數(shù)學(xué)定積分市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、定積分概念定積分性質(zhì) 中值定理微積分基本公式定積分換元積分定積分分部積分廣義積分與函數(shù)定積分應(yīng)用第五章 定積分第1頁(yè)第1頁(yè)第一節(jié) 定積分概念定積分概念第2頁(yè)第2頁(yè)定 積 分引例：曲邊梯形面積設(shè) y=f(x)在區(qū)間a,b上非負(fù)、連續(xù)。求由 曲線y=f(x)與直線x=a,x=b(ag(x)與直線x=a,x=b(ab)所圍圖形面積。aby=f(x)y=g(x)xx+ dx(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx小窄條面積近似值，即面積元素(iii)所求面積第61頁(yè)第61頁(yè)(i)求交點(diǎn)(ii)相應(yīng)于0,1上任一小區(qū)間x,x+dx小窄條面積近似值，即面積元素(iii)所求面積

2、解yxo例求由拋物線所圍圖形之面積。xx+dx第62頁(yè)第62頁(yè)(i)求交點(diǎn)(ii)相應(yīng)于-2,4上任一小區(qū)間y,y+dy小窄條面積近似值，即面積元素(iii)所求面積解yxo例求由拋物線與直線所圍圖形面積。yy+dy辦法1第63頁(yè)第63頁(yè)yxo(i)取x為積分變量，則(ii)面積元素(iii)所求面積辦法2比較辦法1和辦法2知：適當(dāng)選擇積分變量能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。第64頁(yè)第64頁(yè)(i)兩切線交點(diǎn)為(ii)面積元素(iii)所求面積解yxo練習(xí)求由拋物線及其在點(diǎn)(0,-3)和(3,0)處切線所圍圖形面積。則點(diǎn)(0,-3)和(3,0)處切線方程分別為y=4x-3 y=-2(x-3)(3/2,3)第6

3、5頁(yè)第65頁(yè)二、極坐標(biāo)情形(ii)面積元素(iii)所求面積設(shè)由曲線 與射線，圍成一圖形,求該圖形面積。(i)取極角為積分變量，則xo第66頁(yè)第66頁(yè)面積元素所求面積例求由阿基米得螺線上相應(yīng)于一段弧與極軸所圍圖形面。解xo第67頁(yè)第67頁(yè)設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，求由這曲線弧所圍圖形面積。(i)取 t 為積分變量，則(iii) 所求面積(ii) 面積元素三、 參數(shù)方程情形第68頁(yè)第68頁(yè)橢圓參數(shù)方程為面積元素所求面積例求由橢圓所圍圖形面。解xyo-aa-bb第69頁(yè)第69頁(yè)練習(xí)1 .求由曲線 所圍圖形面積。 2.求由曲線 及 所圍圖形公共部分面積xyoaa-a-axS1S2第70頁(yè)第70頁(yè)答案

4、1.所求面積 2.所求面積第71頁(yè)第71頁(yè)所求面積S1S2Ax第72頁(yè)第72頁(yè)體積定積分幾何應(yīng)用之二旋轉(zhuǎn)體：由一平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成立體，稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體。一、旋轉(zhuǎn)體體積定直線旋轉(zhuǎn)軸第73頁(yè)第73頁(yè)旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x.x+dx小旋轉(zhuǎn) 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉(zhuǎn)軸為x軸： 曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體體積。yabxoxx+dx第74頁(yè)第74頁(yè)例求由連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及P(h,r)直線及x=h,x軸所圍三角形繞x軸所成旋轉(zhuǎn)體之體積。(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx小旋轉(zhuǎn) 體體積

5、近似值，即體積元素(iii)所求體積解OP方程為yxoP(h,r)第75頁(yè)第75頁(yè)旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算(i)取y為積分變量，則(ii)相應(yīng)于c,d上任一小區(qū)間y,y+dy小旋轉(zhuǎn) 體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉(zhuǎn)軸為y軸： 曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體體積。yxocddy第76頁(yè)第76頁(yè)解:（）取y為積分變量，則（）相應(yīng)于0,1上任一小區(qū)間y, y+dy體積元素（）所求體積例求由曲線 和 及x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積。(1,1)yo1x第77頁(yè)第77頁(yè)解:（）旋轉(zhuǎn)軸為x軸體積元素：（）旋轉(zhuǎn)軸為y軸例求由曲線 和直線所圍圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積。所求體積:體積元素

6、：2yox所求體積：第78頁(yè)第78頁(yè) 如圖，在距坐標(biāo)原點(diǎn)為x處取一底邊長(zhǎng)為dx小曲邊梯形ABCD,易知它繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積近似值，即體積元素例4證實(shí)：由平面圖形 繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積為于是,所求體積為：（這是一個(gè)底面積為 ，高為圓柱體體積）A BC Dxyoab證實(shí)第79頁(yè)第79頁(yè)解:（）旋轉(zhuǎn)軸為 x 軸（）旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸練習(xí)求由曲線 和直線 x=1 所圍圖形分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積。所求體積：所求體積：yox1或(1,1/e)(1,e)體積元素：第80頁(yè)第80頁(yè)體積定積分幾何應(yīng)用之二二、平行截面面積已知立體體積若立體不是旋轉(zhuǎn)體，但立體垂直于某定軸各截面面積已知

7、，該立體體積亦可用定積分計(jì)算。. 過(guò)點(diǎn)x而垂直于x軸平面截立體得截口面積為則立體體積為第81頁(yè)第81頁(yè)2. 過(guò)點(diǎn)y而垂直于y軸平面截立體得截口面積為則立體體積為yocdyB(y)第82頁(yè)第82頁(yè)在所圍立體上，作平行于坐標(biāo)面 yoz 截面KLMN，由于NM=ML，因此KLMN為正方形，其面積為例5求 及 兩圓柱面所圍立體體積。所求體積:NLMKyozx解:第83頁(yè)第83頁(yè)所求立體體積為例6一平面通過(guò)半徑為圓柱體底圓中心，并與底面成交角（如圖）。計(jì)算這平面截圓柱體所得立體體積。如圖建立坐標(biāo)系，則底圓方程為截面積為xyyxR-RO立體中過(guò)點(diǎn) x 且垂直于 x 軸直角截面為直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別 y

8、 為及ytana，解第84頁(yè)第84頁(yè)一、平面曲線弧長(zhǎng)概念定理：若 且 均縮為一點(diǎn)時(shí)xy定積分幾何應(yīng)用之三平 面 曲 線 弧 長(zhǎng)定義：設(shè)A、B為曲線弧上兩端點(diǎn)，在AB上任取分點(diǎn)光滑曲線弧是可求長(zhǎng)。極限存在，稱(chēng)此極限 為曲線弧弧長(zhǎng)；并稱(chēng)該曲 線弧是可求長(zhǎng)。第85頁(yè)第85頁(yè). 直角坐標(biāo)情形xx+dxdy定積分xyoaby=f(x)曲線弧由方程y=f(x) 給出，其中f(x)在a,b上含有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，求該曲線(如圖)長(zhǎng)度。(i) 取x為積分變量,則(iii)所求弧長(zhǎng)(ii)弧長(zhǎng)元素（弧微分）二、光滑曲線弧長(zhǎng)計(jì)算第86頁(yè)第86頁(yè)設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，其中、 在 上含有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求這曲線(i)取 t 為積分變量，則(iii) 所求弧長(zhǎng)(ii) 弧長(zhǎng)元素 參數(shù)方程情形長(zhǎng)度。第87頁(yè)第87頁(yè)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，其中在上含有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用所求弧長(zhǎng)極坐