浙江省杭州市蕭山三中2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1下面給出了四種類比推理：由實數(shù)運算中的類比得到向量運算中的；由實數(shù)運算中的 類比得到向量運算中的；由向量的性質(zhì)類

2、比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)；由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義；其中結(jié)論正確的是ABCD2已知AB1，2，3，4，5，從集合A到B的映射滿足： ；的象有且只有2個，求適合條件的映射的個數(shù)為 ( )A10B20C30D403已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且P（X4）=0.88，則P（0X4）=（）A0.88B0.76C0.24D0.124已知fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fABCD5一個質(zhì)量均勻的正四面體型的骰子，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字，若連續(xù)投擲三次，取三次面向下的數(shù)字分別作為三角形的邊長，則其能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（ ）ABCD6在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點，那么直線與所成角的大

3、小為（ ）ABCD7設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為、，點在上，且滿足.若滿足條件的點只在的左支上，則的離心率的取值范圍是（ ）ABCD8若函數(shù)有個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD9，三個人站成一排照相，則不站在兩頭的概率為（ ）ABCD10在正方體中，E是棱的中點，點M，N分別是線段與線段上的動點，當(dāng)點M，N之間的距離最小時，異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABC D11已知 的展開式中，含項的系數(shù)為70，則實數(shù)a的值為（ ）A1B-1C2D-212直線與相切,實數(shù)的值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓

4、焦距與長軸之比的比值是_.14_.15為強(qiáng)化安全意識，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是_16設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為P(=k)=ck+1，k=0，1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：在左、右焦點分別為，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標(biāo)原點）.18（12分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機(jī)會，規(guī)則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只

5、是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望19（12分）甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動已知每一輪甲猜對歌名的概率是34，乙猜對歌名的概率是23，丙猜對歌名的概率是(I)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；()記乙猜歌曲

6、的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望20（12分）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加.為了制定提升農(nóng)民年收入、實現(xiàn)2020年脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，求：（i）在扶貧

7、攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，.21（12分）設(shè)函數(shù).()求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；()當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值.22（10分）如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是等腰直角三角形,且,側(cè)面底面.(1)若分別為棱的中點,求證:平面；(2)棱上是否存在一點,使二面

8、角成角，若存在,求出的長；若不存在,請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運算法則來進(jìn)行判斷【詳解】設(shè)與的夾角為，則，則成立；由于向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，設(shè)，所以，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，不一定成立；設(shè)復(fù)數(shù)，則，是一個復(fù)數(shù)，所以不一定成立；由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量，所以，由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，這個類比是正確的故選D【點睛】本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理，在解這類問題時，除了考查條件的相似性之外，

9、還要注意定義的理解，考查邏輯推理能力，屬于中等題2、D【解析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個進(jìn)行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個元素作象，共有種選法，中每組第一個對應(yīng)集合中的較小者，適合條件的映射共有個，故選D. 點睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對應(yīng)關(guān)系.3、B【解析】正態(tài)曲線關(guān)于對稱，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解概率即可【詳解】因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，得對稱軸是，故選B【點睛】本題在充分理解正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，充分利用正態(tài)分布的

10、對稱性解題，是一道基礎(chǔ)題4、D【解析】根據(jù)fx的正負(fù)與f【詳解】因為fx是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，fx0時，函數(shù)A中，直線對應(yīng)fx，曲線對應(yīng)B中，x軸上方曲線對應(yīng)fx，x軸下方曲線對應(yīng)fC中，x軸上方曲線對應(yīng)fx，x軸下方曲線對應(yīng)D中，無論x軸上方曲線或x軸下方曲線，對應(yīng)fx時，fx都應(yīng)該是單調(diào)函數(shù)，但圖中是兩個不單調(diào)的函數(shù)，顯然故選D【點睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，熟記導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可，屬于常考題型.5、C【解析】三次投擲總共有64種,只有長度為或223的三邊能構(gòu)成鈍角三角形,由此計算可得答案.【詳解】解：由題可知：三次投擲互不關(guān)聯(lián)，所以一共有種情況：能構(gòu)成鏈角三角形的三邊長

11、度只能是：或者是所以由長度為的三邊構(gòu)成鈍角三角形一共有：種：由三邊構(gòu)成鈍角三角形一共有：種：能構(gòu)成鈍角三角形的概率為.故選:C.【點睛】本題考查了古典概型的概率求法,分類計數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】作出圖形，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【詳解】如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，且，在正方體中，為的中點，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，則異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角.在中，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或

12、空間向量法計算，考查計算能力，屬于中等題.7、C【解析】本題需要分類討論，首先需要討論“在雙曲線的右支上”這種情況，然后討論“在雙曲線的左支上”這種情況，然后根據(jù)題意，即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳粼陔p曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的相關(guān)性質(zhì)可知，此時的最小值為，因為滿足題意的點在雙曲線的左支，所以，即，所以，若在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的相關(guān)性質(zhì)可知，此時的最小值為，想要滿足題意的點在雙曲線的左支上，則需要滿足，即，所以由得，故選C。【點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了圓錐曲線中雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查雙曲線的長軸、短軸以及焦距之間的關(guān)系，考查推理能力，是中檔題

