彈塑性波與沖擊動(dòng)力學(xué)第二章

1、彈塑性波與沖擊動(dòng)力學(xué)第二章第1頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-1 物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)之一，是不從微觀上考慮物體的真實(shí)物質(zhì)結(jié)構(gòu)，而只是在宏觀上把物體看成是連續(xù)不斷的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)，即把物體看成是質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)集合。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間上占有一定的空間位置，不同的質(zhì)點(diǎn)在不同的時(shí)間占有不同的空間位置。 構(gòu)形：一個(gè)物體中各質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)刻的相互位置的配置。第2頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三如何描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)？ 定義坐標(biāo)系（1）質(zhì)點(diǎn)命名（為了區(qū)別不同的質(zhì)點(diǎn)），如 Xi(a,b,c)（2）描述質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)的空間位置xi。i=1，一維；i=3

2、，三維 （3）時(shí)間坐標(biāo)t第3頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，往往采用兩種觀點(diǎn)和方法來(lái)研究介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)： Lagrange方法 Euler方法。 相應(yīng)地，研究桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要先選定坐標(biāo)系統(tǒng)，一般對(duì)應(yīng)有兩種坐標(biāo)系：Lagrange坐標(biāo)（即物質(zhì)坐標(biāo)，隨著介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)流動(dòng)來(lái)考察） Euler坐標(biāo)（即空間坐標(biāo)，固定空間位置來(lái)考察）。 第4頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三Lagrange描述（方法）： 隨著介質(zhì)中固定的質(zhì)點(diǎn)來(lái)觀察物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，所研究的是在給定的質(zhì)點(diǎn)上各物理量隨時(shí)間的變化，以及這些量由一個(gè)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)到其他質(zhì)點(diǎn)時(shí)的變化，這種描述介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的方

3、法稱為L(zhǎng)agrange描述（方法） ，又叫隨體法。Euler描述（方法）： 在固定的空間點(diǎn)上來(lái)觀察物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，所研究的是在給定的空間點(diǎn)上以不同時(shí)間到達(dá)該點(diǎn)的不同質(zhì)點(diǎn)的各物理量隨時(shí)間的變化，以及這些物理量從一個(gè)空間點(diǎn)轉(zhuǎn)換到另一空間點(diǎn)時(shí)的變化，這種描述介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的方法稱為Euler描述（方法），又叫當(dāng)?shù)胤?。?頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三Lagrange坐標(biāo)： 為了識(shí)別運(yùn)動(dòng)中物體的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以一組數(shù)（a，b，c）作為其標(biāo)記，不同的質(zhì)點(diǎn)以不同的數(shù)來(lái)（a，b，c）表示，這組數(shù)（a，b，c）就稱為L(zhǎng)agrange坐標(biāo)（或物質(zhì)坐標(biāo)、隨體坐標(biāo)）。 Lagrange表示法：t=t0

4、時(shí)位置來(lái)表示，Euler坐標(biāo)： 為了表示物體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到空間的一個(gè)位置，以一組固定于空間的坐標(biāo) 表示該位置，這組坐標(biāo)稱為Euler坐標(biāo)（或空間坐標(biāo)）第6頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三兩種方法的舉例說(shuō)明： 城市公共交通部門采用兩種方法統(tǒng)計(jì)客運(yùn)量：在每一輛公交車上安排記錄員，記錄每輛車在不同時(shí)刻（站點(diǎn)）上下車人數(shù)（采用Lagrange法，即隨體法）；在每一站點(diǎn)設(shè)記錄員，記錄不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)該站點(diǎn)的車輛上下車人數(shù)，（采用Euler法，即當(dāng)?shù)胤ǎ?。?頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三以長(zhǎng)桿中一維運(yùn)動(dòng)為例： X質(zhì)點(diǎn)命名（質(zhì)點(diǎn)在參考時(shí)刻的空間位置坐標(biāo)）

