)可用相對(duì)誤差來表示，如相對(duì)誤差為0.01%，可籠統(tǒng)說其精度為10-4。若純屬隨機(jī)誤差引發(fā)，則說其精密度為10-4；若是由系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差共同引發(fā)，則說其準(zhǔn)確度為10-4。第31頁32精密度高而正確度不一

14、定高正確度高而精密度也不一定高但準(zhǔn)確度高，則精密度與正確度都高。對(duì)于詳細(xì)測量如打靶結(jié)果，子彈落在靶心周圍有三種情況:（a）正確度高而精密度低。（b）正確度低而精密度高。（c）系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都小，即準(zhǔn)確度高，我們希望得到準(zhǔn)確度高結(jié)果。第32頁333.1.5 測量不確定度 一切測量結(jié)果都不可防止地含有不確定度。測量不確定度是評(píng)定測量水平指標(biāo)，是判斷測量結(jié)果質(zhì)量依據(jù)。它對(duì)科研、生產(chǎn)、商貿(mào)等領(lǐng)域影響很大。所以，學(xué)習(xí)怎樣正確評(píng)定和表示測量不確定度含有實(shí)際和主要意義。第33頁34測量不確定度:指測量結(jié)果變化不愿定，是表征被測量真 值在某個(gè)量值范圍一個(gè)估計(jì)，是測量結(jié)果含 有一個(gè)參數(shù)，用以表示被測量值分散

15、性。比如，被測量Y測量結(jié)果：yU， 其中y是被測量預(yù)計(jì)，它含有測量不確定度為U。依據(jù)測量不確定度定義，在測量實(shí)踐中怎樣對(duì)測量不確定度進(jìn)行合理評(píng)定，這是必須處理基本問題。第34頁35不確定度評(píng)定方法A類評(píng)定 其中一些分量由一系列觀察數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析來評(píng)定，即：能夠用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算分量，普通指隨機(jī)誤差。B類評(píng)定 另一些分量不是用一系列觀察數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析法，而是基于經(jīng)驗(yàn)或其它信息所認(rèn)定概率分布來評(píng)定，即：不能用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算分量，普通指系統(tǒng)誤差。對(duì)于一個(gè)實(shí)際測量過程，影響測量結(jié)果精度有多方面原因，所以測量不確定度普通包含若干個(gè)分量，各不確定度分量不論其性質(zhì)怎樣，皆可用兩類方法進(jìn)行評(píng)定，即A類評(píng)定與B類評(píng)定

16、。第35頁36測量不確定度與誤差 測量不確定度和誤差是誤差理論中兩個(gè)主要概念，它們含有相同點(diǎn)，即都是評(píng)價(jià)測量結(jié)果質(zhì)量高低主要指標(biāo)，都可作為測量結(jié)果精度評(píng)定參數(shù)。但它們又有顯著區(qū)分，必須正確認(rèn)識(shí)和區(qū)分。第36頁37區(qū)分定義方面誤差測量結(jié)果與真值之差，它以真值或約定真 值為中心。測量不確定度以被測量預(yù)計(jì)值為中心。誤差是一個(gè)理想概念，普通不能準(zhǔn)確知道，難以定量；而測量不確定度是反應(yīng)人們對(duì)測量認(rèn)識(shí)不足程度，是能夠定量評(píng)定。第37頁38分類方面誤差按本身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，并可采取不一樣辦法來減小或消除各類誤差對(duì)測量結(jié)果影響。但因?yàn)楦黝愓`差之間并不存在絕對(duì)界限，故在分類判別和誤差

17、計(jì)算時(shí)不易準(zhǔn)確掌握。測量不確定度不按性質(zhì)分類，而是按評(píng)定方法分為A類評(píng)定和B類評(píng)定，兩類評(píng)定方法不分優(yōu)劣，按實(shí)際情況可能性加以選取。因?yàn)椴淮_定度評(píng)定只考慮其影響結(jié)果評(píng)定方法，未考慮影響不確定度原因起源和性質(zhì)，從而簡化了分類，便于評(píng)定與計(jì)算。第38頁39注意嚴(yán)格來說，不要簡單地把A類不確定度對(duì)應(yīng)于隨機(jī)誤差造成不確定度，把B類不確定度對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)誤差造成不確定度。第39頁40聯(lián)絡(luò)（1）誤差是不確定度基礎(chǔ)研究不確定度首先需研究誤差，只有對(duì)誤差性質(zhì)、分布規(guī)律、相互聯(lián)絡(luò)及對(duì)測量結(jié)果誤差傳遞關(guān)系等有了充分認(rèn)識(shí)和了解，才能更加好地預(yù)計(jì)各不確定度分量，正確得到測量結(jié)果不確定度。（2）用測量不確定度代替誤差表示測

18、量結(jié)果，易于了解、便于評(píng)定，含有合理性和實(shí)用性但測量不確定度內(nèi)容不能包羅更不能取代誤差理論全部內(nèi)容，如傳統(tǒng)誤差分析與數(shù)據(jù)處理等均不能被取代。客觀地說，不確定度是對(duì)經(jīng)典誤差理論地一個(gè)補(bǔ)充，是當(dāng)代誤差理論內(nèi)容之一，但它還有待于深入研究、完善與發(fā)展。第40頁413.2 隨機(jī)誤差分布規(guī)律 統(tǒng)計(jì)直方圖 正態(tài)分布 算術(shù)平均值 第41頁42在測量中，隨機(jī)誤差是無法消除。對(duì)于單次測量，隨機(jī)誤差大小、正負(fù)都不確定；但對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行等精度屢次重復(fù)測量，卻發(fā)覺隨機(jī)誤差含有一定規(guī)律性，即符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律。第42頁43等精度測量 指在測量條件（包含測量儀器、測量方法、測 量人員及測量環(huán)境等）不變情況下對(duì)同一被 測量進(jìn)行重復(fù)

