基于STM32的紅外遙控和觸屏控制的MP3播放器課件

1、一種改進的求解分?jǐn)?shù)階微分方程的預(yù)估-校正法及其應(yīng)用指導(dǎo)教師：虞繼敏教授項目成員：王臣 武衛(wèi)紅 匡春華參賽時間：2014.111.引言 分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究己有 300 多年, 但由于缺乏有效的應(yīng)用背景，長期以來發(fā)展緩慢。在過去的近3個世紀(jì)里，分?jǐn)?shù)階微積分理論主要應(yīng)用在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，且其存在性也備受爭議。1983 年 Mandelbort 首次報道了自然界存在大量分?jǐn)?shù)維數(shù)的事實，此后分?jǐn)?shù)階微積分理論才得到真正的發(fā)展，并成為當(dāng)前非線性科學(xué)的研究熱點。因為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可以更精準(zhǔn)地描述出系統(tǒng)的特性，而且能真正地體現(xiàn)出系統(tǒng)的實際物理特性。在整數(shù)階混沌系統(tǒng)的研究基礎(chǔ)上, 眾多學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微分算子引入系統(tǒng)中,

2、 發(fā)現(xiàn)當(dāng)階數(shù)為分?jǐn)?shù)時, 系統(tǒng)仍表現(xiàn)出復(fù)雜的混沌行為由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特性和潛在的應(yīng)用價值, 對其動力學(xué)特性及其應(yīng)用研究引起了人們的廣泛關(guān)注。 而Kai Diethelm等在2003年提出的預(yù)估-校正算法是目前比較成熟的求解分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值求解方法。本文的工作主要就是對Kai Diethelm提出的預(yù)估-校正法做出改進，給出詳細(xì)的證明過程，在第3節(jié)，給出一個數(shù)值例子來驗證改進的預(yù)估-校正法在誤差上的優(yōu)勢，在第4節(jié)，分別用改進的預(yù)估-校正法和Kai Diethelm的預(yù)估-校正法去尋找出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的最小維數(shù)。1.改進的預(yù)估-校正法首先分?jǐn)?shù)階微積分的定義不盡

3、相同，其中主流的定義有三種，分別Riemann-Liouville定義（RL），Grunwald-Letnikov定義（GL）和Caputo定義，本文采用的是Caputo定義，其表達形式如下表1 步長不同時兩種方法的誤差絕對值 圖1 當(dāng)階數(shù)為0.75，h=1/1000,N=900時兩種方法誤差的絕對值 在圖1中，參數(shù)為 ?？梢钥吹?，在初始值附近，兩種方法的誤差都是比較高的，之后隨著步長增加都有下降。之后，預(yù)估-校正法的誤差隨步長增加增幅較大，而改進的預(yù)估-校正法的誤差增幅較小，最后趨于穩(wěn)定。當(dāng)參數(shù)為 ，使用預(yù)估校正法求解分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的數(shù)值解，其相圖可表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象；當(dāng) 時，求解分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)后，得到的相圖則表現(xiàn)不出混沌現(xiàn)象。圖2和圖3為階數(shù)為0.9935和0.9934時分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的相圖。 圖2 階數(shù)為0.9935時分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的相圖 圖3 階數(shù)為0.9934時分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的相圖 圖4 階數(shù)為0.9753時分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的相圖 圖5 階數(shù)為0.97525時分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的相圖當(dāng)參數(shù)為 ，使用改進的預(yù)估校正法求解分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的數(shù)值解，相圖可表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象；當(dāng) ，求解分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)后，得到的相圖則表