5、：X質(zhì)點(diǎn)任一時(shí)刻t 在空間所占位置： x 質(zhì)點(diǎn)X 物理含義：質(zhì)點(diǎn)在參考時(shí)刻t0時(shí)在參考空間坐標(biāo)系中所占據(jù)的位置坐標(biāo)。參考時(shí)刻可以取t0=0時(shí)刻，或其它適當(dāng)?shù)臅r(shí)刻；參考空間坐標(biāo)系可以與描述運(yùn)動(dòng)所用的空間坐標(biāo)系一致，也可以不同，選取原則取決于研究問(wèn)題的方便性。第8頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三X表示法一：介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)可表示為質(zhì)點(diǎn)X在不同的時(shí)間t占據(jù)不同的空間位置x ，即x是X 和t 的函數(shù) (2-1-1) 如果固定X，上式給出了質(zhì)點(diǎn)X如何隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)；如果固定t，上式給出了某時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)的空間位置。一般來(lái)說(shuō)，在給定時(shí)刻，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)只能占有一個(gè)空間位置，而一個(gè)空間位置也只能有

6、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。第9頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三表示法二：反過(guò)來(lái)只要運(yùn)動(dòng)是連續(xù)單值的，（2-1-1）式可反演為 (2-1-2)即X是和t 的函數(shù)。 （2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一維長(zhǎng)桿中介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的兩種形式，二者是可是互換的。X第10頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 在一維情況下，應(yīng)用Lagrange方法，可將物理量表達(dá)為質(zhì)點(diǎn)X和時(shí)間t 的函數(shù)： = F (X , t )。自變量X即為L(zhǎng)agrange坐標(biāo)（物質(zhì)坐標(biāo)）。 應(yīng)用Euler方法，可將物理量表達(dá)為空間坐標(biāo)x和時(shí)間t 的函數(shù)： = f (x, t )。自變量x即為Euler坐標(biāo)（空

7、間坐標(biāo)）。 顯然，對(duì)于同一物理量，有 = F (X , t ) = f (, t ) (2-1-3)第11頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 描述同一物理量，既可以用物質(zhì)坐標(biāo)也可以用空間坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行描述，二者還可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 （1）物質(zhì)坐標(biāo)系中描述的物理量 空間坐標(biāo)系中描述的物理量 由（2-1-2）、（2-1-3）式，有 (2-1-4) （2）空間坐標(biāo)系中描述的物理量 物質(zhì)坐標(biāo)系中描述的物理量 由（2-1-1）、（2-1-3）式=有 (2-1-5)第12頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-2 時(shí)間微商與波速三種微商： 空間微商（Euler微商） 物質(zhì)

8、微商（Lagrange微商或隨體微商） 隨波微商兩種波速： 空間波速（Euler波速） 物質(zhì)波速（Lagrange波速）第13頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量對(duì)時(shí)間t的變化率，即 (2-2-1)物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）：隨著給定的質(zhì)點(diǎn)X來(lái)觀察物理量對(duì)時(shí)間t 的變化率，即 (2-2-2)第14頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三對(duì)于（2-2-2）式應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求微商的連鎖法則，有 質(zhì)點(diǎn)X 空間位置對(duì)時(shí)間的物質(zhì)微商，即質(zhì)點(diǎn)X的運(yùn)動(dòng)速度 (2-2-3) (2-2-4)第15頁(yè)，共81頁(yè)

9、，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三物理量為質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)，(2-2-4)式變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)加速度的表達(dá)式： (2-2-5) (2-2-4)式中，等式右邊第一項(xiàng)通常稱為局部變化率，顯然在定常場(chǎng)中該項(xiàng)為零；第二項(xiàng)稱為遷移變化率，在均勻場(chǎng)中該項(xiàng)為零。與此相對(duì)應(yīng)，(2-2-5)式中，等式右邊第一項(xiàng)通常稱為局部加速度，第二項(xiàng)稱為遷移加速度。第16頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三物質(zhì)波速（Lagrange波速）：在物質(zhì)坐標(biāo)中來(lái)觀察應(yīng)力波的傳播，設(shè)在t 時(shí)刻波陣面?zhèn)鞑サ劫|(zhì)點(diǎn)X處，以 表示波陣面在物質(zhì)坐標(biāo)中的傳播規(guī)律，則物質(zhì)波速（Lagrange波速）可表示為： (2-2-6)空間波速（