19、測量，所得各測量值含有相同 精度，或者說含有相同可信賴程度。實(shí)際 上，有意義、有價(jià)值屢次測量普通都是指等 精度測量。 為研究問題方便，本節(jié)假設(shè)測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，即只包含隨機(jī)誤差情況。第43頁443.2.1 統(tǒng)計(jì)直方圖 舉一個(gè)簡單測量例子，如用長300mm鋼尺，測量已知長度為836mm導(dǎo)線，在相同測量條件下，共測量了150次。將這些測得值按大小分成若干個(gè)等間距組（共分了11個(gè)組），落入某一個(gè)間距組測得值，相互之間會(huì)有差異，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，取該間距組中心值代表這些測得值。對(duì)應(yīng)中心值xi，誤差為i，各誤差出現(xiàn)次數(shù)（又稱頻數(shù)）為mi，相對(duì)次數(shù)（又稱頻率）為fi，列于表內(nèi)。第44頁45區(qū)間

20、號(hào)i中心值xi（mm）誤差i（mm）頻數(shù)mi頻率fi（%）1234567891011831832833834835836837838839840841-5-4-3-2-10+1+2+3+4+513818283429179210.662.005.3312.0018.6622.6619.3311.336.001.320.66第45頁46若以為橫坐標(biāo)，間距 以 為縱坐標(biāo)作圖，所得圖形稱為統(tǒng)計(jì)直方圖。圖中是 對(duì)應(yīng)區(qū)間為單位長度時(shí)頻率，稱為頻率密度。從圖中可見，誤差落在區(qū)間 內(nèi)頻率為 ，它等于圖中小矩形面積。顯然，統(tǒng)計(jì)直方圖總面積等于1。第46頁47 假如測量次數(shù) ，區(qū)間 ，則無限多個(gè)直方圖頂點(diǎn)連線就形

21、成一條光滑連續(xù)曲線。該曲線稱為隨機(jī)誤差概率密度分布曲線，也稱為高斯誤差分布曲線或誤差正態(tài)分布曲線。 第47頁483.2.2 正態(tài)分布因?yàn)槎鄶?shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布在誤差理論中占有十分主要地位。設(shè)被測量真值為x0，一系列等精度測量值為xi，則測量列中隨機(jī)誤差i為：式中，i = 1，2，n。服從正態(tài)分布隨機(jī)誤差概率密度分布函數(shù)f()與概率分布函數(shù)P()分別為：式中 標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）。第48頁49服從正態(tài)分布隨機(jī)誤差含有以下特征第三特征可由第二特征推導(dǎo)出來，因?yàn)榻^對(duì)值相等正誤差和負(fù)誤差之和能夠相互抵消。對(duì)于有限次測量，隨機(jī)誤差算術(shù)平均值是一個(gè)有限小量，而當(dāng)測量次數(shù)增加到無限屢次時(shí)

22、，它趨向于零。正態(tài)分布曲線（1）單峰性：即絕對(duì)值小誤差比絕對(duì)值大誤差出現(xiàn)概率大；（2）對(duì)稱性：即絕對(duì)值相等正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)概率相等；（3）抵償性：即伴隨測量次數(shù)增加，隨機(jī)誤差算術(shù)平均值趨向于零；（4）有界性：即在一定測量條件下，隨機(jī)誤差絕對(duì)值不會(huì)超出一定界限。第49頁50標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方根誤差，是指各個(gè)誤差平方和平均值平方根，用公式表示為：標(biāo)準(zhǔn)差值對(duì)正態(tài)分布曲線影響式中 n測量次數(shù)（應(yīng)充分大）； i各測量值誤差。第50頁51標(biāo)準(zhǔn)差大小取決于詳細(xì)測量條件不一樣值，其正態(tài)分布曲線各不相同圖中123，可見值越小，分布曲線越陡，這表明測量列中絕對(duì)值小誤差占優(yōu)勢。值增大，則與此相反。所以，慣用標(biāo)準(zhǔn)差值來

23、表征測量精密度，值越小，說明測量精密度越高。小大第51頁52由概率密度分布函數(shù)f()可知，隨機(jī)誤差落在d區(qū)間內(nèi)概率為f() d。則誤差落在-，+區(qū)間內(nèi)概率為：令，并代入上式，整理得：將上式中按級(jí)數(shù)展開，得：第52頁53積分整理得：對(duì)于，誤差落于C區(qū)間概率可以下計(jì)算：將t代入上式，可得到不一樣C值對(duì)應(yīng)概率，以下表所表示：C11.9622.583P0.68270.950.95450.990.9973C 稱為置信系數(shù)；C 稱為置信限；C稱為置信區(qū)間；P 稱為置信概率或置信度。第53頁54以-3，+3區(qū)間為例，這意味著在370次測量中只有一次測量誤差其絕對(duì)值超出了3范圍。在通常測量中，測量次數(shù)超出幾十

24、次都極少，所以測量誤差大于3情況幾乎是沒有，所以常把3這個(gè)誤差值稱為單次測量極限誤差。誤差落于-，+區(qū)間內(nèi)置信概率分別為68.27% -2，+2區(qū)間內(nèi)置信概率分別為95.45% -3，+3區(qū)間內(nèi)置信概率分別為99.73%由表可知第54頁55在實(shí)際測量中，有時(shí)也可取其它C值來表示單次測量極限誤差。如取C=2.58，P=99%；C=1.96，P=95%等。所以普通情況下，測量列單次測量極限誤差可用下式表示在講正態(tài)分布時(shí)，我們強(qiáng)調(diào)是在測量次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)誤差才服從正態(tài)分布。但同學(xué)們?cè)趯?shí)際試驗(yàn)時(shí)，測量次數(shù)都較少，這時(shí)隨機(jī)誤差就不服從正態(tài)分布，而服從t分布。但當(dāng)測量次數(shù)多于10次時(shí)，t分布和正態(tài)分布就

