2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科卷及解析

1、 8/82021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科卷及解析 絕密啟用前 2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 本試卷共23題，共150分，共4頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項(xiàng)：1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在 條形碼區(qū)域內(nèi)。 2選擇題必須使用2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。 3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。 4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。 5保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正

2、帶、刮紙刀。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的。 112i 12i +=- A 43i 55- B 43i 55-+ C 34i 55- D 34i 55 -+ 2已知集合22(,)|3,A x y x y x y =+Z Z，則A 中元素的個(gè)數(shù)為 A 9 B 8 C 5 D 4 3函數(shù)2 e e ()x x f x x -=的圖象大致為 4已知向量a ，b 滿足|1=a ，1?=-a b ，則(2)?-=a a b A 4 B 3 C 2 D 0 5雙曲線 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -= A y =

3、 B y = C y = D y = 6在ABC 中，cos 2C 1BC =，5AC =，則AB = A B C D 7為計(jì)算111 11 123499100 S =-+-+ +- ，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A 1i i =+ B 2i i =+ C 3i i =+ D 4i i =+ 8我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30723=+在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A 112 B 114 C 115 D 118 9在長(zhǎng)方體1111 ABCD A B C D

4、 -中，1AB BC =，1AA =1AD 與1 DB 所成角 的余弦值為 A 1 5 B C D 10若()cos sin f x x x =-在,a a -是減函數(shù)，則a 的最大值是 A 4 B 2 C 34 D 11已知()f x 是定義域?yàn)?,)-+的奇函數(shù)，滿足(1)(1)f x f x -=+若(1)2f =， 則(1)(2)(3)(50)f f f f += A 50- B 0 C 2 D 50 12已知1F ，2F 是橢圓22 221(0)x y C a b a b += ：的左，右焦點(diǎn)，A 是C 的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P 在 過(guò)A 12PF F 為等腰三角形，12120F F P =?

5、，則C 的離心率為 A 23 B 12 C 13 D 14 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13曲線2ln(1)y x =+在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(kāi) 14若,x y 滿足約束條件250,230,50,x y x y x +-? -+?-? 則z x y =+的最大值為_(kāi) 15已知sin cos 1+=，cos sin 0+=，則sin()+=_ 16已知圓錐的頂點(diǎn)為S ，母線SA ，SB 所成角的余弦值為 7 8 ，SA 與圓錐底面所成角為45， 若SAB 的面積為_(kāi) 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題， 每個(gè)試題考生都必

6、須作答。第22、23為選考題?？忌鶕?jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17（12分） 記n S 為等差數(shù)列n a 的前n 項(xiàng)和，已知17a =-，315S =- （1）求n a 的通項(xiàng)公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值 18（12分） 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y （單位：億元）的折線圖 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y 與時(shí)間變量t 的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t 的值依次為1,2, ,17）建立模型： ?30.413.5y t =-+；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t 的值依次為1

7、,2,7）建立模 型：?9917.5y t =+ （1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； （2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由 19（12分） 設(shè)拋物線24C y x =：的焦點(diǎn)為F ，過(guò)F 且斜率為(0)k k 的直線l 與C 交于A ，B 兩點(diǎn)，|8AB = （1）求l 的方程； （2）求過(guò)點(diǎn)A ，B 且與C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程 20（12分） 如圖，在三棱錐P ABC - 中，AB BC = 4PA PB PC AC =，O 為AC 的中點(diǎn) （1）證明：PO 平面ABC ； （2）若點(diǎn)M 在棱BC 上，且二面角M PA C -為30?

8、，求PC 與平面PAM 所成角的正弦值 21（12分） 已知函數(shù)2 ()e x f x ax =- （1）若1a =，證明：當(dāng)0 x 時(shí)，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+只有一個(gè)零點(diǎn)，求a （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。 22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C 的參數(shù)方程為2cos , 4sin ,x y =?=?（為參數(shù)），直線l 的參數(shù)方 程為1cos , 2sin ,x t y t =+?=+? （t 為參數(shù)） （1）求C 和l 的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線C 截直線l

9、 所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l 的斜率 23選修45：不等式選講（10分） 設(shè)函數(shù)()5|2|f x x a x =-+- （1）當(dāng)1a =時(shí)，求不等式()0f x 的解集； （2）若()1f x ，求a 的取值范圍 絕密啟用前 2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)試題參考答案 一、選擇題 1D 2A 3B 4B 5A 6A 7B 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空題 132y x = 149 1512 - 16 三、解答題 17解： （1）設(shè)n a 的公差為d ，由題意得13315a d +=- 由17a =-得d =2 所以n a 的通項(xiàng)公式為29n a n