10、Euler波速）：在空間坐標(biāo)中來(lái)觀察應(yīng)力波的傳播，設(shè)在t時(shí)刻波陣面?zhèn)鞑サ娇臻g點(diǎn)x處，以 表示波陣面在空間坐標(biāo)中的傳播規(guī)律，則空間波速（Euler波速）可表示為： (2-2-7) 物質(zhì)波速和空間波速都是對(duì)同一個(gè)應(yīng)力波的傳播速度的描述，但由于選擇的坐標(biāo)不同，其數(shù)值不一定相同，除非波陣面前方介質(zhì)是靜止且無(wú)變形的。第17頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三隨波微商：隨著波陣面來(lái)觀察物理量對(duì)時(shí)間t的變化率。根據(jù)坐標(biāo)系的不同，有兩種表達(dá)式，即在空間坐標(biāo)系中有: (2-2-8)在物質(zhì)坐標(biāo)系中有： (2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量為質(zhì)點(diǎn)的空間位置x，該式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?(2-2-10)

11、第18頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 設(shè)初始時(shí)刻某質(zhì)點(diǎn)X空間位置根據(jù)定義為X，隨后某時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)到達(dá)空間位置x，則位移為u，顯然有 ，故 一維長(zhǎng)桿中X與x 的相互關(guān)系為工程應(yīng)變 。則(2-2-10)式可簡(jiǎn)化為： (2-2-11) 可以看出，只有當(dāng)初始質(zhì)點(diǎn)速度和初始應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)，空間波速和物質(zhì)波速值相同。 第19頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 關(guān)于空間波速和物質(zhì)波速的關(guān)系 ，由于通常是取變形（運(yùn)動(dòng)）前質(zhì)點(diǎn)空間位置作為物質(zhì)坐標(biāo)，如果波陣面在物質(zhì)坐標(biāo)中的傳播速度為C，當(dāng)考慮到物質(zhì)坐標(biāo)本身的變形（運(yùn)動(dòng)）時(shí)，則相對(duì)于波陣面前方質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)空間波速應(yīng)是 。這相

12、當(dāng)于流體力學(xué)中的局部聲速。再考慮到質(zhì)點(diǎn)本身也以速度v在運(yùn)動(dòng)，則波陣面在空間坐標(biāo)中的絕對(duì)空間波速顯然是 （右傳波，如果是左傳波則為 ），這就是該式的物理意義。第20頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-3 物質(zhì)坐標(biāo)描述的桿中縱波控制方程2-3-1 基本假定 （1）平截面假定，即假定桿在變形時(shí)橫截面保持為平面，沿截面只有均布的軸向應(yīng)力。 按照這一假定，桿中各運(yùn)動(dòng)參量（位移、質(zhì)點(diǎn)速度、應(yīng)力等）都只是X和t的函數(shù)，應(yīng)力波傳播的問(wèn)題就簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題了。但是，這一假定只有在長(zhǎng)桿的橫向尺寸與應(yīng)力波的波長(zhǎng)相比很小時(shí)才近似成立。第21頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三

13、 （2）忽略橫向慣性效應(yīng)。即忽略桿中質(zhì)點(diǎn)橫向運(yùn)動(dòng)的慣性效應(yīng)，忽略桿中質(zhì)點(diǎn)橫向膨脹或收縮對(duì)動(dòng)能的貢獻(xiàn)。這一假定實(shí)際上與第一個(gè)假定密不可分。質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)必然使得動(dòng)能橫向耗散，減小X方向的動(dòng)能，從而導(dǎo)致X方向應(yīng)力波陣面的彎曲。如果忽略橫向慣性效應(yīng)，則 和 都等于零，因而處于單向應(yīng)力狀態(tài)，且因?yàn)闊o(wú)橫向能量耗散，應(yīng)力波陣面不會(huì)彎曲，保持平面狀態(tài)。第22頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 （3）應(yīng)力只是應(yīng)變的單值函數(shù)。 對(duì)于應(yīng)變率無(wú)關(guān)理論，材料的本構(gòu)關(guān)系可寫(xiě)成 （2-3-1） 這一假定似乎只有在彈性變形范圍內(nèi)（低應(yīng)變率）才適用或?qū)?yīng)變率不敏感的彈塑性材料近似可用。 但可以認(rèn)為材料在