25、非?？拷?，二者能夠不加區(qū)分。在測量要求不高時(shí)，測量5次也就足夠了。 主要：（看講義7-8頁t分布）第55頁56 正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍一個(gè)分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。伴隨誤差理論研究與應(yīng)用深入發(fā)展，發(fā)覺有不少隨機(jī)誤差不符合正態(tài)分布。對(duì)非正態(tài)分布相關(guān)內(nèi)容我們不作要求。請(qǐng)注意第56頁57 在講誤差時(shí)，我們知道，誤差時(shí)時(shí)刻刻都存在，所以真值是不可測。為了使測量有意義，必須找到真值最正確替換值。下面證實(shí)，算術(shù)平均值是真值最正確替換值。3.2.3 算術(shù)平均值第57頁58在一系列等精度測量中，設(shè)被測量真值為x0，測量值為xi，則算術(shù)平均值為:整理，有：下面證實(shí)：當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值趨近于

26、真值。由上式，得：第58頁59當(dāng) 時(shí)，有所以有：上式表明，當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值趨近于真值。因?yàn)閷?shí)際上都是有限次測量，所以只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量真值。 依據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)誤差第三特征（抵償性）可知第59頁603.3 直接測量量隨機(jī)偏差估算算術(shù)平均值絕對(duì)偏差幾個(gè)偏差置信概率相對(duì)偏差 測量結(jié)果表示 單次測量誤差 均勻分布 第60頁61殘差i：偏 差：用殘差表示誤差。誤差i：3.3.1 算術(shù)平均值絕對(duì)偏差幾個(gè)概念第61頁62評(píng)定測量列隨機(jī)誤差，可用以下幾個(gè)計(jì)算公式：（1）標(biāo)準(zhǔn)偏差（簡稱標(biāo)準(zhǔn)差，又稱均方根誤差）（2）或然誤差（3）算術(shù)平均誤差標(biāo)準(zhǔn)偏差在以上三種方法中，國內(nèi)外廣泛采取第

27、一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差法第62頁63i為測得值誤差，即為測得值與真值之差。假如測量過程中，真值未知，則誤差i也無法得知，所以，也就無法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。不過，對(duì)于一系列等精度測量值xi，前面已經(jīng)證實(shí)，可用其算術(shù)平均值來代替真值x0，此時(shí)，誤差表示式變?yōu)椋簬讉€(gè)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法一、測量列中單次測量標(biāo)準(zhǔn)差式中 i稱為殘余誤差（簡稱殘差）實(shí)際上，在有限次測量情況下，可用殘差i代替誤差i，而得到標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)計(jì)值。第63頁64 標(biāo)準(zhǔn)差不是測量列中任何一個(gè)詳細(xì)測得值隨機(jī)誤差，值大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值隨機(jī)誤差，普通都不等于，但卻認(rèn)為這一系列測量中全部測得值都屬一樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

28、差概率分布。在不一樣條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行兩個(gè)系列等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。請(qǐng)注意第64頁65設(shè)對(duì)某個(gè)量進(jìn)行了n次等精度測量，測得值為xi，算術(shù)平均值為將上列各式相加，得：下面利用標(biāo)準(zhǔn)法貝塞爾（Bessel）公式求標(biāo)準(zhǔn)差，真值為x0，其殘差為：第65頁66因?yàn)?，所以有：上述測量中，測得值xi所對(duì)應(yīng)誤差為：變換成：式中，稱為算術(shù)平均值誤差，則上式可變換為：因有n次測量，故有：第66頁67將各等式對(duì)應(yīng)相相加，得：有：將上式兩邊平方，得：當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，趨近于零，故有：=0即：可認(rèn)為第67頁68若上述各等式平方后再相加，則得：由上述推導(dǎo)，得： 整理，得：此即貝塞爾公式。據(jù)該式可由殘差求得單次測量

29、標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)計(jì)值由標(biāo)準(zhǔn)偏差定義可知：第68頁69 在相同條件下，對(duì)同一量值作多組重復(fù)系列測量，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值。因?yàn)殡S機(jī)誤差存在，各個(gè)測量列算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞被測量真值有一定分散，此分散說明了算術(shù)平均值不可靠性。而算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差 則是表征同一被測量各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。二、測量列算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差第69頁70，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為1，2，m，因?yàn)槭堑染葴y量，所以有，（ j = 1m）算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差可依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義表示為：設(shè)有m組，每組有n次等精度測量，每組算術(shù)平均值分別為每組算術(shù)平均值誤差為：第70頁71（ j = 1m）據(jù)標(biāo)準(zhǔn)

30、差定義式，有：算術(shù)平均值平均偏差：極限偏差：定義為極限偏差。由等精度測量可得：依據(jù)前面推導(dǎo)：（ j = 1m）聯(lián)立以上各式得：第71頁72（1） 算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差概率： 內(nèi)概率為68.3%。（2） 算術(shù)平均值平均偏差概率：內(nèi)概率為57.4%。（3） 算術(shù)平均值極限偏差概率：上式表明：真值落在內(nèi)概率為99.7%。注意：試驗(yàn)結(jié)果一定要標(biāo)注P=？，不然無法判斷你測量結(jié)果優(yōu)劣。3.3.2 幾個(gè)偏差置信概率由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知：由概率密度函數(shù) 對(duì)某一區(qū)間積分，即可得到偏差落在該區(qū)間概率，上式表明：真值落在上式表明：真值落在第72頁733.3.3 相對(duì)偏差 相對(duì)偏差E定義絕對(duì)偏差除以算術(shù)平均值再乘 以10

31、0，即：在評(píng)價(jià)一個(gè)測量結(jié)果準(zhǔn)確程度時(shí)，不但要看絕對(duì)誤差大小，還需要看被測量本身大小，為此，引入相對(duì)偏差概念。第73頁74舉例：測得兩個(gè)長度分別為：則其相對(duì)偏差為： 分析：從絕對(duì)誤差來看，二者相等；但從相對(duì)誤差來看，后者為前者10倍。當(dāng)然，第一個(gè)測量要準(zhǔn)確些。第74頁75三種表示方法： 單位 （P=68.3%，n=?） （2）單位 （P=57.4%，n=?） 3.3.4 測量結(jié)果表示（1）（3）單位 （P=99.7%，n=?）上面三種表示沒有標(biāo)準(zhǔn)區(qū)分，使用任一個(gè)都能夠，但一定要注明P=？，不然，結(jié)果沒有意義！第75頁76 上面講了屢次測量誤差，那么單次測量誤差該怎樣計(jì)算呢？有同學(xué)可能認(rèn)為我防止單

