2021年高考試題真題-數(shù)學(xué)(新高考全國Ⅰ卷)

1、0,2 0,2 2021 年普高等學(xué)校招全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試卷 頁，22 小，滿 .考用時 120 分 注意事：1.卷前，考生必將自的姓名 考生考場和座位填寫在答題上 .用 2B 筆將試類型 ()填涂在題卡相應(yīng)位上 將條形碼貼在答題卡上角 “條形碼貼處 ”.2.答選擇題時選出每題答案后， 鉛在答題上對應(yīng)題目項的答 案信息涂黑：如需動，用皮擦干凈后再選涂他答案 .答不能答試 卷上 3.選擇題必須黑色字的鋼筆或簽筆作答，案必須在答題卡各目指 定區(qū)域相應(yīng)位置上如需改，先劃掉原的答案然后再寫上答案； 準使用筆和涂改液不按以上要求作無效 .4.生必須保持題卡的潔 .試結(jié)束后，試卷和題卡一并交 .一選擇題

2、：題共 8 題，每題 分，共 40 在每小題給出四個選中， 只有一是符合題目求的 設(shè)合A AB （ ）A.B. z 已A.6 ，則 （ ）B. 4 C. D. 2i 已圓錐的底面徑為 2 ，側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ） 22 C. 44 下區(qū)間中，函f x 6單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ） C.3 2 23,2 已 ， F 是橢圓： 2 y 2 9 4的兩個焦點，點 在上，則 的最大值為（ ）A. B. C. D. 若tan，則 sin ）A.B.C.D. 若點 y 的條切線，則（ ）A. ebB. eaC. 0 bD. 0 a 有 相同的球，分別標有數(shù)字 12，4，5，中有放回的隨

3、機取兩，每次取 球示事第一次取出的球的數(shù)字是 示事件第次出的球的數(shù)字是 2，丙表示事件兩次取出的球的數(shù)字之和是 8，表示事件兩次取出的球的數(shù)字之和是 ， 則（ ） 甲與丙相互獨立C. 乙與丙相互獨立 甲丁相互獨立 丙丁相互獨立二 選擇：本題共 題，每題 5 分共 20 分.在每小給出的項中，有 多項符題目要求全部選對的得 分，部分選對得 分有選錯得 0 分. 有組樣本數(shù)據(jù) ， x ， ，這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù) y ， y ， ，中1 2 x ( i 1,2, i i為非零常數(shù)，則（ ）A. 兩樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B. 兩樣本數(shù)據(jù) 樣中位數(shù)同C. 兩樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同 D. 兩樣數(shù)據(jù)的

4、樣本極差相同10. 已知 O 坐標原點，點 1 2， 3A 1,0，則（ ）3 3 C.OP 1 2 1 2AP AP1 2OA OP 1 2 311. 已知點 P 在 0 點 到線 的離小于上，點 ，則（ ） 點 P 到線 的離大于 C. 當 最時， 當 PBA 最時， 2 212.正三棱柱 A B C 中， AB 1 1，點 P 滿足 ，其中 ） 當 時 的周長為定值 當 時三棱錐P BC的體積為定值C. 當 時，有且僅有一個點 P ，使得A P BP 當時，有且僅有一個點 P ，使得A B 平面 AB 1 1三 填空：本題共 題，每題 5 分共 20 分.13. 已知函數(shù)f x是偶函數(shù)，

5、則 a 14. 已知O為坐標原點物線：y2 px(p 0)的焦點為 ， 為上一點，PF 與x軸垂直， Q 為 x 上一點，且 OP ， ，則的準線方程_15. 函數(shù) x的最小值為_16. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對，規(guī)格 為 20dm 的長方形紙，對折 共可以得到1 ， 兩種規(guī)格的圖形它的面積之和S 240dm12對 共可以得到5dm ， 3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S 180dm22，以此類推，則對折 次共以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_如果對折 n 次，那么S k_ k c四解答題本題共 小題共 70 .解答寫出文說明 證明過或演算驟 17.