14、某一應(yīng)變率范圍內(nèi)近似具有唯一的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，在形式上是應(yīng)變率無(wú)關(guān)的，但與靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不同，因?yàn)樗谝欢ㄒ饬x上已考慮了應(yīng)變率的影響。 應(yīng)變率無(wú)關(guān)理論在工程應(yīng)用中具有十分重要的應(yīng)用價(jià)值。第23頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-3-2 控制方程組 位移連續(xù)方程或質(zhì)量守恒方程運(yùn)動(dòng)學(xué)條件； 運(yùn)動(dòng)方程或動(dòng)量守恒方程動(dòng)力學(xué)條件； 能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）。第24頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 （1） 位移連續(xù)方程 考察一維等截面均勻桿中微元體的縱向運(yùn)動(dòng)。取桿變形前（設(shè)t0=0時(shí)）質(zhì)點(diǎn)的空間位置作為物質(zhì)坐標(biāo)，桿軸為X 軸，取一微元dX作

15、為研究對(duì)象。桿的原始截面積為A0，原始密度為0。在t=t1時(shí)刻微元的兩個(gè)截面分別移動(dòng)到空間位置x和x+dx，則X截面發(fā)生的位移為 。第25頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三根據(jù)位移連續(xù)條件， 為連續(xù)函數(shù)，有：可得位移連續(xù)方程（或稱和v的相容方程）： （2-3-2）第26頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 （2） 動(dòng)量守恒方程 由圖所示，根據(jù)牛頓第二定律，作用在微元體兩個(gè)截面上的作用力之差應(yīng)等于微元體質(zhì)量與加速度的乘積，即引入工程應(yīng)力 ，可得 （2-3-3）此即動(dòng)量守恒方程（或稱和v 的相容方程）。第27頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分

16、，星期三 （3） 能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程） 由于應(yīng)力波傳播速度很高，在應(yīng)力波通過(guò)微元體的時(shí)間內(nèi)，微元體還來(lái)不及和鄰近的微元體及周圍介質(zhì)交換熱量，因而可視為絕熱過(guò)程，這一過(guò)程遵守能量守恒關(guān)系。（2-3-1）式給出的材料的本構(gòu)關(guān)系式實(shí)際上是絕熱過(guò)程中得到的，故無(wú)需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-3-1）（2-3-3）可以組成關(guān)于變量、和v的封閉的控制方程組： （2-3-4）第28頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 （1）以和v為未知變量的控制方程組 連續(xù)可微，對(duì)于連續(xù)波波速（2-3-5）則 （2-3-6）代入（2-3-3）式可得 （2-3-7） 上式與位移連

17、續(xù)方程（2-3-2）式就共同組成了以和v為未知變量的控制方程組，即 （2-3-8）第29頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 （2）以和v為未知變量的控制方程組 由（2-3-6）式和（2-3-2）式可以得到 （2-3-9） 它與運(yùn)動(dòng)方程（2-3-3）式共同組成了以和v為未知變量的控制方程組，即 （2-3-10）第30頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 （3）以u(píng)為未知變量的二階偏微分方程 由于和速度v都是位移u的一階微商，即 ， ， 代入（2-3-7）式，可得 （2-3-11） 該方程通常稱為波動(dòng)方程，描述了一維桿中應(yīng)力縱波的傳播規(guī)律。 第31頁(yè)，共8

18、1頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三不同形式表示的一維應(yīng)力縱波的控制方程：第32頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 2-4 特征線與特征線上的相容關(guān)系 控制方程組 波陣面參數(shù)、v 和u等 隨X、t 的變化規(guī)律。 但是由這些偏微分方程組獲得解析解并不容易。對(duì)于一維波傳播的基本方程組，除了彈性波是線性方程外，一般都是非線性的。因此大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，往往只能用一些近似的數(shù)值方法求解。 特征線方法是解決波傳播問(wèn)題最為重要的方法之一，具有重要的應(yīng)用價(jià)值，因?yàn)樗乔蠼怆p典型線型偏微分方程的主要解法之一，可以把解兩個(gè)自變量的偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解特征線上的常微分方程問(wèn)題。 第

19、33頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 按照偏微分方程理論，對(duì)任意一個(gè)二階偏微方程： 系數(shù)A、B、C、D、E和G，都僅依賴于X和t，與u無(wú)關(guān)，則方程為二階線性偏微分方程；還與u有關(guān)時(shí)，則方程為非線性的。 G=0時(shí)，為齊次方程。第34頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 按照方程解的特性，可以根據(jù)判別式=B2-4AC的數(shù)值將其劃分為三種類型： （1） 0時(shí)，稱為雙曲線型方程，其自變量平面上有兩條實(shí)特征線。前面的波動(dòng)方程（2-3-11）式就屬于雙曲線型方程。第35頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 何謂特征線？ 可用不同而又相互等價(jià)的