32、次測量不就行了嗎？行嗎？不行！比如，彗星掃過地球，很多年才一次，你要重復(fù)測量需要等多少年？而且，即使你觀察到了兩次，這兩次觀察試驗(yàn)條件可能已經(jīng)發(fā)生了很大改變！還有一個(gè)情況，就是測量精度不高，沒必要重復(fù)測量。這時(shí)，就需要對(duì)單次測量進(jìn)行誤差估算！第76頁77a 普通由儀器說明書來表明本儀器所允許最大誤差，如某一鋼直尺要求最大允許誤差為0.2cm，則用此鋼直尺測量某物體長度時(shí)，只測量了一次，它測量誤差應(yīng)為0.2cm；b 有時(shí)，固定性誤差也可表示為： 3.3.5 單次測量誤差（1） 固定性誤差采取對(duì)象：多數(shù)級(jí)別較低儀器，如電表、溫度計(jì)、游標(biāo)卡尺等。計(jì)算：式中，X0為儀器最小刻度值；b為小于1系數(shù)，通常

33、為110、15或12，可依據(jù)實(shí)際情況決定。第77頁78 式中，X為此次測量測量值；a為儀器準(zhǔn)確度等級(jí)；為此次測量測量誤差。從上式可看到，積累性誤差隨測量值增加而增大。（2） 積累性誤差采取對(duì)象：多數(shù)級(jí)別較高儀器，如電橋、電位差計(jì)、以及經(jīng)過逐點(diǎn)校正高級(jí)電表等。計(jì)算：第78頁79 舉例：用UJ31型電位差計(jì)測量電位差，某次測量測得電位差為120.05mV，另一次測得電位差為160.06mV，計(jì)算這兩次測量測量誤差。已知該電位差計(jì)級(jí)別為a0.05。解：由得mV故兩次測量測量結(jié)果應(yīng)為：mVmVmV第79頁80 大部分同學(xué)都用過天平，天平稱量過程實(shí)際上是一個(gè)平衡調(diào)整過程。稱量準(zhǔn)確度在很大程度上取決于天平

34、調(diào)整靈敏度S。調(diào)整靈敏度S定義：其中，為天平平衡位置附近增減質(zhì)量；為指針偏轉(zhuǎn)格數(shù)。為天平感量。（3） 平衡調(diào)整誤差所謂平衡調(diào)整誤差是指因?yàn)檎{(diào)整靈敏度有限而引發(fā)誤差，用表示，即其中，c為某一常數(shù)。第80頁81 上面講了三種單次測量誤差計(jì)算，普通情況下，儀器結(jié)構(gòu)誤差應(yīng)是三部分之和，即其中，a、b、c為常數(shù)，大小取決于所用儀器質(zhì)量和測量條件好壞！在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為了簡化計(jì)算，凡是小于最大項(xiàng) 1/3項(xiàng)，均可忽略不計(jì)。第81頁82 上面講了屢次測量和單次測量誤差，還有一個(gè)情況，即屢次測量但因?yàn)榫炔粔蚧蚱渌颍鞔螠y量數(shù)值都相等。顯然，按屢次測量誤差估算公式是行不通！這時(shí)，可用儀器極限誤差或用儀器最小分

35、度值作為極限誤差，認(rèn)為測量隨機(jī)誤差在這個(gè)極限內(nèi)均勻分布。第82頁83 依據(jù)均勻分布理論，標(biāo)準(zhǔn)誤差與極限誤差關(guān)系為其中， 為極限誤差。3.3.6 均勻分布第83頁843.4 間接測量量誤差傳輸公式因?yàn)橹苯訙y量量存在誤差，所以間接測量量也必存在誤差，這就是誤差傳遞。間接測量量：是指由直接測量量經(jīng)過一定函數(shù)運(yùn)算得到量。第84頁85設(shè)間接測量量， 其中x1、x2、xm為m個(gè)相互獨(dú)立直接測量量。1 平均（最大）誤差傳遞公式平均（最大）相對(duì)誤差傳遞公式： 其中， 、 、 為直接測量量算術(shù)平均值平均偏差。這是考慮了最不利情況，當(dāng)然這在一定程度上夸大了誤差。第85頁862 標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式（方和根傳遞）或 其

36、中， 、 、 為直接測量量算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差； 為間接測量量標(biāo)準(zhǔn)偏差； 為間接測量量相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差； 、 、 、 、 、 為誤差傳遞系數(shù)。上面兩式知：間接測量量誤差不但和直接測量量誤差相關(guān)，還和誤差傳遞系數(shù)相關(guān)。這對(duì)于以后設(shè)計(jì)新試驗(yàn)、考慮各直接測量量誤差分配是個(gè)主要依據(jù)。 計(jì)算和差形式方便計(jì)算乘除指數(shù)形式方便第86頁87下面經(jīng)過一個(gè)例題看怎樣求間接測量量標(biāo)準(zhǔn)誤差：例題：已知：，求 。解：各直接測量量誤差傳遞系數(shù)分別為：所以，間接測量量標(biāo)準(zhǔn)偏差為： 普通情況下，各量均取平均值。第87頁883.5 系統(tǒng)誤差在任一測量結(jié)果中，普通都含有隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，為了提升測量結(jié)果精度，必須設(shè)法消除或降低隨機(jī)誤