6、已數(shù)列 na 1， 為, a a n為偶數(shù). （1記（2求 ，出 b ， b ，并求數(shù)列 n 1 220 項和.nn式；18. 某學(xué)校組織一一知識競賽，有 A， 兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束回正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié).A 類題中的每個問題回答正確得 20 ，否則得 0 分 問題中的每個問題回答正確得 分否則得 ，己知小明能正確回答 問題的概率為 ，能正確回答 類題的概率為 ， 且能正確回答問題的概率與回答次序無.（1若小明先回答 類題，記 X 為明的累計得分，求 的分布列；（

7、2為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理.19. 記 是角 A ， ，C 的對邊分別為 ， ， .已知 b2 ， D 在 AC 上 BD ABC sin C .（1證明： BD （2若AD DC，求cos 20. 如圖，在三棱錐A 中，平面 面BCD， AD ，O為 BD 中點（1證明： ；（2若 OCD 是長為 等邊三角形，點 E 在 AD 上， DE EA ，且二面角 BC D的大小為45，求三棱錐A 的體積.21. 在平面直角坐標系xOy中知點F MF MF 的軌跡為 C .的方程；（1求（2設(shè)點 T 在線 12上，過 的兩條直線分別交 C 于 A 、 兩和 P Q

8、兩點，且TA TP ，求直線 的斜率與直線PQ的斜率之和22. 已知函數(shù)f f 的單調(diào)性；（1討論（2設(shè) ， b 為個不相等的正數(shù)，且 b ln ln b ，明：2 1 a 2021 年普高等學(xué)校招全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué) 答解析一 選擇： B解：由題設(shè)有故選 . C解： 因為 ，故 ，故 i故選 B解：設(shè)圓錐的母線長為 l ，于圓錐底面圓的周長于扇形的弧長，則 l 2 故選 B. ，解得 2 3 3, 3 3 , 2 2 2 3 3, 3 3 , 2 2 A解：因為函數(shù)y sin 的單調(diào)遞增區(qū)間為 , k對于函數(shù)f x 6，由 k k 6 ，解得 kx k2，取 ，得函數(shù)f 的一個單調(diào)遞增區(qū)間為 3

9、，則0, 2 ,2 3 , ，A 選項滿足條件B 不滿足條件；取 k ，得函數(shù)f 8的一個單調(diào)遞增區(qū)間為 ，,2 , 3 3 ,2 , 3 5 ,3 ， 項均不滿足條件故選 A. C解：由題，a b 2 ，則 2，所以 MF MF 2 （當且僅當 時，等號成立故選 C解：將式子進行齊次化處理得： sin 2 2 sin 2 1 tan 2 1 5故選： D解析：在曲線 y 上取一點 ，對函數(shù)y x求導(dǎo)得y，所以，曲線y x在點 P 處的切線方程為y tx y t t，由題意可知，點 t t ，令f t當t 時 f ，此時函數(shù) 單調(diào)遞增，當 時， f，此時函數(shù) 單調(diào)遞減，所以，f f ，由題意可

10、知，直線 與曲線y f 的圖象有兩個交點，則 f ，當t 時，f ，當t 時，f ，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當 0 a 時直線 y 與線 y f 故選 D.的圖象有兩個交點.解法二：畫出函數(shù)曲線y 的圖象如圖所示根直觀即可判定點和軸上方時才可以作出兩條切線.此可知 0 a .故選 D. B解： 5 6 1 甲) ， ， (丙 ， (丁 ， 甲丙) 甲 丙， 甲 丁， 乙 乙 P (丙， (丙丁) (丁 ()，故選 二 選擇： CD解：x yx y ) ) D(c D( x)，故方差相同， 正；由極差的定義知：若第一組的極差為xmaxmin則第二組的極差為y x ) x x max

11、max min故極差相同， 正；故選 CD 10. AC解：A 項 OP ,sin ， (cos2sin，所以 | cos12 ，| 22 2 ， OP OP 1 2，正確； C 項由題意得：OA cos( sin(cos( 3，OP 1 cos(，正確；故選 AC11. 解：圓 的圓心為M ，半徑為 4 ，直線 AB 的程 ，即x y 0，圓心 到直線 AB 的距離為5 1 11 11 45 ，所以，點 P 到線 AB 的離的最小值為11 5 最大值為11 5 A 選正確；如下圖所示： 當 PBA 最大或最小時， 與 相切，連接 MP 、 BM ，可知 PM ，BM ， MP 由勾股定理可得

12、BP BM MP 2 ，CD 選正確.故選 ACD.12. BD解析：易知，點 P 在形BCC 1 內(nèi)部（含邊界對于 當 時 BB 1 1，故此時 P 點軌跡為線段B 1 ，而B BC ， B C / 1 1 故 確平面 A BC ，有 到面 BC 的距離為定值，所以其體積為定值， 1 1 2) 的焦點 1 2) 的焦點 對于 D時BP 1BC BB 2中點為 M BP BM MN 所以 P 點跡為線段MN 1 0, 因為 1 2， 3 A B , , ，所以3 y 4 2 2，此時 P 與 N 合，故 D 正故選 BD 三 填空： 13.答：1解：因為fx，故f，因為f 為偶函數(shù)，故f ，時

