數(shù)值分析函數(shù)逼近市公開課獲獎?wù)n件

1、第六章 函數(shù)迫近1 數(shù)據(jù)擬合最小二乘法3 函數(shù)最佳平方迫近2 正交多項式1第1頁第1頁 Lagrange插值與最小二乘迫近圖像描述2第2頁第2頁 辦法1: 用3次Lagrange插值多項式近似x, y函數(shù)關(guān)系. 為何要用最小二乘迫近.xiyi24681.12.84.97.2例 給定一組試驗數(shù)據(jù)下列求x, y函數(shù)關(guān)系. 辦法2: 用直線來近似x, y函數(shù)關(guān)系.3第3頁第3頁 用直線 y=a0+a1x 來反應(yīng)x, y之間函數(shù)關(guān)系.如何選取a0, a1? 才干使直線最好地反應(yīng)數(shù)據(jù)點基本趨勢? 殘差向量 殘差4第4頁第4頁 衡量近似函數(shù)好壞原則：殘差向量大小(1) 使殘差絕對值之和最小, 即 (2)

2、使殘差最大絕對值最小, 即 (3) 使殘差平方和最小, 即 最佳平方迫近或數(shù)據(jù)擬合最小二乘法最佳一致迫近5第5頁第5頁問題: 給定n個數(shù)據(jù)點 (xi , yi ) (i=1, 2, , n)求直線 y=a0+a1x 使得達到最小. 最小二乘一次多項式擬合1 數(shù)據(jù)擬合最小二乘法6第6頁第6頁 令則原問題等價于求a0, a1使F(a0, a1)達到最小. 利用多元函數(shù)取極值必要條件得正則方程組7第7頁第7頁 由上式求得a0, a1, 代入 y=a0+a1x 得到最小二乘擬合(直線)一次多項式.8第8頁第8頁xiyi24681.12.84.97.2例 給定一組試驗數(shù)據(jù)下列求x, y函數(shù)關(guān)系.解正則方

3、程組9第9頁第9頁直線擬合誤差很大拋物線擬合效果更加好10第10頁第10頁問題: 給定n個數(shù)據(jù)點 (xi , yi ) (i=1, 2, , n)求使得達到最小. 最小二乘二次多項式擬合11第11頁第11頁 令則原問題等價于求a0, a1 , a2, 使F(a0, a1 , a2 )達到最小.利用多元函數(shù)取極值必要條件得12第12頁第12頁 用 Cholesky分解法求此對稱正定陣 用 MATLAB 函數(shù) z = Ar 由上式求得a0, a1, a2, 得到最小二乘擬合二次多項式正則方程組13第13頁第13頁 最小二乘三次多項式擬合正則方程組14第14頁第14頁 最小二乘m次多項式擬合 (mn

4、)正則方程組15第15頁第15頁 指數(shù)擬合假如數(shù)據(jù)點(xi , yi ) (i=1, 2, , n)分布近似指數(shù)曲線, 則可考慮用指數(shù)函數(shù)去擬合數(shù)據(jù). 但是這是一個關(guān)于a, b非線性模型, 故應(yīng)通過適當變換, 將其化為線性模型, 然后利用最小二乘法求解. 為此, 對指數(shù)函數(shù)兩端取對數(shù), 得16第16頁第16頁則數(shù)據(jù)組(xi , yi ) (i=1, 2, , n)最小二乘擬合指數(shù)曲線為這表明(xi , lnyi ) (i=1, 2, , n)分布近似于直線, 求出此數(shù)據(jù)組最小二乘擬合直線17第17頁第17頁xiyi例 給定一組試驗數(shù)據(jù)下列求x, y函數(shù)關(guān)系.1 2 3 4 6 7 82 3 6

5、 7 5 3 2 (1) 作散點分布圖點分布近似為拋物線18第18頁第18頁 (2)擬定近似表示式設(shè)擬合曲線為二次多項式 (3) 建立正則方程組19第19頁第19頁故正則方程組為 (4) 求解正則方程組得故所求擬合曲線為20第20頁第20頁xiyi例 給定一組試驗數(shù)據(jù)下列求x, y函數(shù)關(guān)系.1 2 3 4 6 7 82 3 6 7 5 3 2 Matlab解法: polyfit(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 2, 3, 6, 7, 5, 3, 2, 2) ans= -0.3864 3.4318 -1.318221第21頁第21頁例 測得一發(fā)射源發(fā)射強度 I 與時間 t 一組數(shù)據(jù)下列