37、差和系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差是不可能從測量中消除，但能夠經(jīng)過屢次重復(fù)測量，以減小它對(duì)測量結(jié)果影響，并可用統(tǒng)計(jì)分析方法估算出它存在大小范圍。系統(tǒng)誤差即使它存在是固定不變或按一定規(guī)律改變，但經(jīng)常不輕易從測量結(jié)果中發(fā)覺它存在和認(rèn)識(shí)它規(guī)律，也不可能象對(duì)待隨機(jī)誤差那樣，用統(tǒng)計(jì)分析方法去找出它存在和影響。第88頁89所以，對(duì)系統(tǒng)誤差，只能是詳細(xì)問題詳細(xì)分析，這在很大程度上取決于測量者知識(shí)水平、經(jīng)驗(yàn)和技巧。但研究系統(tǒng)誤差性質(zhì)及其對(duì)測量結(jié)果影響可得出一些普通標(biāo)準(zhǔn)，方便了解在存在經(jīng)典系統(tǒng)誤差情況下，怎樣去發(fā)覺和消除它。第89頁90(1)儀器誤差：因?yàn)閮x器本身缺點(diǎn)造成，如零點(diǎn)不準(zhǔn)、米尺彎曲等；(2)理論（方法）誤差：因

38、為測量所依據(jù)理論公式本身近似造成，如g測量；(3)個(gè)人誤差：因?yàn)橛^察者本人生理或心理特點(diǎn)造成，如用秒表計(jì)時(shí)，有同學(xué)測得時(shí)間偏長，有同學(xué)測得時(shí)間偏短。注意這種個(gè)人誤差不一樣于前面所講過時(shí)誤差。3.5.1 系統(tǒng)誤差分類1 按系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因分第90頁91（1）不變系統(tǒng)誤差（又稱固定系統(tǒng)誤差）指在測量過程中，誤差符號(hào)和大小都固定不變系統(tǒng)誤差。2 按系統(tǒng)誤差對(duì)測量結(jié)果影響分（2）線性改變系統(tǒng)誤差指在測量過程中，伴隨時(shí)間或測量值增加，按一定百分比不停增大或不停減小系統(tǒng)誤差。比如，稱量天平砝碼或直接標(biāo)定荷重傳感器砝碼，因?yàn)橹谱骱庙来a質(zhì)量偏差是固定不變，它會(huì)給測量結(jié)果帶來固定系統(tǒng)誤差。比如，用來測量熱電偶輸

39、出毫伏值電位差計(jì)，只有當(dāng)回路工作電流保持恒定時(shí)，所測毫伏值才是正確。工作電流大小與電池工作電壓相關(guān)，而電池工作電壓是隨工作時(shí)間增加而逐步下降，這就給測量結(jié)果帶來隨時(shí)間而改變線性系統(tǒng)誤差。第91頁92（4）復(fù)雜規(guī)律改變系統(tǒng)誤差指在測量過程中，按確定且復(fù)雜規(guī)律改變系統(tǒng)誤差 （3）周期性改變系統(tǒng)誤差指在測量過程中，伴隨時(shí)間或測量值增加，誤差數(shù)值和符號(hào)按周期性規(guī)律改變系統(tǒng)誤差。比如，圓盤式儀表中秒表、百分表、壓力表等，因?yàn)橹羔槹惭b與表盤不一樣心，指針指示讀數(shù)誤差是周期性改變，并含有正弦函數(shù)性質(zhì)。比如，微安表指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力矩不能嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采取均勻刻度所產(chǎn)生誤差等。上面將系統(tǒng)誤差分為四

40、類，其中第一類又稱為已定系統(tǒng)誤差，后三類又合稱為未定系統(tǒng)誤差。第92頁93（1）可消除系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差大小和符號(hào)已知或可計(jì)算，經(jīng)過引入一修正值，可消除這類誤差影響。（2）不可消除系統(tǒng)誤差：這類系統(tǒng)誤差確實(shí)存在，但大小和符號(hào)不能確定。從某種角度來看，這類系統(tǒng)誤差又是隨機(jī)誤差，所以稱為雙向系統(tǒng)誤差。 3 按掌握程度分第93頁943.5.2 系統(tǒng)誤差賠償因?yàn)橄到y(tǒng)誤差總是使測量結(jié)果向某一方向偏離，所以屢次測量并不能消除系統(tǒng)誤差，而只能詳細(xì)問題詳細(xì)分析。下面簡單介紹幾個(gè)消除系統(tǒng)誤差試驗(yàn)方法。從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差 用修正方法消除系統(tǒng)誤差不變系統(tǒng)誤差消除法 線性系統(tǒng)誤差消除法對(duì)稱法 周期性系統(tǒng)誤差

41、消除法半周期法第94頁951從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差比如，為了預(yù)防測量過程中儀器零位變動(dòng)，測量開始和結(jié)束時(shí)都需要檢驗(yàn)零位；又如，為了預(yù)防在長久使用時(shí)，儀器精度降低，要嚴(yán)格進(jìn)行周期檢定與修理；假如誤差是由外界條件引發(fā)，應(yīng)在外界條件比較穩(wěn)定時(shí)進(jìn)行測量。從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差是最基本方法，它要求測量人員對(duì)測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差步驟作仔細(xì)分析，并在測量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。第95頁962用修正方法消除系統(tǒng)誤差這種方法是預(yù)先將測量器具系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，作出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同而符號(hào)相反值作為修正值，將實(shí)際測量值加上對(duì)應(yīng)修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤

42、差測量結(jié)果。比如，用螺旋測微儀測量長度時(shí)，因?yàn)榭蓜?dòng)副尺與固定主尺二者零點(diǎn)不一致而引發(fā)系統(tǒng)誤差就可用引入修正值方法來消除。第96頁973不變系統(tǒng)誤差消除法代替法 指在一樣測量條件下，先后對(duì)未知量和與未知量大小適當(dāng)可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行測量，經(jīng)過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使兩次測量結(jié)果相同，則未知量就等于與標(biāo)準(zhǔn)量。抵消法 要求進(jìn)行兩次測量，且使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)系統(tǒng)誤差大小相等、符號(hào)相反，然后取兩次測得值平均值作為測量結(jié)果，這么就可消除系統(tǒng)誤差。交換法 利用交換測量方法來消除固定系統(tǒng)誤差。第97頁98比如，用天平稱量時(shí)，物體質(zhì)量mx應(yīng)等于天平砝碼質(zhì)量m。假定天平兩臂不等，即l1l2，則天平所稱質(zhì)量含有固定系統(tǒng)誤差。采取代替法