20、方法來(lái)定義。 物理意義上：特征線是在（X-t）平面上擾動(dòng)波陣面?zhèn)鞑サ能壽E。圖中曲線上各點(diǎn)的斜率就是擾動(dòng)波的傳播速度，式中正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)于向右和向左的傳播速度。 第36頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 在數(shù)學(xué)意義上：（1）方向?qū)?shù)法（Curant和Friedrichs提出）（2）不定線方法 方向?qū)?shù)法：如果能把某二階偏微分方程或等價(jià)的一階偏微分方程組的線性組合化為只包含自變量平面上某一曲線的方向?qū)?shù)的形式時(shí)，則曲線即為該方程（或方程組）的特征線，而該曲線各點(diǎn)的斜率dX/dt稱為該特征線的特征方向。 不定線法：如果對(duì)于自變量平面（X，t）上某曲線，由沿此曲線上給定的初值連同

21、偏微分方程一起不足以確定全部偏導(dǎo)數(shù)的話，則此曲線稱為特征線。第37頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 用方向?qū)?shù)法和不定線法來(lái)定義特征線，分別從不同角度反映了特征線的某種性質(zhì)，采用不同的方法所得到的特征線是相同的?？刂品匠烫卣骶€方程特征線上相容關(guān)系式特征線解法方向?qū)?shù)法不定線法第38頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三方向?qū)?shù)含義： 在（X，t）平面內(nèi)有一曲線，函數(shù)f (X,t)在S 方向上的方向?qū)?shù)定義為： 它可以給出在與曲線相切方向上對(duì)S的變化率。其中S 的方向即為： 第39頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三例1：已知一維縱波

22、的波動(dòng)方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。 例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。第40頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。例4：已知一維縱波的控制方程，采用不定線法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。第41頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三例1：已知一維縱波的波動(dòng)方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。 (1)解：設(shè)在自變量平面（X，t）上有某曲

23、線（X，t），對(duì)于u的一階偏導(dǎo)數(shù)v、，沿此曲線方向的微分分別為： (2) (3)第42頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 dX和dt 是曲線上微段dS在兩軸上的分量，即 是曲線在（X，t）點(diǎn)上的斜率。如果曲線是二階偏微分方程(1)式的特征線，則該式能化為只包含沿此曲線的方向微分。將(2)和(3)式進(jìn)行線性組合就能實(shí)現(xiàn)，即(2)+*（3）有 (4)此時(shí)，線性組合式應(yīng)與(1)式等價(jià)，即(1)、(4)兩方程應(yīng)等價(jià)，有：第43頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三可得 ，則 上式即為所求特征線微分方程，對(duì)其積分可得相應(yīng)的特征線方程。由(4)式，可得只包含沿特征線

24、方向微分的常微分方程： 第44頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。 解：對(duì)于上式中的一階偏微分方程組，根據(jù)特征線方向?qū)?shù)法的定義，（1）式乘以加上（2）式進(jìn)行線性組合：兩函數(shù)v、所對(duì)應(yīng)的特征方向應(yīng)當(dāng)相同，即有：第45頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三（特征線微分方程）（3）式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋杭从校簭亩傻茫海ㄌ卣骶€上的相容關(guān)系）第46頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相

25、容關(guān)系。解過(guò)程略，方法同前。結(jié)果：特征線的微分方程仍為 ，特征線上的相容關(guān)系的常微分表達(dá)式為：實(shí)際上可由(2-3-6)式和(2-4-16)直接可以得到上式。第47頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三例4：已知一維縱波的控制方程，采用不定線法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。解：將一維應(yīng)力縱波以和v為未知變量的控制方程組與參量v和構(gòu)成方程組如下第48頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三此方程可看成解四個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 、 、 、 的代數(shù)方程組，可用矩陣的形式表示為：第49頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三若曲線為特征線,上述方程的

