連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章

1、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章第1頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三則梯度為：標(biāo)量的梯度：標(biāo)量函數(shù)：展開(kāi)后有：原式第2頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三矢量的梯度：左梯度第3頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中：右梯度第4頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三兩者關(guān)系左梯度右梯度寫(xiě)成矩陣形式為： 第5頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三張量的梯度： 設(shè)T為任意二階張量 它的左梯度gradT定義為： T的右梯度定義為：一般地 第6頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三4散

2、度矢量場(chǎng)的散度 矢量場(chǎng)的左散度定義為：原式第7頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右散度表示為： 顯然 今后對(duì)于矢量場(chǎng)的左散度和右散度不加區(qū)別第8頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三張量的散度 關(guān)于二階張量場(chǎng) 的左散度定義為： 第9頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三展開(kāi)后有：原式第10頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 關(guān)于二階張量場(chǎng) 的右散度定義為： 一般地， ，當(dāng)T為對(duì)稱張量的時(shí)候，兩者相等第11頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三5旋度原式展開(kāi)后有：矢量場(chǎng)的旋度：左旋度：第1

3、2頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三第13頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右旋度：第14頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三.張量場(chǎng)的旋度 設(shè)T為任意二階張量，則它的左旋度定義為：其中：第15頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右旋度定義為： 其中：第16頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三小結(jié)：哈密頓算子梯度散度旋度第17頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三展開(kāi)后有：原式2.2 Laplace算子公式：第18頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14

4、分，星期三2.3 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)若則：第19頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.4 積分定理1 Gauss定理有向面積：第20頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三根據(jù)Gauss定理有：左邊右邊第21頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2Stokes定理根據(jù)Stokes定理有：左邊第22頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三右邊證明第23頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.5 曲線坐標(biāo) 基矢量 度量張量 曲線坐標(biāo) 1 設(shè)空間中任一點(diǎn)P，其位置可用矢徑P表示。在曲線坐標(biāo)系中，指標(biāo)可為上標(biāo)或

5、下標(biāo)。 在斜角坐標(biāo)系 中，P為 的函數(shù)，即P也可用另外三個(gè)變量 ， ， 來(lái)表示，即 這種坐標(biāo)系記為 。這兩組變量 和 表示同一空間點(diǎn)的位置。兩者由下列坐標(biāo)變換聯(lián)系起來(lái)：第24頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 若 是的線性函數(shù)，則 也是一個(gè)斜角坐標(biāo)，而且坐標(biāo)變換為：這里 為變換系數(shù)，它是常數(shù)。 若 不是 的線性函數(shù)，則 稱為曲線坐標(biāo)。 在曲線坐標(biāo)系 中，若雅可比(Jacobi)行列式J不為零，即則坐標(biāo)變換具有逆變換，即有第25頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中最常用的正交曲線坐標(biāo)系，是柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系?，F(xiàn)敘述如下。柱面坐標(biāo)系

6、 設(shè)直角坐標(biāo)系為 曲線坐標(biāo)系為則式 的具體形式取為：第26頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中 由此可見(jiàn)，不是 的線性函數(shù)，故 屬于曲線坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)變換的雅可比行列式為 第27頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三除 外， ，故有逆變換的具體形式如下： 由此可得坐標(biāo)曲面： (i) (常數(shù))為以z軸為公共軸的圓柱面(當(dāng) 時(shí)，即為z軸)； (ii) (常數(shù))為通過(guò)z軸的平面； (iii) (常數(shù))為垂直于z軸的平面；第28頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 (i) 和 的交線(z線)是直線； 和 的交線(r線)是直線；(ii

7、i) 和 的交線( 線)是圓。這種坐標(biāo)系稱為柱面坐標(biāo)系 和坐標(biāo)曲線： 第29頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三球面坐標(biāo)系 設(shè)直角坐標(biāo)系為 ，曲線坐標(biāo)系 則式 的具體形式取為：其中 第30頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 由此可見(jiàn)， 不是 的線性函數(shù)，故 屬于曲線坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)變換的雅可比行列式為 第31頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三除 ， ， 外， ，故有逆變換的具體形式如下：第32頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 由此可得坐標(biāo)曲面： (i) (常數(shù))為中心在原點(diǎn)的球面(當(dāng) 時(shí)，即為原點(diǎn))