43、，先測量一次未知質(zhì)量，得： 然后，用一標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)已知質(zhì)量ms代替未知質(zhì)量mx，使之到達(dá)原先平衡，即： （1）代替法依據(jù)兩次測量可得：即物體質(zhì)量等于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量。這就消除了因天平兩臂不等而帶來系統(tǒng)誤差。第98頁99比如，用螺旋測微儀測量零件長度，因?yàn)闇y微儀螺紋間隙而引發(fā)空程誤差，就可用往返兩個(gè)方向兩次讀數(shù)平均值來消除。設(shè)沒有系統(tǒng)誤差讀數(shù)為a，有系統(tǒng)誤差讀數(shù)為A，空行程引發(fā)系統(tǒng)誤差為0。第一次測量（正行程）讀數(shù)為：A=a+0第二次測量（反行程）讀數(shù)為：A=a-0兩式相加后，得：A+A=2a則有： 即取正反行程兩次讀數(shù)平均值作為測量結(jié)果，就可消除這種系統(tǒng)誤差。（2）抵消法第99頁100比如，用天平稱量時(shí)，

44、我們可用前面所講代替法來消除因?yàn)樘炱絻杀鄄坏榷胂到y(tǒng)誤差，也可用交換法來消除這種系統(tǒng)誤差。即在兩次測量中交換被測物與砝碼位置，用兩次測量平均值作為被測值，就可消除因?yàn)樘炱奖坶L不等而引入系統(tǒng)誤差。（3）交換法第100頁101如圖伴隨時(shí)間改變，被測量系統(tǒng)誤差作線性增加，若選定某時(shí)刻為中點(diǎn)，則對(duì)稱此點(diǎn)系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即有：依據(jù)這一特點(diǎn)，可采取對(duì)稱測量法來消除線性系統(tǒng)誤差。 4線性系統(tǒng)誤差消除法對(duì)稱法對(duì)稱法是消除線性系統(tǒng)誤差有效方法。第101頁102比如，用賠償法測量電阻 Rx為被測電阻，R0為已知電阻，設(shè)回路電流I隨時(shí)間而線性降低。第一次測Rx兩端電壓降為：第二次測R0兩端電壓降為：第三

45、次再測Rx兩端電壓降為：將（1）式和（3）式相加除2得：（1） （2） （3） 因電流是線性改變，則有：（4） （5） 故（4）式可變?yōu)椋郝?lián)立（2）式和（6）式，有：（6） 上式表明，因電流改變而引發(fā)系統(tǒng)誤差已被消除。第102頁1035周期性系統(tǒng)誤差消除法半周期法 周期性改變系統(tǒng)誤差特點(diǎn)是相隔半周期產(chǎn)生誤差大小相等、符號(hào)相反。所以，若相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測量，取兩次讀數(shù)算術(shù)平均值，則可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。第103頁104周期性系統(tǒng)誤差普通可表示為：當(dāng)=1時(shí)，有：當(dāng)=1+時(shí)，有：取1和2算術(shù)平均值，可得：上式表明，周期性系統(tǒng)誤差已被消除。第104頁105不論采取何種方法，都不可能完全消除系

46、統(tǒng)誤差，實(shí)際上只能說把系統(tǒng)誤差減弱到某種程度，使殘余地系統(tǒng)誤差對(duì)測量結(jié)果影響小到能夠忽略不計(jì)。請(qǐng)注意第105頁1063.6 怎樣處理誤差誤差計(jì)算 上面分別講了隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差。經(jīng)過試驗(yàn)，我們測得一系列數(shù)據(jù)，那么，測量結(jié)果誤差怎樣計(jì)算呢？在這兒強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，必須先剔除測量列中過失誤差（粗大誤差），其依據(jù)就是3準(zhǔn)則（又稱萊以特法則）將測量列中大于3 (x)誤差剔除 。 誤差分配標(biāo)準(zhǔn) 誤差普通按等作用標(biāo)準(zhǔn)分配。所謂等作用標(biāo)準(zhǔn)，是指使各直接測量量誤差對(duì)間接測量量影響相等。 第106頁1073.6.1 誤差計(jì)算 上面分別講了隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差。經(jīng)過試驗(yàn)，我們測得一系列數(shù)據(jù)，那么，測量結(jié)果誤差怎樣計(jì)算呢？下

47、面，經(jīng)過一個(gè)例題，看一下測量結(jié)果誤差是怎樣計(jì)算。第107頁108例題： 欲測圓柱體體積，這可經(jīng)過直接測量圓柱體直徑D和高度H，然后依據(jù)函數(shù)關(guān)系 計(jì)算得到?，F(xiàn)分別測量D和H各5次，數(shù)據(jù)以下表所表示，試求圓柱體體積及標(biāo)準(zhǔn)差（置信概率68.3%）。表：測量圓柱體體積試驗(yàn)數(shù)據(jù)n12345D(cm)9.810.010.19.910.2H(cm)1039997101100注意：對(duì)某個(gè)量進(jìn)行了屢次測量，在沒有尤其指第幾次測量結(jié)果怎樣時(shí)，普通都是用算術(shù)平均值來表示測量結(jié)果，它偏差也應(yīng)是算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差第108頁109解：在本題中，在求圓柱體體積時(shí)，應(yīng)用直徑平均值和高度平均值。計(jì)算步驟以下：（1）計(jì)算D和H算