10、=- （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=- 所以當(dāng)n =4時(shí)，n S 取得最小值，最小值為?16 18解： （1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 ?30.413.519226.1y =-+?=(億元) 利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 ?9917.59256.5y =+?=(億元) （2）利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 理由如下： （）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線30.413.5y t =-+上下 這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額

11、的變化趨勢(shì)2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基 礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 ?9917.5y t =+可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 （）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值2261億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分

12、19解： （1）由題意得(1,0)F ，l 的方程為(1)(0)y k x k =- 設(shè)1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x =-?=?得2222(24)0k x k x k -+= 2 16160k ?=+，故1222 24 k x k x += 所以122244 |(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+= 由題設(shè)知22 44 8k k +=，解得1k =-（舍去），1k = 因此l 的方程為1y x =- （2）由（1）得AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB 的垂直平分線方程為2(3)y x -=-，即5y x =-+ 設(shè)所

13、求圓的圓心坐標(biāo)為00(,)x y ，則 00220005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+?-+= +?解得003,2x y =?=?或0011,6.x y =?=-? 因此所求圓的方程為2 2 (3)(2)16x y -+-=或2 2 (11)(6)144x y -+= 20解： （1）因?yàn)?AP CP AC =，O 為AC 的中點(diǎn)，所以O(shè)P AC ，且OP = 連結(jié)OB 因?yàn)锳B BC AC =，所以ABC 為等腰直角三角形， 且OB AC ，1 22 OB AC = = 由222OP OB PB +=知PO OB 由,OP OB OP AC 知PO 平面ABC （2）如

14、圖，以O(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB uu u r 的方向?yàn)閤 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O xyz - 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r 設(shè)(,2,0)(02)M a a a -，()h x 沒(méi)有零點(diǎn)； （ii ）當(dāng)0a 時(shí)，()(2)e x hx ax x -=- 當(dāng)(0,2)x 時(shí)，()0hx 所以()h x 在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,)+單調(diào)遞增 故24(2)1e a h =- 是()h x 在0,)+的最小值 若(2)0h ，即2 e 4a ，由

15、于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)， 由（1）知，當(dāng)0 x 時(shí)，2e x x ，所以 3334224 1616161 (4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a =-=-=- 故()h x 在(2,4)a 有一個(gè)零點(diǎn)，因此()h x 在(0,)+有兩個(gè)零點(diǎn) 綜上，()f x 在(0,)+只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，2 e 4 a = 22解： （1）曲線C 的直角坐標(biāo)方程為22 1416 x y += 當(dāng)cos 0時(shí)，l 的直角坐標(biāo)方程為tan 2tan y x =?+-， 當(dāng)cos 0=時(shí)，l 的直角坐標(biāo)方程為1x = （2）將l 的參數(shù)方程代入C 的直角

16、坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t +-= 因?yàn)榍€C 截直線l 所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C 內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為1t ，2t ，則 120t t += 又由得1224(2cos sin ) 13cos t t +=- +，故2cos sin 0+=，于是直線l 的斜率 tan 2k =- 23解： （1）當(dāng)1a =時(shí)，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-? =-? 可得()0f x 的解集為|23x x - （2）()1f x 等價(jià)于|2|4x a x +- 而|2|2|x a x a +-+，且當(dāng)2x

17、=時(shí)等號(hào)成立故()1f x 等價(jià)于|2|4a + 由|2|4a +可得6a -或2a ，所以a 的取值范圍是(,62,)-+ 21（12分） 已知函數(shù)2()e x f x ax =- （1）若1a =，證明：當(dāng)0 x 時(shí)，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+只有一個(gè)零點(diǎn)，求a 解： （1）()e 2x f x x =-，()e 2x f x =- 當(dāng)ln 2x 時(shí)，()0f x ，所以()f x 在(,ln 2)-單調(diào)遞減，在(ln 2,)+單調(diào)遞增，故()(ln 2)22ln 20f x f =-，()f x 在(,)-+單調(diào)遞增 因?yàn)? x ，所以()(0)1f x f = （2）當(dāng)0 x 時(shí)，設(shè)2e ()x g x a x =-，則2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+只有一個(gè)零點(diǎn) 等價(jià)于()g x 在(0,)+只有一個(gè)零點(diǎn) 3 e (2) ()