26、解不確定,則應(yīng)有即第50頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三同樣可解得：第51頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 對(duì)于一維應(yīng)力縱波，特征線微分方程和特征線上的相容關(guān)系分別為：第52頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-5 空間坐標(biāo)描述的控制方程與特征線比較第53頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三比較比較比較第54頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 利用特征線解法，可以得到空間坐標(biāo)描述的一維應(yīng)力縱波的特征線微分方程和特征線上的相容關(guān)系式：第55頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32

27、分，星期三 物質(zhì)坐標(biāo)描述與空間坐標(biāo)描述的控制方程可以通過(guò)坐標(biāo)變換得到，變換公式為： 控制方程的形式雖然在兩種坐標(biāo)中不同，但問(wèn)題的物理實(shí)質(zhì)不會(huì)因?yàn)樽鴺?biāo)系的不同而不同。第56頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 關(guān)于測(cè)試元件測(cè)試的波速關(guān)系：當(dāng)測(cè)試元件固定在空間中，測(cè)得的是Euler波速；當(dāng)測(cè)試元件固定在試件上，測(cè)得的是Lagrange波速；如果波陣面前方的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)變皆為0，則測(cè)得的兩種波速值相等。第57頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三思考題： 1、什么是特征線？什么類型的問(wèn)題可用特征線法求解？2、特征線的物理含義是什么？3、為什么用特征線法求得的解就

28、是原方程的解？ 第58頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三作業(yè)： 用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系：（1）一維應(yīng)力縱波 （空間坐標(biāo)系）（2）一維等熵流第59頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三（3）一維桿運(yùn)動(dòng)（4）球面等熵流（5）二維定常 等熵流第60頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-6 波陣面上的守恒方程運(yùn)動(dòng)學(xué)條件質(zhì)量守恒方程動(dòng)力學(xué)條件動(dòng)量守恒方程能量守恒方程第61頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三奇異面：具有導(dǎo)數(shù)間斷的面，在數(shù)學(xué)上稱為奇異面。 強(qiáng)間斷：如果位移函數(shù)u的一階導(dǎo)數(shù)間斷

29、，即質(zhì)點(diǎn)速度 和應(yīng)變 在波陣面上有突躍（波陣面前后參量的差值為一有限值），稱為強(qiáng)間斷或一階奇異面。 如遞增硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動(dòng)的波速大于低幅值擾動(dòng)的波速所形成的應(yīng)力波的波剖面是間斷的，常稱為沖擊波。 2-6-1 強(qiáng)間斷和弱間斷第62頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)（波陣面前后v、參量的差值為無(wú)窮小值），但其二階導(dǎo)數(shù)如加速度 等發(fā)生間斷，稱為二階奇異面，依此類推，還可以有更高階的奇異面，這種二階或更高階的奇異面都稱為弱間斷。 二階奇異面所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力波通常稱為加速度波。 弱間斷所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力波其波剖面是連續(xù)的，稱為連續(xù)波。第6

30、3頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三第64頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三令 ，外加載荷保持恒值，則弱間斷邊界條件便轉(zhuǎn)換成強(qiáng)間斷邊界條件。第65頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三2-6-2 質(zhì)量守恒方程 表示物理參量, 表示該參量的在波陣面前后的變化值。 設(shè)有平面波陣面以波速D向右傳播，波陣面上的任一物理量 ，設(shè)波陣面之前和之后的值分別表示為 和 ，則波陣面前后參量的變化值表示為 。 第66頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 對(duì)于一階奇異面（強(qiáng)間斷）有 ，則上式變?yōu)镸axwell定理考察物理量對(duì)時(shí)間的變化

31、率，即隨波微商有： 對(duì) 和 分別取隨波微商并相減，可得 第67頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 對(duì)于二階奇異面，用的一階偏導(dǎo)數(shù) 和 代替 式中的，有 及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階導(dǎo)數(shù)間斷，有 ， ，從而有： 第68頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三 上三式分別對(duì)應(yīng)于本身、的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)發(fā)生間斷情況下波陣面上運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件的通式。 對(duì)于左行波，用-D替代D即可。Maxwell定理第69頁(yè)，共81頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)32分，星期三通式中用位移u來(lái)代替，顯然有 對(duì)于沖擊波波陣面： 對(duì)于加速波波陣面： 上兩式分別為沖擊波和加速度波波陣面的運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件質(zhì)量