48、術(shù)平均值cm （2）計(jì)算圓柱體體積（3）計(jì)算D和H算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差cm第109頁110同理，可計(jì)算H算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差，為（4）計(jì)算體積標(biāo)準(zhǔn)偏差故，圓柱體體積可表示為 P = 68.3%第110頁111作為普通要求，設(shè)n個(gè)直接測量量相互獨(dú)立，依據(jù)誤差傳遞公式，有：合理誤差分配為：3.6.2 誤差分配標(biāo)準(zhǔn)第111頁112所以，有：從上式可看出：只要直接測量量綜合誤差小于該式結(jié)果，就能滿足給定測量要求。注意：按誤差等作用標(biāo)準(zhǔn)來分配誤差可能存在這種問題：為了使某直接測量量滿足給定測量要求，則必須選擇昂貴試驗(yàn)儀器或付出艱巨勞動(dòng)才行！這時(shí)，我們可依據(jù)需要對(duì)各直接測量量誤差分配百分比進(jìn)行合理調(diào)整！第11

49、2頁113例題：在測量重力加速度試驗(yàn)中，已知擺長l=1m、T=2s、T=0.2s，要求g/g1%。 問：（1）應(yīng)選擇什么樣測長儀器比較適當(dāng)？米尺（mm）、皮尺（cm）（2）如用秒表計(jì)時(shí)，每次計(jì)時(shí)，最少應(yīng)包含多少個(gè)周期？（或最少每隔多少個(gè)周期計(jì)一次時(shí)適當(dāng)？）下面看一個(gè)誤差分配例題：第113頁114解：由，得兩邊取對(duì)數(shù)，得： 兩邊全微分，得： 所以，有： 按等作用標(biāo)準(zhǔn)來分配誤差，有：第114頁115（1）（2）把T=2s、T=0.2S，代入 ，有：顯然滿足不了要求。在不改變測量儀器情況下，可選取累積放大法來測量，即每個(gè)周期計(jì)一次時(shí)，所以有： 所以，即最少每隔40個(gè)周期計(jì)一次時(shí)。 所以，測長儀器選取

50、米尺比較適當(dāng)。第115頁1163.7 測量不確定度評(píng)定與表示測量不確定度評(píng)定方法分類 在測量不確定度定義下，被測量測量結(jié)果所表示并非為一個(gè)確定值，而是分散無限個(gè)可能值所處于一個(gè)區(qū)間。測量不確定度是評(píng)定測量水平指標(biāo)，是判斷測量結(jié)果質(zhì)量依據(jù)。測量不確定度評(píng)定 測量不確定度是評(píng)定測量結(jié)果質(zhì)量高低一個(gè)主要標(biāo)志。不確定度越小，測量結(jié)果質(zhì)量越高，使用價(jià)值越大，其測量水平也越高；不確定度越大，測量結(jié)果質(zhì)量越低，使用價(jià)值越小，其測量水平也越低。第116頁1173.7.1 測量不確定度評(píng)定方法分類 A類評(píng)定：其中一些分量由一系列觀察數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析來評(píng)定 B類評(píng)定：另一些分量不是用一系列觀察數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析法，而是基于

51、經(jīng)驗(yàn)或其它信息所認(rèn)定概率分布來評(píng)定。測量不確定度表示形式有兩種： 絕對(duì)形式：測量不確定度與被測量量綱相同。 相對(duì)形式：無量綱。注意：A類評(píng)定與B類評(píng)定只是指出測量不確定度評(píng)定方法不一樣，兩類分量之間并無本質(zhì)區(qū)分，二者都是基于概率分布第117頁1183.7.2 測量不確定度評(píng)定不確定度能夠是標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)差表示不確定度稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定 度，以u(píng)表示。擴(kuò)展不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)表示不確定度稱為擴(kuò)展 不確定度，以U表示。擴(kuò)展不確定度表明了 含有較大置信概率區(qū)間半寬度。不確定度通常有多個(gè)分量組成，對(duì)每一分量均要評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。評(píng)定方法分為A、B兩類。A類評(píng)定是用對(duì)觀察列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)

52、分析方法，以試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差表征；B類評(píng)定則用不一樣于A類其它方法，以預(yù)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差表征。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成稱為合成標(biāo) 準(zhǔn)不確定度，以u(píng)c表示，它是測量結(jié)果 標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)計(jì)值。第118頁119 A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度用算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差來表示。 假設(shè)對(duì)被測量X進(jìn)行了n次獨(dú)立重復(fù)觀察，觀察值為xi（i=1,2,n），其算術(shù)平均值 ，則A類標(biāo)準(zhǔn) 不確定度為 注意：A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度只有在觀察次數(shù)n足夠多時(shí)，評(píng)定才可靠。1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定第119頁1202 標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評(píng)定 當(dāng)被測量X預(yù)計(jì)值x不是由重復(fù)觀察得到，其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度可用x可能改變信息或資料來評(píng)定。這種評(píng)定情況很多，我們只考慮

53、最簡單情況，即由儀器引發(fā)B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，這與儀器品牌相關(guān)。第120頁121詳細(xì)評(píng)定為：當(dāng)測量儀器檢定證書上給出準(zhǔn)確度級(jí)別時(shí)，可按該級(jí)別儀器最大允許誤差進(jìn)行評(píng)定。假定最大允許誤差為A，普通采取均勻分布，得到示值允許引發(fā)B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 對(duì)于數(shù)字顯示式測量儀表，如其分辨力為x，則由此帶來B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：第121頁1223 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度以上是直接測量量標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定，下面看一下間接測量量情況。第122頁123設(shè)間接測量量Y預(yù)計(jì)值y與直接測量量Xi預(yù)計(jì)值xi存在以下函數(shù)關(guān)系：當(dāng) 是彼此獨(dú)立時(shí)（注意，不是一個(gè)變量n次測量值），則間接測量量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 為：或4 間接測量量合成標(biāo)準(zhǔn)不確

54、定度傳遞第123頁124慣用公式同學(xué)們能夠用偏微分知識(shí)自己推導(dǎo)這些公式 第124頁125下面經(jīng)過幾個(gè)例題看一下測量不確定度計(jì)算及表示例1：室溫23下，用共振干涉法測空氣中超，數(shù)據(jù)以下，計(jì)算平均值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。游標(biāo)卡尺精度值為A=0.002cm, 考慮均勻分布情況。表：用共振干涉法測空氣中超數(shù)據(jù)測量次數(shù)12345678910i(cm)0.68720.68540.68400.68800.68200.68800.68520.68680.68840.6874第125頁126解：A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度:所以，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：測量結(jié)果：第126頁127 例2：用例1方法測出了超聲波波長