6、tiIi0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56試用最小二乘法擬定 I 與 t 函數(shù)關(guān)系. (1)作散點分布圖能夠考慮用指數(shù)函數(shù)近似22第22頁第22頁 列數(shù)據(jù)表tiIi0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56lnIi1.1506 0.8671 0.5596 0.2927 0 0.3011 0.5798求lnI與t最小二乘直線. 將上表數(shù)據(jù)代入正則方程組得其解為故所求擬合曲線為 Matlab解法:polyfit(0.2, 0.3,

7、0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1.1506, 0.8671, 0.5596, 0.2927, 0, -0.3011, -0.5798, 1) ans= -2.8883 1.728323第23頁第23頁 求數(shù)據(jù)組最小二乘擬合函數(shù)環(huán)節(jié) (1) 由給定數(shù)據(jù)擬定近似函數(shù)表示式, 普通可通過描點觀測或經(jīng)驗預(yù)計得到 (2) 按最小二乘原則擬定表示式中參數(shù), 即由殘差平方和最小導出正則方程組, 求解得參數(shù).24第24頁第24頁 實際問題中, 因為各點觀測數(shù)據(jù)精度或主要性不同, 經(jīng)常引入加權(quán)方差, 即確定參數(shù)準則為: 使得最小, 其中i (i=1, 2, , n)為加權(quán)系數(shù).25第25頁第

8、25頁 函數(shù)內(nèi)積設(shè) f (x), g (x)是區(qū)間a, b上連續(xù)函數(shù), 定義 f 與 g 內(nèi)積為:2 正交多項式26第26頁第26頁 函數(shù)正交設(shè) f (x), g (x)是區(qū)間a, b上連續(xù)函數(shù), 若 f 與 g 內(nèi)積為0, 則稱 f 與 g 在區(qū)間a, b上正交.27第27頁第27頁 正交函數(shù)系則稱此函數(shù)系為區(qū)間a, b上正交函數(shù)系. 尤其地, 若k=1 ( k=0, 1, 2,), 則稱其為原則正交函數(shù)系28第28頁第28頁假如正交函數(shù)系中函數(shù)均為代數(shù)多項式, 則稱其為正交多項式系. 正交多項式系比如三角函數(shù)系就是區(qū)間, 上正交函數(shù)系.29第29頁第29頁 區(qū)間1, 1上正交多項式系(Le

9、gendre多項式) 普通表示式 詳細表示式30第30頁第30頁 Legendre多項式性質(zhì) (2) Legendre多項式滿足遞推公式31第31頁第31頁 任意區(qū)間上正交多項式系當x在區(qū)間a, b上改變時, 令相應(yīng) t 在1, 1上改變, 則是區(qū)間a, b上正交多項式系.32第32頁第32頁 0, 1區(qū)間上正交多項式系33第33頁第33頁 最小平方線性多項式迫近3 函數(shù)最佳平方迫近 設(shè) f (x)是區(qū)間a, b上連續(xù)函數(shù), 求線性多項式函數(shù) (x)=a0+a1x 使得,(x)稱為函數(shù) f (x)在區(qū)間 a, b 上一次最佳平方迫近多項式.即求a0, a1使得34第34頁第34頁 解法由題意可

10、知, 求 f (x)一次最佳平方多項式等價于求二元函數(shù) F 最小值.由得35第35頁第35頁化簡得或者正則方程組36第36頁第36頁例 求在0, 1上一次最佳平方迫近多項式解正則方程組為f (x)一次最佳平方迫近多項式為37第37頁第37頁 二次最佳平方迫近多項式設(shè) f (x)是區(qū)間a, b上連續(xù)函數(shù), 求二次多項式函數(shù) (x)=a0+a1x+ a2x2 使得, (x)稱為函數(shù) f (x)在區(qū)間 a, b 上二次最佳平方迫近多項式.38第38頁第38頁 解法由題意可知, 求 f (x)二次最佳平方多項式等價于求三元函數(shù)F最小值由得39第39頁第39頁化簡得或者正則方程組40第40頁第40頁 m次最佳平方迫近多項式設(shè) f (x)是