13、。8、D【解析】分析：首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)圖象考查臨界情況即可求得最終結(jié)果.詳解：令，原問題等價于與有兩個不同的交點，當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)表示過坐標(biāo)原點的直線，考查臨界情況，即函數(shù)與函數(shù)相切的情況，當(dāng)時，當(dāng)時，數(shù)形結(jié)合可知：的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、B【解析】分析：，三個人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，從而即可得到答案.詳解：，三

14、個人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，則不站在兩頭的概率為.故選：B.點睛：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.10、A【解析】以A為坐標(biāo)原點，以，為x，y，z軸正向建系，設(shè)，,設(shè)，得，求出取最小值時值，然后求的夾角的余弦值【詳解】以A為坐標(biāo)原點，以，為x，y，z軸正向建系，設(shè)，,設(shè)，由得，則，當(dāng)即，時，取最小值.此時，令得故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成的角，解題關(guān)鍵求得的取最小值時的位置解題方法是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法表示距離、求角11、A【解析】分析：由題意結(jié)合二項式展開式的通項公式得到關(guān)于a

15、的方程，解方程即可求得實數(shù)a的值.詳解：展開式的通項公式為：，由于，據(jù)此可知含項的系數(shù)為：,結(jié)合題意可知：，解得：.本題選擇A選項.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解12、B【解析】利用切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值可求得切點橫坐標(biāo)，代入可求得切點坐標(biāo)，將切點坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.【詳解】由得：

16、與相切 切點橫坐標(biāo)為：切點縱坐標(biāo)為：，即切點坐標(biāo)為：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用切線斜率求得切點坐標(biāo).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,列出關(guān)于的關(guān)系式再求解即可.【詳解】設(shè)橢圓長軸長,短軸的長,焦距為,則有,故,所以,故,化簡得,即,故,故橢圓焦距與長軸之比的比值是.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的基本量的基本關(guān)系與離心率的計算,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】本題考查定積分因為，所以函數(shù)的原函數(shù)為，所以則15、【解析】試題分析：考查古典概型的計算公式及分析問題解決問題

17、的能力. 從個元素中選個的所有可能有種，其中連續(xù)有共種，故由古典概型的計算公式可知恰好為連續(xù)天的概率是.考點：古典概型的計算公式及運用.16、【解析】所有事件發(fā)生的概率之和為1，即P（=0）+P（=1）+P（=2）+P（=3）=1，c=1225， P（=k）=1225(k+1)，P（=2）=故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解（1）；（2）或.【解析】（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得 ，化簡得.原點到直線的距離為，的面

18、積，當(dāng)最大時，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，當(dāng)軸時，則為橢圓的短軸，故有，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點，點，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，則 ，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當(dāng)最大時，的面積最大.因為，而，所以當(dāng)時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【點睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直

19、線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.18、（1）；（2）見解析【解析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式可求得結(jié)果；（2）分別求出一名顧客摸球中獎元和不中獎的概率；確定所有可能的取值為：，分別計算每個取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學(xué)期望計算公式求解期望即可.【詳解】（1）記一名顧客摸球中獎元為事件從袋中摸出兩只球共有：種取法；摸出的兩只球均是紅球共有：種取法（2）記一名顧客摸球中獎元為事件，不中獎為事件則：，由題意可知，所有可能的取值為：，則；隨機(jī)變量的分布列為：【點睛】本題考查古典概型概率問題求

20、解、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)通過積事件的概率公式求解出每個隨機(jī)變量的取值所對應(yīng)的概率，從而可得分布列.19、（）34（）的分別列為E=01【解析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則A（2）利用相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出試題解析：分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則（）該小組未能進(jìn)入第二輪的概率P=P(=P(A（）乙猜對歌曲次數(shù)的可能取值為0,1,2,3，P(=0)=P(AP(=1)=P(A=P(=1P(=2)=P(A=1P(=3)=P(

21、A的分別列為E=01點睛：本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20、（1）17.40千元；（2）（i）14.77千元.（ii）978人.【解析】（1）求解每一組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積，將結(jié)果相加即可得到對應(yīng)的；（2）（i）根據(jù)的數(shù)值判斷出年收入的取值范圍，從而可計算出最低年收入；（ii）根據(jù)的數(shù)值判斷出每個農(nóng)民年收入不少于千元的概率，然后根據(jù)二項分布的概率計算公式計算出“恰有個農(nóng)民年收入不少于”中的最大值即可.【詳解】解：（1）千元故估計50位農(nóng)民的年平均收入為17.40千元；（2）由題意知（i），所以時，滿足題意，即最低年收入大約為14.77千元. （ii）由，每個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率為0.9773，記1000個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為，則，其中，于是恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率為， 從而由得，而， 所以，當(dāng)時，當(dāng)時，由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978人.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布、二項分布概率計算，屬于綜合題型，對于分析和數(shù)字計算的能力要求較高，難度較難.判斷獨立重復(fù)試驗中概率的最值，可通過作商的方法進(jìn)行判斷.21、