55、，假如已知超聲波在空氣中頻率 ，據(jù) 可求出超聲波在空氣中聲速。求：聲速及其不確定度。解：（m/s）所以，有：測量結(jié)果可表示為： (m/s)（m/s）第127頁128 例3： 已測得金屬環(huán)外形尺寸以下，要求給出其體積測量結(jié)果解： 2. 因?yàn)殚g接測量與直接測量量之間沒有簡單關(guān)系，故先推導(dǎo)出間接測量合成不確定度1.3. 試驗(yàn)結(jié)果表示第128頁1292.依據(jù)關(guān)系 求出 或間接測量量不確定度計(jì)算過程3. 用 或 求 或1. 先寫出各直接測量量 x 不確定度Ux4.最終表示結(jié)果為(SI)第129頁1304 有效數(shù)字及數(shù)據(jù)處理方法有效數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)處理方法 列表法 逐差法 作圖法回歸分析介紹第130頁1314.1

56、 有效數(shù)字定義：指末位包含隨機(jī)誤差數(shù)字。 由準(zhǔn)確數(shù)字和存疑數(shù)字組成。由此可見，有效數(shù)字是由誤差來決定，而且是一個(gè)粗略反應(yīng)誤差大小形式。有效數(shù)字可靠數(shù)字可疑數(shù)字（一位）注意：（1） 對(duì)于十進(jìn)制單位變換，不改變其有效數(shù)字位數(shù)。如，5893m，其有效數(shù)字為四位；如寫成589300cm，是不正確，因?yàn)槠溆行?shù)字變成六位了；假如以cm為單位，可借助科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為 5.89310-5 cm。（2） 非零數(shù)字出現(xiàn)在測量值內(nèi)時(shí)，必是有效數(shù)字；但零卻不一定，這要看零是否用來確定小數(shù)點(diǎn)位置。（3） 對(duì)于非十進(jìn)制，如60進(jìn)制：18.1分秒后，為4位有效數(shù)字。第131頁132有效數(shù)字讀取15.2mm15.0mm第1

57、32頁133有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則: 存疑數(shù)與存疑數(shù)運(yùn)算是存疑數(shù)；存疑數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算是存疑數(shù)；準(zhǔn)確數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算是準(zhǔn)確數(shù)；結(jié)果保留一位存疑數(shù)。第133頁134加、減法：諸量相加（相減）時(shí)，其和（差）數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留位數(shù)與諸數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少一個(gè)相同。 4.178 + 21.3 25.478 = 25.5如 11.4+2.56=14.0 75-10.356=65第134頁135乘、除法：諸量相乘（除）后其積（商）所保留有效數(shù)字，只須與諸因子中有效數(shù)字最少一個(gè)相同。考慮乘法可能進(jìn)位,結(jié)果可多取一位。 4.178 10.1 4178 4178 421978=42.2如 40009=3.61042.0

58、000.99=2.0第135頁136乘方開方: 有效數(shù)字與其底有效數(shù)字相同。對(duì)數(shù)函數(shù): 運(yùn)算后尾數(shù)位數(shù)與真數(shù)位數(shù)相同。 例：lg1.938 = 0.2973指數(shù)函數(shù):運(yùn)算后有效數(shù)字位數(shù)與指數(shù)小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)相同（包含緊接小數(shù)點(diǎn)后零）。 例： 106.25 = 1.8 106 100.0035 = 1.008第136頁137三角函數(shù):取位隨角度有效數(shù)字而定。 例： Sin3000= 0.5000 Cos2016= 0.9381取常數(shù)與測量值有效數(shù)字位數(shù)相同。函數(shù)運(yùn)算: 以運(yùn)算數(shù)據(jù)最末位一個(gè)單位為誤差,求出結(jié)果誤差,再依據(jù)誤差決定取到哪一位用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算時(shí),中間結(jié)果可不作修約或適當(dāng)多取幾位(不能任意

59、降低),但最終一定要修約。第137頁138有效數(shù)字尾數(shù)舍入規(guī)則四舍六入，五湊偶。 比如在下面例子中，取四位有效數(shù)字。則在考慮有效數(shù)字舍取時(shí)，假如后一位小于5時(shí)則舍去，大于5時(shí)或等于5，但后面有非零數(shù)字則進(jìn)一。假如后一位為5，且后面無數(shù)字或皆為零時(shí)，則將前一位湊成偶數(shù)。 例： 1.118299991.118 1.117599991.118 1.118500001.118 1.117500001.118 簡明口訣：4舍6入5看右，5后有數(shù)進(jìn)上去，尾數(shù)為0向左看，左數(shù)奇進(jìn)偶舍棄。 第138頁139測量結(jié)果表示式中有效位數(shù)總不確定度U有效位數(shù)：普通取一位.前兩位都小于5時(shí),可取兩位.例 ：估算結(jié)果 U

60、=0.548mm時(shí)，取為U=0.6mm U=1.37 時(shí)， 取為U=1.4第139頁140測量結(jié)果表示式中有效位數(shù)被測量值有效位數(shù)確定：xx0U中，被測量值 x0 末位要與不確定度U末位對(duì)齊（求出 x0后先多保留幾位，求出U，由U決定 x0末位）例：環(huán)體積不確定度分析結(jié)果最終止果為： V=9.440.08cm3即：不確定度末位在小數(shù)點(diǎn)后第二位，測量結(jié)果最終一位也取到小數(shù)點(diǎn)后第二位。第140頁141規(guī)則：在物理試驗(yàn)中，不確定度有效數(shù)字只取一位。任何測量結(jié)果，其數(shù)值最終一位要與不確定度所在這一位取齊。 比如：正確 (3.520 0.004)cm 錯(cuò)誤 (3.52 0.004)cm，(3.5200.