8、； (ii) (常數(shù))為以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐(當(dāng) 或 時(shí)變?yōu)橹本€，當(dāng) 時(shí)為 面)； (iii) (常數(shù))為通過(guò) 軸的平面； 和坐標(biāo)曲線： (i) 和 的交線( 線)是圓； (ii) 和 的交線(r線)是直線； (iii) 和 的交線( 線)是半圓。 這種坐標(biāo)系稱為球面坐標(biāo)系。第33頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2基矢量度量張量 給定曲線坐標(biāo)之后，過(guò)空間任意一點(diǎn)沿每一族坐標(biāo)曲線可以得到一個(gè)切矢量： 取 為，則 在斜角坐標(biāo)系中，設(shè)其協(xié)變基矢量為由于 是常數(shù)，故有 第34頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對(duì)于一個(gè)矢量a可有兩種類型的分量 和 ，設(shè)其

9、對(duì)應(yīng)的基矢量為 和 ，則 由 的定義可知，下列混合積等式成立： 這兩個(gè)量定義為愛(ài)丁頓(Eddington)張量并分別記為 和 。由此定義可知第35頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對(duì)于矢量 ，則有令它們分別稱為協(xié)變度量張量、逆變度量張量和混合度量張量 第36頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三考慮到矢量a的任意性 可知：基矢量 與 是正交的，它們稱為互逆基矢量 互逆基矢量間具有下列關(guān)系： 第37頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三由于故知 和 互為逆陣。因?yàn)樗鼈兙鶠檎ň仃?，故行列式?8頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日

10、，19點(diǎn)14分，星期三可以證明這樣的等式： 愛(ài)丁頓張量可以寫(xiě)成下列形式： 在直角坐標(biāo)系下， ，故有第39頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 在曲線坐標(biāo)系中，任意張量例如二階逆變一階協(xié)變張量可表示成下列四種記法：(1)不變性記法 (2)分量記法 (3)并矢記法 (4)基張量記法 第40頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.6 克里斯托弗爾符號(hào) 在基矢量組 ， ， 中把 按下式分解 這里分解系數(shù) 和 分別稱為第一類和第二類克里斯托弗爾(Christoffel)符號(hào) 定義：第41頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三性質(zhì)：克里斯托弗

11、爾符號(hào)不是張量 和 關(guān)于指標(biāo)i和j對(duì)稱。 由于 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 同理可得：第42頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三和 的指標(biāo)可用度量張量升降。事實(shí)上同樣地 在直線坐標(biāo)系中， 事實(shí)上，因?yàn)樵谛苯呛椭苯亲鴺?biāo)系中基矢量和均為常量，故 和 。第43頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 克里斯托弗爾符號(hào)可用度量張量表示。 事實(shí)上，由于 對(duì)指標(biāo)進(jìn)行輪換，則有另外 第44頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三由于第45頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三由于 ，故有 于是第46頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19

12、點(diǎn)14分，星期三2.7 協(xié)變導(dǎo)數(shù)逆變導(dǎo)數(shù) 在曲線坐標(biāo)系下，哈密頓算子定義為1 設(shè)T為任意張量，則 構(gòu)成新的張量，稱為T(mén)的梯度。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)以 為例給出它的梯度的并矢形式如下： 第47頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中：稱為張量 的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 第48頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三不難證明下列結(jié)果 對(duì)于矢量a，這是特殊情形。此時(shí)，我們可寫(xiě)出 可見(jiàn)，度量張量和愛(ài)丁頓張量對(duì)于 或 有如常數(shù)可以移進(jìn)或移出于其內(nèi)或外。第49頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三這里稱為協(xié)變矢量 的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。 另一方面，我們也可以寫(xiě)出稱為逆變矢量

13、的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 這里第50頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2逆變導(dǎo)數(shù) 由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)的指標(biāo)是張量指標(biāo)，故可應(yīng)用逆變度量張量把它的指標(biāo)升高而得到逆變導(dǎo)數(shù)如下：第51頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.8 不變性微分算子1梯度 2散度 若T為矢量a，則： 第52頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三即考慮到：3旋 度第53頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 若T為矢量a，則有拉普拉斯算子4若f為標(biāo)量，則有第54頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2.9 內(nèi)稟導(dǎo)數(shù) 設(shè)區(qū)域內(nèi)的曲線C定義為：

14、 其中t為一參數(shù)。若 是一個(gè)可微的矢量并且 是屬于 類的，則稱為 對(duì)t的內(nèi)稟導(dǎo)數(shù) 這里第55頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對(duì)于任意張量，例如，對(duì)于二階混合張量 而言，則有對(duì)于度量張量，由于故度量張量可以移進(jìn)或移出內(nèi)稟導(dǎo)數(shù)記號(hào)之內(nèi)或外。第56頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 若矢量a還和t顯示相關(guān)，亦即其中：稱為a 的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 第57頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 對(duì)于任意張量，例如，對(duì)于二階混合張量 而言，則其物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為 對(duì)于度量張量，由于g 和g 和t沒(méi)有顯示關(guān)系，所以 第58頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月2