13、 ，整理得到，故 a ，故答案為 14.答：解：x 拋物線：y 2 ( p 0 F ,0 為上一點， PF 與 軸直，所以 P 的坐標為，代入拋物線方程求得 P 的坐標為 ,不妨設(shè) (p2, p)因為 Q 為 x 軸上一點，且 PQ ，以 在 F 的側(cè)又| FQ |， PQ ) 因為PQ ，所以 PQ p p ，所以 C 的線方程為x 故答案為x 15.答：1解：由題設(shè)知： ( x) x x定義域為 (0, 當 x 時， ( x) x，此時f x)單調(diào)遞減；當x 時， ( x) x x，有f 2 ，時 f )x單調(diào)遞減；當 x 時， ( x) 2 x 2ln x，有f x，此時f x)單調(diào)遞增

14、；又f x)在各分段的界點處連續(xù)，綜上有：0 時，f ( x)單調(diào)遞減， 時，f ( )單調(diào)遞增；f ( x) f 故答案為 16.答： 720 15 2 解：（1由對折 次共以得到 5dm 12dm ，10dm ， 三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有： ，共 4 種同規(guī)格（單位 2) ； 5 3故對折 可得到如下規(guī)格： ， ， ， ， 20 ，共 不同規(guī)格； 2 2 4（2由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格2 2 如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為 120折后的圖形面積為 n ，對于第 n 對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)1的過程和結(jié)論，猜想為

15、種（證明從略得想S n n ，設(shè)nS S kk 120 ，則 120 S 2 2 n n 2，兩式作差得： S n 120 n 60 1 1 1 2n 1 2n2120 360 2 2 120 2，因此， 720 240 15 720 2 2 故答案為； 720 15 2n 四 解答： 17.答）解：b 2, 1 2） 300 .（1）由題設(shè)可得b a a a 1 1 3 又a 2 k 2 k ， a 2 k 2 ，( k *故a 2 k k，即 b ，即bn n所以列，故 .9 109 10（2）設(shè)20 項和為 S ， a 20 2 20，因為a a a 1 2 3 , a 19 20，所以

16、 2 1 9 2 10 .18.答）見解析） B 類 解：（1由題可知， X 的有可能取值為 ， ； ； 0.48 所以 X 的布列為XP（2）由（），00.2E 0.48 0.48若小明先回答 B 問，記 為明的累計得分，則 Y 的有可能值為 0 ， 80 ， P ； ； 0.48所以E 0.48 因為19.54.4 57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答 B 類題答）證明見解析） ABC cos b 2 cos ABC cos b 2 cos ABC 解析：（）由題設(shè)， sin C b sin C c ，由正弦定理知： ， ，sin sin sin ABC b ac，又 b2 ， BD ，得證（2

17、由題意知： , AD 2b b, DC 3， 2b bb 213b2 b2 b2 ，同理 2 2b2 2， ，13b2 a2 9 b b2，整理得 a221132，又 b2 ， a2b4 11a2 32 1 a ，整理得 6 4 a b ，得 或 ， a a 由余弦定理知： 2ac 2 ， 當時， 2 ABC 綜上， 3 不合題意；當 時 2 2 ；20.答：(1)詳見解析解：（1因為 AB=AD,O 為 BD 中點，所以 BD因為平面 平面 = ,平面 平面 ， 面 ， 因此 AO平面 ，因為 CD 平 ，所以 AOCD作 BD 于 作 FM 于 M, FM因為 AO平面 ，以 AOBD,

18、AOCD所以 CD,BD CD ,因此 EF平面 BCD即 BC因為 FM， 所以 BC平面 EFM，即 則 EMF 為面角 E-BC-D 的面角, 4因為 BO OD ,為正三角形,所以 為直角三角形因為 , FM BF ) 3從而 EF=FM= AO AO 所以 V 平面 BCD, 1 1 3 2 21.答） 216） 0 .解：T , 2 1 1 2 1 2 1 22 1 x x 1 2 1 1 1 2 1 1 2 T , 2 1 1 2 1 2 1 22 1 x x 1 2 1 1 1 2 1 1 2 因為MF F 17 ，所以，軌跡是以點F 、 F 為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為x 2 y a ，則2 ，可得 a ， b ，所以，軌跡 C 方程為 x 216； （2設(shè)點 ，若過點 T 的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點，不妨直線 的程為 12，即 y x ，聯(lián)立 1 x k2，消去 并理可得16 xy 1 1 1 x k ， 設(shè)點A 1 2，則 1 且 x 2 由韋達定理可得k 2 k x 1k 2 1 t ， 2 k 1，所