15、0日，19點(diǎn)14分，星期三2.10 非完整系物理標(biāo)架下的微分算子1非完整系物理標(biāo)架 對(duì)于正交曲線坐標(biāo)系，它滿足下列條件： 我們將基矢量 的大小記作 ，稱為拉梅(Lame)系數(shù)，即第59頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三 如果我們?nèi)∨c同向的單位矢量 作為基矢量則構(gòu)成所謂非完整系物理標(biāo)架(或稱單位正交活動(dòng)標(biāo)架)。 非完整系物理標(biāo)架基矢量，具有如下性質(zhì)：第60頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2偏導(dǎo)數(shù)算子，克里斯托弗爾符號(hào)非完整系物理標(biāo)架下的偏導(dǎo)數(shù)算子 定義為它對(duì)標(biāo)架每個(gè)矢量作用，仍是一個(gè)矢量。 我們不妨記為 這里 稱為非完整物理標(biāo)架下的克里斯托弗爾符

16、號(hào) 第61頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三幾何意義：非完整物理標(biāo)架下的克里斯托弗爾符號(hào)表示 在 軸上的投影，即由對(duì)其兩端作用偏導(dǎo)數(shù)算子 由此可見(jiàn) 的后兩指標(biāo)具有反稱性。第62頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三下面我們研究 的具體表達(dá)式。第63頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三注意到 將指標(biāo)輪換 ， ， 得再輪換可以得到：第64頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三顯然，在 、 、 互不相等時(shí)總之，不為零的克里斯托弗爾符號(hào)只有第65頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三3梯度 哈密頓

17、算子 1標(biāo)量函數(shù)的梯度 2定義非完整物理標(biāo)架下的哈密頓算子 設(shè)標(biāo)量函數(shù) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的梯度 定義為一個(gè)矢量第66頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其并矢形式為: 這就是標(biāo)量函數(shù)f的梯度在非完整系物理標(biāo)架下的表達(dá)式 第67頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三矢量場(chǎng)的梯度 3 設(shè)矢量場(chǎng) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的左梯度 定義一個(gè)二階張量它的并矢形式為：第68頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中 類似地，我們還可以定義 的右梯度， ，可以證明張量場(chǎng)的梯度 4 設(shè)二張量場(chǎng) ，則它在非完整系物理標(biāo)架下的左梯度 定義為

18、一個(gè)三階張量 第69頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三其中這是 的分量形式 的右梯度 定義為 一般情況下第70頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三4散度 1矢量場(chǎng)的散度 設(shè)矢量場(chǎng) ，則它的散度 定義為一個(gè)標(biāo)量其展開(kāi)形式為：第71頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2張量場(chǎng)的散度 設(shè)任意二階張量 ，則它的左散度 定義為一個(gè)矢量其并矢形式為:第72頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三這是 的分量形式。定義： 的右散度 第73頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三5旋度1矢量場(chǎng)的旋度 設(shè)任意

19、矢量場(chǎng) ，則它的左旋度定義為一個(gè)矢量 其并矢形式為第74頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三第75頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2張量場(chǎng)的旋度 設(shè)任意二階張量場(chǎng) ，則它的左旋度定義為一個(gè)二階張量其并矢形式為第76頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三這就是 的分量形式 定義：二階張量 的右旋度 第77頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三6拉普拉斯算子1作用于標(biāo)量場(chǎng)拉普拉斯算子 拉普拉斯(Laplace)算子定義為 當(dāng)拉普拉斯算子作用于標(biāo)量函數(shù) 時(shí)，即第78頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三2作用于矢量場(chǎng)的拉普拉斯算子 當(dāng)拉普拉斯算子作用于矢量場(chǎng) 時(shí)，則第79頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三7雙重哈密頓算子 作用于標(biāo)量場(chǎng)的雙重哈密頓算子 稱為雙重哈密頓算子 設(shè)f為任一標(biāo)量函數(shù)，雙重哈密頓算子對(duì)f作用，則有：第80頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三作用于矢量場(chǎng)的雙重哈密頓算子 設(shè) 為一個(gè)矢量場(chǎng)，雙重哈密頓算子對(duì)a的點(diǎn)積作用為 第81頁(yè)，共92頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)14分，星期三8物質(zhì)導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù)的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 設(shè) 是關(guān)于標(biāo)性變量(例如時(shí)間)位置